1樓:瞌睡鬃蔽
由於定積分復
與積分變數的選取無制關,原不等式可以寫成∫10f
(x)dx∫10
yf(y)dy≥∫10
xf(x)dx∫10
f(y)dy.將∫1
0f(x)dx∫10
yf(y)dy寫成二重積分∫∫df
(x)yf(y)dxdy,其中d:0≤x≤1,0≤y≤1;
類似地,將∫10
xf(x)dx∫10
f(y)dy寫成二重積分∫∫dxf
(x)f(y)dxdy,其中d:0≤x≤1,0≤y≤1.則證明原不等式等價於證明∫∫df
(x)yf(y)dxdy≥∫∫dxf
(x)f(y)dxdy.
也即∫∫
d(y?x)f(y)f
(x)dxdy≥0.
由輪換對稱性可得∫∫
d(y?x)f(y)f
(x)dxdy=∫∫
d(x?y)f(x)f
(y)dxdy=12
∫∫d(x?y)[f(y)?f(x)]f(x)f(y)dxdy由於f(x)為[0,1]上單調遞減的正值連續函式,可知x-y與f(y)-f(x)同號,故
(x-y)[f(y)-f(x)]≥0.
因此∫∫
d(y?x)f(y)f
(x)dxdy≥0.
也即∫10f
(x)dx∫10
xf(x)dx≥∫10
xf(x)dx∫10
f(x)dx.
已知f x 是定義在R上的單調遞減的可導函式，且f（1）2，函式F（x0 x f t dtx
f x 0 x f t dt x 1 改題了 求導得f x f x 2x,設f x c x e x,則f x c x c x e x,代入上式得c x 2xe x 積分得c x 2x 2 e x c,所以f x 2x 2 ce x,f 0 1，所以c 3.f x 2x 2 3e x.f 1 4 3e...
假設函式fx在閉區間上連續,並且對
用反證來法 假設 0,1 中不存在點自c,使得f x c。設g x x,因為g 0 0上,總有baif x g x 否則,若du存在f x 於f x 的連續zhi性,則 0,1 中必dao存在一點c,使得f c g c c,c為函式不動點。當x 1時,f 1 g 1 1 與已知f x 1矛盾。所以假...
急！函式f x 在0,正無窮大）上是單調遞減函式，則f 1 x2 的單調遞增區間是
冰的選擇 解 令t 1 x f 1 x f t 根據 同增異減 原則，當t 1 x f t 同時單調遞減時，f 1 x 單調遞增。1 易知函式t 1 x x 1 2 對稱軸為直線x 1 2，開口向下 當x 1 2,時，t單調遞減 2 由題，當t 1 x 0時，f t 單調遞減。解二次不等式1 x 0...