1樓:匿名使用者
你用導數定義去證。只能得出無窮小量除以無窮小的不定式。只能證明導數可為任意值。不可能得出導數為0的結論。(手機打不方便。就不大推導過程了)
設fx是定義在(-1,1)上的連續正值函式,且f(0=1,f'(0)=2.求limx→0(f(x))^(1/x)
2樓:花降如雪秋風錘
^極限符號不好打,答案是e^2,過程請看下圖:
擴充套件資料:
閉區間上的連續函式具有一些重要的性質,是數學分析的基礎,也是實數理論在函式中的直接體現。下面的性質都基於f(x)是[a,b]上的連續函式得出的結論。
1、有界性
閉區間上的連續函式在該區間上一定有界。
所謂有界是指,存在乙個正數m,使得對於任意x∈[a,b],都有|f(x)|≤m。
2、最值性
閉區間上的連續函式在該區間上一定能取得最大值和最小值。
所謂最大值是指,[a,b]上存在乙個點x0,使得對任意x∈[a,b],都有f(x)≤f(x0),則稱f(x0)為f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同樣作定義,只需把上面的不等號反向即可。
3、介值性
若f(a)=a,f(b)=b,且a≠b。則對a、b之間的任意實數c,在開區間(a,b)上至少有一點c,使f(c)=c。
這個性質又被稱作介值定理,其包含了兩種特殊情況:
a、零點定理。
也就是當f(x)在兩端點處的函式值a、b異號時(此時有0在a和b之間),在開區間(a,b)上必存在至少一點ξ,使f(ξ)=0。
b、閉區間上的連續函式在該區間上必定取得最大值和最小值之間的一切數值。
也就是設f(x)在[a,b]上的最大值、最小值分別為m、m(m≠m),並且f(x1)=m,f(x2)=m,x1、x2∈[a,b]。在閉區間[x1,x2]或[x2,x1]上使用介值定理即可。
4、一致連續性
閉區間上的連續函式在該區間上一致連續。
所謂一致連續是指,對任意ε>0(無論其多麼小),總存在正數δ,當區間i上任意兩個數x1、x2滿足|x1-x2|<δ時,有|f(x1)-f(x2)|<ε,就稱f(x)在i上是一致連續的。
若f(x)在[a,+∞)上連續,且limx→+∞f(x)存在,證明f(x)在[a,+∞)上有界
3樓:drar_迪麗熱巴
因為lim(x->+∞)f(x)存在,不妨令其為a
則根據極限定義,對ε=1,存在正數d>0,使對任意x>d,有|f(x)-a|<1
即a-1若da,有a-1若d>=a,因為f(x)在[a,d]上連續,所以f(x)在[a,d]上有界
即f(x)在[a,d]∪(d,+∞)=[a,+∞)上有界
綜上所述,f(x)在[a,+∞)上有界
若存在兩個常數m和m,使函式y=f(x),x∈d 滿足m≤f(x)≤m,x∈d 。 則稱函式y=f(x)在d有界,其中m是它的下界,m是它的上界。
關於函式的有界性.應注意以下兩點:
(1)函式在某區間上不是有界就是無界,二者必屬其一;
(2)從幾何學的角度很容易判別乙個函式是否有界(見圖2).如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函式的圖形介於它們之間,那麼函式一定是無界的。
如果自變數在某一點處的增量趨於0時,對應函式值的增量也趨於0,就把f(x)稱作是在該點處連續的。
注意:在函式極限的定義中曾經強調過,當x→x0時f(x)有沒有極限,與f(x)在點x0處是否有定義並無關係。
但由於現在函式在x0處連續,則表示f(x0)必定存在,顯然當δx=0(即x=x0)時δy=0<ε。於是上述推導過程中可以取消0<|δx|這個條件。
4樓:普海的故事
設limf(x)=a (x趨於無窮大)
∴任意ε 存在x>a 當x>x時 |f(x)-a|<ε/4 ∴對任意x1、x2∈(x,+∞) 有|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)-a|+|f(x2)-a|<ε/2
由康託定理 f(x)在[a,x]一致連續 因而存在δ 從而對任意x1,x2∈[a,+∞)只要|x1-x2|<δ 就有|f(x1)-f(x2)|<ε/2+ε/2=ε ∴其一致連續 設函式y=f(x)在(0,+∞)內有界且可導,為什麼說當趨近正無窮時若f'x存在,則必有f'x為0 5樓:貨款 x趨近於無窮大時,sinx導數為cosx, cos無窮大並不存在 設函式f(x)在區間[a,+∞)上連續,有lim(x→+∞)f(x)存在且有限。證明:f(x)在[a,+∞)上有界 6樓: 因為bailim(x→+∞)f(x)存在且有限,du設為c 根據定義,任zhi意ε dao>0,存在x>a,當x>x,有|f(x)-c|<ε不妨取ε=1 即有回,c-1答[a,+∞)上連續 那麼,對上述x>a,有f(x)在區間[a,x]上連續因此,由最值定理得:f(x)在[a,x]上必有最大值f(x)max和最小值f(x)min 即有:f(x)min≤f(x)≤f(x)max,x∈[a,x]那麼,取: max=max min=min 於是,有: min≤f(x)≤max,x∈[a,+∞)因此f(x)有界 有不懂歡迎追問 設函式f(x)在區間[a,+∞)上連續,有lim(x→+∞)f(x)存在且有限,則f(x)在[a,+∞)上____ a有界 b無界 7樓:符離 有界的意思並不是非得有上界有下界:如果這個函式在趨於正無窮有上屆就稱他有界,如果趨於負無窮有下界也叫有界 8樓:茹翊神諭者 詳情如圖所示 有任何疑惑,歡迎追問 由於函bai數y f x 在x 0處可導 du所以 lim f x f 0 x存在,即左右導zhi數都存在且相等。dao 由絕對值的性質回和圖答像可知,y f x 的絕對值在x 0點的左導數和右導數也都存在。所以,若想讓函式y f x 的絕對值在x 0處不可導,必須要讓它在x 0左右導數不相等。由此... 你好,函式在某一點可導,在原函式在該點必定連續,而無法判斷該函式導數在該點的連續性,有可能連續也有可能不連續。設f x 在x 0的某鄰域內二階連續可導,且f 0 0,limx 0xf x 1?cosx 1,則 a.f 0 因為lim x 0xf x 1?cosx 1 0 所以lim x 0f x 0... f x 為偶函式,函式關於y軸對稱,因此在x 0處取得極值,故f 0 0 證明 設可導 的偶函式f x 則f x f x 兩邊求導 f x x f x 即f x 1 f x f x f x 於是f x 是奇函式專 即可導的偶函式的導數是奇函式 類似屬可證可導的奇函式是偶函式 利用函式在某點處的導數即...設函式yfx在x0處可導,則函式yfx的絕對值
設f在0的某鄰域可導且fa則存在當
設fx為偶函式且在x0處可導,求f