不定積分的求法,不定積分求解方法

2021-07-29 02:42:36 字數 6410 閱讀 5137

1樓:百度文庫精選

內容來自使用者:內蒙古冠啟教育資訊諮詢****

求不定積分的方法:公式法,分項積分法,因式分解法“湊”微分法(第一換元法),第二換元法,分部微分法,有理函式的積分。

方法一:基本公式法

因為積分運算微分運算的逆運算,所以從導數公式可得到相應的積分公式。我們可以利用積分公式來算積分

例題:1.=2.=

3.4.方法二:分項積分法

將一整式分項計算積分

例題:1.

2.3.

方法三:因式分解法

分母是可因式分解的多項式,可用此方法做。

例題:1.

2.方法四:第一換元法————“湊”微分法

是求不定積分很重要的方法之一,可以解決大部分求積分的題。

例題:1.

2.3.

注:對比一下2,3,4題,他們長得很像,但解法不同,注意看規律:2——湊微分法

3——基本公式法。4——加點減點法。

5.6.

7.注;對比5,6,7題,觀察異同。5——“湊”微分;6——加點減點;7——“湊”微分和公式法。

8.9.

10.11.12.(注意:注意觀察分子和分母的關係)13.方法五:第二換元法————常用的三角恆等式:1.令x=dx=

=t=2.令(註釋:)

直接換原法:

方法六:分部積分法公式:“指 三 冪 反 對”按這個順序與結合

1.原式=這裡使用了兩次分部積分

2.3.(把被積表示式湊成的形式便可使用分部積分法

2樓:匿名使用者

答案是(2/√3)arctan[(2x+1)/√3] + c,第二類換元積分法你學了嗎?

x²+x+1 = (x²+x+1/4)+(3/4) = (x)²+2(x)(1/2)+(1/2)²+(3/4) = (x+1/2)²+(√3/2)²

∫ dx/(x²+x+1) = ∫ dx/[(x+1/2)²+(√3/2)²]

let u = x+1/2,du = dx

=> ∫ du/[u²+(√3/2)²]

let u = (√3/2)tanz,du = (√3/2)sec²zdz

=> ∫ (√3/2)sec²zdz / [(√3/2)²tan²z+(√3/2)²]

= ∫ (√3/2)sec²zdz / [(√3/2)²(tan²z+1)]

= ∫ sec²zdz / [(√3/2)sec²z] <= 恆等式1+tan²x = sec²x

= [1/(√3/2)]∫ dz

= (2/√3)z + c

= (2/√3)arctan[u/(√3/2)] + c

= (2/√3)arctan[(x+1/2)*(2/√3)] + c

= (2/√3)arctan[(2x+1)/√3] + c

3樓:匿名使用者

原式=∫dx/[(x+1/2)²+(√3/2)²]=4/3∫dx/[1+((2x+1)/√3)²]=2/√3∫d((2x+1)/√3)/[1+((2x+1)/√3)²]

=2arctan((2x+1)/√3)/√3+c

不定積分求解方法

4樓:計廷謙弭雀

說明下sinx/x的不定積分是積不出來的,或者說它積出來之後不可以用初等函式來表達,如果不是數學專業一般不會讓你去積這個的,常見不可積得函式有:

這些還是記住吧,以後別費力去求這些不定積分

不定積分求法?

5樓:孤狼嘯月

這道高等數學不定積分問題可以採用分子分母同時乘以e的x次方後進行求解。

計算不定積分

6樓:我是一個麻瓜啊

^常用積分公式:

1)∫0dx=c

2)∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c3)∫1/xdx=ln|x|+c

4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5)∫e^xdx=e^x+c

6)∫sinxdx=-cosx+c

7)∫cosxdx=sinx+c

8)∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9)∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c10)∫1/√(1-x^2) dx=arcsinx+c11)∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c12)∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c

7樓:於海波司空氣

不定積分公式:∫f(x)dx=f(x)+c。其中∫叫做積分號,f(x)叫做被積函式,x叫做積分變數,f(x)dx叫做被積式,c叫做積分常數,求已知函式不定積分的過程叫做對這個函式進行積分。

不定積分的積分公式主要有如下幾類:

含ax+b的積分、含√(a+bx)的積分、含有x^2±α^2的積分、含有ax^2+b(a>0)的積分、含有√(a²+x^2) (a>0)的積分、含有√(a^2-x^2) (a>0)的積分、含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的積分。

含有三角函式的積分、含有反三角函式的積分、含有指數函式的積分、含有對數函式的積分、含有雙曲函式的積分。

8樓:聞人鬱

計算不定積分,首先要把握原函式與不定積分的概念,基本積分法只要熟記常見不定積分的原函式即可。

注意把握三種不定積分的計算方法:

直接積分法

2.換元積分法(其中有兩種方法)

3.分部積分法。

9樓:西域牛仔王

前面的過程是你自己寫的吧?該解法(令 x=sect)並不錯,

只是最後的表示式形式不同而已,本質是一樣的。

這是由於有公式 arcsinx + arccosx = π/2 。(-1 ≤ x ≤ 1)

10樓:說的人

||^∫secx=ln|secx+tanx|+c

推導:左邊=∫dx/cosx=∫cosxdx/(cosx)^2

=∫d(sinx)/[1-(sinx)^2]

令t=sinx,

=∫dt/(1-t^2)

=(1/2)∫dt/(1+t)+(1/2)∫dt/(1-t)

=(1/2)∫d(1+t)/(1+t)-(1/2)∫d(1-t)/(1-t)

=(1/2)ln|1+t|-(1/2)ln|1-t|+c

=(1/2)ln|(1+t)/(1-t)|+c

=(1/2)ln|(1+sinx)/(1-sinx)|+c //在對數中分子分母同乘1+sinx,

=(1/2)ln|(1+sinx)^2/(cosx)^2|+c

=ln|(1+sinx)/cosx|+c

=ln|1/cosx+sinx/cosx|+c

=ln(secx+tanx|+c=右邊,

∴等式成立。

提供一些給你!

∫ a dx = ax + c,a和c都是常數

∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + c,其中a為常數且 a ≠ -1

∫ 1/x dx = ln|x| + c

∫ a^x dx = (a^x)/lna + c,其中a > 0 且 a ≠ 1

∫ e^x dx = e^x + c

∫ cosx dx = sinx + c

∫ sinx dx = - cosx + c

∫ cotx dx = ln|sinx| + c

∫ tanx dx = - ln|cosx| + c = ln|secx| + c

∫ secx dx = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + c = ln|secx + tanx| + c

∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + c = (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + c = - ln|cscx + cotx| + c = ln|cscx - cotx| + c

∫ sec^2(x) dx = tanx + c

∫ csc^2(x) dx = - cotx + c

∫ secxtanx dx = secx + c

∫ cscxcotx dx = - cscx + c

∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + c

∫ dx/√(a^2 - x^2) = arcsin(x/a) + c

∫ dx/√(x^2 + a^2) = ln|x + √(x^2 + a^2)| + c

∫ dx/√(x^2 - a^2) = ln|x + √(x^2 - a^2)| + c

∫ √(x^2 - a^2)dx=x/2√(x^2 - a^2)-a^2/2ln[x+√(x^2 - a^2)] + c

∫ √(x^2 +a^2)dx=x/2√(x^2 +a^2)+a^2/2ln[x+√(x^2 +a^2)] + c

∫ √(a^2 - x^2)dx=x/2√(a^2 - x^2)+a^2/2arcsin(x/a) + c

學習進步!望採納,o(∩_∩)o~

11樓:匿名使用者

^^令u=x+1/x

u'=1-1/x^2

注意到(x-1/x^3)/(1-1/x^2)=(x^4-1)/(x^3-x)=(x^2+1)/x=x+1/x=u

故原式=∫ue^udu

簡單的分佈積分

=ue^u+e^u+c

將u=x+1/x帶入即可。

ps:積分中含e^f(x),或是sinf(x),cosf(x)一般都需要將f(x)令為u來解。

12樓:匿名使用者

∫sin^4x dx

=∫(1-cos^2x )sin^2xdx=∫sin^2xdx-1/4∫(sin2x)^2dx=1/2∫(1-cos2x)dx-1/8∫(1-cos4x)dx=1/2x-1/2sin2x-1/8x+1/4sin4x+c=3/8x-1/2sin2x+1/4sin4x+c

13樓:匿名使用者

^^∫sinx/(1+sinx) dx

=∫[1- 1/(1+sinx)] dx

=x -∫dx/(1+sinx)

=x -∫(1-sinx)/[1-(sinx)^2] dx=x -∫(1-sinx)/(cosx)^2 dx=x -∫(secx)^2 dx +∫ [sinx/(cosx)^2] dx

=x -tanx +(1/cosx) +c

14樓:陸淩水鶴

軟體:mathematica,專解符號算式

15樓:秋葉靜美

第一題,(sint+cost)'=cost-sint。所以d(sint+cost)=(cost-sint)dt。

16樓:御巧蠻水凡

^解:(1)

設x=sint

,t=arcsinx,根號1-x^2=cost,dx=costdt

原式=∫[sint(arcsinsint)^2]/[cost]×costdt

=∫sint(arcsinsint)^2dt

=-∫(cost)'(arcsinsint)^2dt

=-(cost(arcsinsint)^2-∫2arcsinxdt)

=∫2arcsinxdarcsinx-cost(arcsinsint)^2

=(arcsinx)^2-[根號(1-x^2)](arcsinsinx)^2+c

(2)原式=1/3∫(e^3x)'(sinx)^2dx

=1/3((e^3x)(sinx)^2-∫(e^3x)2sinxcosxdx)

=1/3((e^3x)(sinx)^2-∫(e^3x)sin2xdx)①

=1/3((e^3x)(sinx)^2-1/3∫(e^3x)'sin2xdx)

=1/3((e^3x)(sinx)^2-1/3((e^3x)sin2x-2∫(e^3x)cos2xdx)

=1/3(e^3x)(sinx)^2-1/9(e^3x)sin2x+2/9∫(e^3x)cos2xdx

=1/3(e^3x)(sinx)^2-1/9(e^3x)sin2x+2/27∫(e^3x)'cos2xdx

=1/3(e^3x)(sinx)^2-1/9(e^3x)sin2x+2/27((e^3x)cos2x+2∫(e^3x)sin2xdx)②

①=②1/3((e^3x)(sinx)^2-∫(e^3x)sin2xdx)=1/3(e^3x)(sinx)^2-1/9(e^3x)sin2x+2/27((e^3x)cos2x+2∫(e^3x)sin2xdx)

所以∫(e^3x)sin2xdx=-27/13(1/3(e^3x)(sinx)^2-1/9(e^3x)sin2x+2/27(e^3x)cos2x-1/3(e^3x)(sinx)^2)

所以原式=1/3((e^3x)(sinx)^2--27/13(1/3(e^3x)(sinx)^2-1/9(e^3x)sin2x+2/27(e^3x)cos2x-1/3(e^3x)(sinx)^2)+c

不定積分問題,不定積分的問題

如 答如下,這種題目需要畫出被積函式,分段求解。其實這種積分,一般不考慮正負號,只考慮用通用的積分方法積出來。不定積分的問題?除了不要絕對值和少了乙個不定常數,對 x2e x dx x2 d e x x2e x e x d x2 分內容部積分 x2e x 2 xe x dx x2e x 2 x d ...

高數不定積分問題求解,高數不定積分問題求解

已經寫在紙上了,第九題在最後。6.cos 1 x x dx cos 1 x d 1 x sin 1 x c 8.dx x 1 ln x dlnx 1 ln x arcsin lnx c 9.dx 1 e x 1 e x 1 e x dx dx e x dx 1 e x x 1 1 e x d e x...

不定積分問題,不定積分問題計算

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