例1 數被3除餘1,被4除餘2,被5除餘4,這個數最小是

2021-08-13 03:22:07 字數 5643 閱讀 1347

1樓:匿名使用者

應該是m1=20 ,m2=15 ,m3=12

m1′=2 ,m2′=-1 ,m3′=3

x=m1*m1′*1+m2*m2′*2+m3*m3′*4+60t ,( t為整數)

=154+60t

取t=-2 , x=34

你可以看看中國剩餘定理!也稱孫子定理!

中國剩餘定理

"剩餘倍分法"互除餘一 互除少一

證明"孫子定理"不完善 不穩定的表現

孫子定理:

例 解同餘式組

解 因3,5,7兩兩互質,故可由孫子定理給出解答, =3 5 7=105,

故由孫子定理,所給同餘式的解為: ≡2 35 2+1 21 3+1 15 2(mod 105)即

≡23(mod 105)。

以上孫子定理的解法,是計算出乘率×衍數×餘數各項相加,減去兩個乘積而得到的一個數,它不完善且解法較為複雜,普及應用有一定難度,還不穩定。

用"剩餘倍分法"把"孫子定理"簡化成一般解法,使剩餘問題獲解時,即有正基數,也有負基數,有正餘數,也有負餘數。互除餘1能解,互除少1也能解(不限制大餘數問題),把其解法轉化成一般演算法、使它完善,穩定可普及應用。

用潘成洞,潘成彪2005《北京大學出版社》157頁,簡明數論一題論述:

例 x≡3(mod8)

x≡1(mod5)

x≡1(mod3) 答案x≡-29(mod120)

用"剩餘倍分法"簡化式對比計算,答案□=91。

3……1

□÷ 5……1

8……3

根據反證法:下式餘數的少數,是上式(例4÷3=商1餘1,如果=商2就少2)的"補充數",稱負餘數。

3……1少2

□ ÷5……1少4

8……3少5

用倍分法計算出正、負基數:

正基數 40 +96+105 = 241

除 數 3 × 5 × 8 = 120

負基數 80 +24 +15 = 119

用式方法一解:餘數×基數各項相加,除以乘積餘數既是。

① 正基數,正餘數

(1×40+1×96+3×105)÷(3×5×8)

=451÷120……91

② 正基數,負餘數

(2×40+4×96+5×105)÷(3×5×8)

=989÷120……29

③ 負基數,負餘數

(2×80+4×24+5×15)÷(3×5×8)

=331÷120……91

④ 負基數,正餘數

(1×80+1×24+3×15)÷(3×5×8)

=149÷120……29

顯然用29還原 加餘數,減少數,不符合題意,用負-29還原符合題意減餘數,加少數,但-29來歷隱性明顯,說服力不強。(低階學校不能接受)

用91還原減餘數,加少數,符合題意,91為正確答案。

以上解法與"孫子定律"基本相同,但是有兩種答案。

如果用"剩餘倍分法"互除餘一 互除少一計算不存在以上兩個答案。

用方法二解:

① 用正基數,正餘數

(3×□+1)÷5=□……1

{6(5+1-1)+1}÷(5×3)

=31÷15……1

(15×□+1)÷8=□……3

{105(8+3-1)+1}÷(8×15)

=1051÷120……91

方法二解:

③ 用正基數,負餘數

(3×□-2)÷5=□…-4

{6(5-4+2)-2}÷(3×5)

=16÷15……1

(15×□+1)÷8=□…-5

{105(8-5-1)+1}÷(8×15)

=211÷120……91

方法三解:

② 負基數,負餘數

(3×□-2)÷5=□…-4

{9(5+4-2)-2}÷(3×5)

=61÷15……1

(15×□+1)÷8=□…-5

{15(8+5+1)+1}÷(8×15)

=211÷120……91

方法三解:

④ 負基數,正餘數

(3×□+1)÷5=□……1

{9(5-1+1)+1}÷(5×3)

=46÷15……1

(15×□+1)÷8=□……3

{15(8-3+1)+1}÷(8×15)

=91÷120……91

答案□=91

再證,用"剩餘倍分法"解:"物不知數"

3……2

□÷ 5……3

7……2

根據反證法:下式餘數的少數,是上式(例5÷3=商1餘2,如果=商2就少1)的"補充數",稱負餘數。

3……2少1

□÷5……3少2

7……2少5

用倍分法計算出正、負基數:

正基數70+21+15=106

除 數 3× 5× 7 =105

負基數35+84+90=209

用式剩餘倍分法、方法一解:餘數×基數各項相加,處以乘積餘數既是。

① 用正基數,正餘數解:

(2×70+3×21+2×15)÷(3×5×7)

=233÷105……23

② 用正基數,負餘數解:

(1×70+2×21+5×15)÷(3×5×7)

=187÷105……82

③ 負基數,負餘數解

(1×35+2×84+5×90)÷(3×5×7)

=653÷105……23

④ 負基數,正餘數解:

(1×35+2×84+5×90)÷(3×5×7)

=502÷105……82

用23還原減餘數,加少數。

用82還原加餘數,減少數。用-82還原減餘,加少數。(低階學校不能接受)

以上解法與"孫子定律"基本相同,但是有兩種答案。

如果用"剩餘倍分法"互除餘一 互除少一計算不存在以上兩個答案。

方法二解:

① 用正基數,正餘數

(3×□+2)÷5=□……3

{6(5+3-2)+2}÷(5×3)

=38÷15……8

(15×□+8)÷7=□……2

{15(7+2-8)+8}÷(7×15)

=23÷105……23

方法二解

② 用正基數,負餘數

(3×□-1)÷5=□…-2

{6(5-2+1)-1}÷(3×5)

=23÷15……8

(15×□+8)÷7=□…-5

{15(7-5-8)+8}÷(7×15)(據說明:7可以擴大2倍數)

=23÷105……23

方法三解:

③ 負基數,負餘數

(3×□-1)÷5=□…-2

{9(5+2-1)-1}÷(3×5)

=53÷15……8

(15×□+8)÷7=□…-5

{90(7+5+8)+8}÷(7×15)

=1808÷105……23

方法三解

④ 負基數,正餘數

(3×□+2)÷5=□……3

{9(5-3+2)+2}÷(5×3)

=38÷15……8

(15×□+8)÷7=□……2

{90(7-2+8)+8}÷(7×15)

=1178÷105……23

答案□=23

從以上對比認為"孫子定理",解法複雜,有時還不穩定,"剩餘倍分法"不管在那種情況下都穩定,且解法簡單,便於普及推廣,更適用於解應用題。

例: 一個住校生,家裡每星期給他36元生活費。該生每天實際只用生活費5元,某天他小姨到學校看他並給了50元錢,他用此錢買了兩本喜愛的課外讀物花10元,買學習用具花2元,放假回家後說明情況並給家長交回55元。

問:該生帶幾個星期的生活費?實際在校住幾天?一共有多少錢?花去多少錢?

用方法二解:

列式(36×□+50-10-2)÷5=□……55元

{36×(5+55-50+10+2)+50-10-2}÷(5×36)

=(36×22+50-10-2)÷180

=830÷180……110

答; 1,(110-50+10+2)÷36=2, (括號內□內最小數)

2,(110-55)÷5=11, (括號外□內最小數)

3 36×2+50=122,

4,122-55=67。

答:該生帶2個星期的生活費,實際住校11天,一共有122元,花去67元。

“中國剩餘定理”————————韓信點兵

我國有一本數學古書「孫子算經」有這樣一道問題:「今有物,不知其數,三三數之,剩二;五五數之,剩三;七七數之,剩二。問物幾何?」

此題的意思是:有一批物品,三個三個地數,剩兩個;五個五個地數,剩三個;七個七個地數,剩兩個。問這批物品至少有多少個?

術曰:「三三數之剩二,置一百四十,五五數之剩三,置六十三,七七數之剩二,置三十,並之,得二百三十三,以二百一十減之,即得。凡三三數之剩一,則置七十,五五數之剩一,則置二十一,七七數之剩一,則置十五,即得。

」這是解答。意思是2×70+3×21+2×15=233,233-105-105=23.

後面是法則, 明代數學家程大位在其《演算法統宗》裡用口訣“:三人同行七十稀,五樹梅花廿一,七子團圓月正半,除百零五便得知.”表達的。

這個口訣的意思是:把用3除所得的餘數乘以70,加上用5除所得的餘數乘以21,再加上用7除所得的餘數乘以15,結果若是比105大,就減去105的倍數,便得所求的數。

這就是被稱之為“中國剩餘定理”。

同餘知識:

如果整數a、b都除以自然數n,所得餘數相同,就稱為a與b對於模n同餘,記作a≡b(modn).

例如13與8分別除以5, 所得餘數都是3,所以13與8對於模5同餘,即13≡8(mod5).

t同餘的常用性質:

⑴如果兩個整數a與b對於模n同餘,那麼它們的差一定能被n整除.逆之亦真.

⑵同一個模n的兩個同餘式可以相加、相減、相乘.即如果 a≡b(mod n),c≡d(mod n),那麼

a+c≡b+d(mod n), a-c≡b-d(mod n), a×c≡b×d(mod n).

⑶同餘的兩個數分別加上模的倍數後,仍然同餘; 同餘的兩個數擴大同樣的倍數後,仍然同餘.

2樓:匿名使用者

這是他自己虛擬的,為了滿足“20被3除餘1”、“15被4除餘1”、“被5除餘1”的條件,自己新增的。

3樓:夢幻之★心

4樓:林原辜幼旋

34被5除餘4,末尾只能(0+4)4或(5+4)9

再被4除餘2,那末尾只能4,9的話餘數只能是單數

在被3除餘1,你就在前面加,本身4是被3除餘1的,能被3整除的各個位數上的數相加要被3整除,所以前面只能加被3整除的數,然後再結合被4除餘2,

一個數用3除餘1,用4除餘2,用5除餘3,這個數是多少

5樓:你愛我媽呀

這個數是58。bai

分析過程如du下:

一個數用3除餘

zhi1,

dao用4除餘2,用5除餘3,那麼這個數加上內2後正好能被3,4,5整除。

因為3、4、5的最小容公倍數是60。

所以這個數最小是:60-2=58。

驗證:58÷3=19餘1

58÷4=14餘2

58÷5=11餘3

答:這個數最小是58。

數被三除餘一被四除餘二被五除餘四這個

這個最小正數是34.計算方法如下 被3除餘1且能被4 5 20整除的最小正整數是版40 權被4除餘1且能被3 5 15整除的最小正整數是45 被5除餘1且能被3 4 12整除的最小正整數是36 3 4 5 60 40 1 45 2 36 4 274 274 60的餘數為34 那麼所求的最小正整數34...

數字被379整除除4剩1除5剩1除6剩3除8剩

假設這個數為m,因為它能被3,7,9整除,所以它是3,7,9的最小公倍數63的倍數,可以設m 63t,t是整數,由這個數被6除剩3可以得知t不可能是偶數,因為如果t是偶數的話,那麼就有t 2k,m 63 2k 126k,能被6整除。所以t必須是奇數,則可以設t 2k 1,m 63 2k 1 126k...

自然數除以3餘1除以5餘2除以11餘2求符合

用剩抄余定理,由於除襲5和除11皆餘3,可以合bai並為除55餘3,因此有du zhi3,7 dao21,3,55 165,7,55 385,3,7,55 1155,為使21除55餘3,因此,21 8 168,同理,165 3 495,385 1 385,168 495 385 1048,1048模...