1樓：匿名使用者
§2 矩陣的運算現在來定義矩陣的運算，它們可以認為是矩陣之間一些最基本的關係.下面要定義矩陣的加法、乘法、矩陣與數的乘法以及矩陣的轉置.為了確定起見，我們取定乙個數域，以下所討論的矩陣全是由數域中的數組成的.
1. 加法定義1 設,是兩個 矩陣，則矩陣稱為 和 的和，記為.矩陣的加法就是矩陣對應的元素相加.
當然，相加的矩陣必須要有相同的行數和列數.由於矩陣的加法歸結為它們的元素的加法，也就是數的加法，所以不難驗證，它有結合律： ;交換律：
.元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記為 ，在不致引起含混的時候，可簡單地記為 .顯然，對所有的 ，.
矩陣稱為矩陣 的負矩陣，記為 .顯然有矩陣的減法定義為例如 在§1我們看到，某一種物資如果有 個產地， 個銷地，那麼乙個調動方案就可表示為乙個 矩陣.矩陣中的元素 表示由產地 要運到銷地 的這個物資的數量，比如說噸數.
如果從這些產地還有另乙個物資要運到這些銷地，那麼，這種物資的調動方案也可以表示為乙個矩陣.於是從產地到銷地的總的運輸量也可以表示為乙個 矩陣.顯然，這個矩陣就等於上面兩個矩陣的和.
根據矩陣加法的定義,應用關於向量組的秩的性質，很容易看出：秩（ + ）≤ 秩（ ）+秩（ ）2. 乘法在給出乘法定義之前，先看乙個引出矩陣問題.
設 和 是兩組變數，它們之間的關係為 (1)又如 是第三組變數，它們與 的關係為 (2)由(1)與(2)不難看出 與 的關係：. (3)如果我們用 (4)來表示 與 的關係，比較(3),(4)，就有. (5)用矩陣的表示法，我們可以說，如果矩陣分別表示變數 與 以及 與 之間的關係，那麼表示 與 之間的關係的矩陣 就由公式(5)決定.
矩陣 稱為矩陣 與 的乘積，記為一般地，我們有：定義2 設,那麼矩陣,其中, (6)稱為矩陣 與 的乘積，記為.由矩陣乘法的定義可以看出，矩陣 與 的乘積 的第 行第 列的元素等於第乙個矩陣 的第 行與第二個矩陣 的第 列的對應元素的乘積的和.
當然，在乘積的定義中，我們要求第二個矩陣的行數與第乙個矩陣的列數相等.例1 設,那麼例2 如果是一線性方程組的係數矩陣，而分別是未知量和常數項所成的 和 矩陣，那麼線性方程組就可以寫成矩陣的等式.例3 在空間中作一座標係的轉軸.
設由座標系 到 的座標變換的矩陣為如果令,那麼座標變換的公式可以寫成.如果再作一次座標系的轉軸，設由第二個座標系 到第三個座標系 的座標變換公式為,其中.那麼不難看出，由第乙個座標系到第三個座標系的座標變換的矩陣即為.
矩陣的乘法適合結合律.設則.但是矩陣的乘法不適合交換律，即一般說來.
例如，設,而.由這個例子我們還可看出，兩個不為零的矩陣的乘積可以是零，這是矩陣乘法的乙個特點.由此還可得出矩陣消去律不成立.
即當 時,不一定有 .定義3 主對角線上的元素全是1，其餘元素全是0的 矩陣稱為 級單位矩陣，記為 ，或者在不致引起含混的時候簡單寫為 .顯然有,.
矩陣的乘法和加法還適合分配律，即, (9). (10)應該指出，由於矩陣的適合交換律，所以(9)與(10)是兩條不同的規律.我們還可以定義矩陣的方冪.
設 是一 矩陣，定義換句話說， 就是 個 連乘.當然只能對行數與列數相等的矩陣來定義.由乘法的結合律，不難證明,.
這裡 是任意正整數.因為矩陣乘法不適合交換律，所以 與 一般不相等.3.
數量乘法. 定義4 矩陣稱為矩陣 與數 的數量乘積，記為 .換句話說，用數 乘矩陣就是把矩陣的每個元素都乘上 .
數量乘積適合以下的規律：, (11), (12), (13), (14). (15)矩陣通常稱為數量矩陣.
作為(15)的特殊情形，如果 是一 矩陣，那麼有.這個式子說明，數量矩陣與所有的 矩陣作乘法是可交換的.可以證明：
如果乙個 級矩陣與所有 級矩陣作乘法是可交換的，那麼這個矩陣一定是數量矩陣.再有,,這就是說，數量矩陣的加法與乘法完全歸結為數的加法與乘法.4.
轉置把一矩陣 的行列互換，所得到的矩陣稱為 的轉置，記為 .可確切地定義如下：定義5 設，所謂的轉置就是指矩陣.
顯然， 矩陣的轉置是 矩陣.矩陣的轉置適合以下的規律：, (16), (17), (18).
(19)(16)表示兩次轉置就還原，這是顯然的.例4 設求 .求 .
2樓：匿名使用者
假設對於乙個圖的鄰接矩陣a n*n，存在乙個n*n的0-1矩陣p，使1.(1)
0-1矩陣p滿足條件：每行每列只有乙個元素是1，其餘都是0.
<==>p是置換矩陣.
<==>pp^t=e.
(2)p^ta^kp=[p^tap]^k
用歸納法證明
[p^tap]^k=
[bk ck]
[o dk]
證明如下:
ⅰ.k=1時顯然成立.ⅱ.設
p^ta^kp=
[bk ck]
[o dk]
==>p^ta^(k+1)p=
=[p^ta^(k)p][p^tap]=(用矩陣分塊乘法計算)[bkb1 bkc1+ckd1]
[o dkd1 ]
=[b(k+1) c(k+1)]
[o d(k+1)]
所以當k+1時成立.
==>所有k>0
p^ta^kp=[p^tap]^k=
[bk ck]
[o dk]
2.設p=(p(i,j)),其中p(u(s),s)=1.
a=(a(i,j)).
p^tap=(f(i,j),通過矩陣計算得f(i,j)=∑p(k,i)p(l,j)a(k,l)p(k,i)p(l,j)=1
<==>
p(k,i)=p(l,j)=1
<==>
k=u(i),l=u(j).
==>f(i,j)=a(u(i),u(j))
當r+1≤i≤n,1≤j≤r時,
a(u(i),u(j))=f(i,j)=0==>
圖g從頂點v(u(i))到v(u(j))無邊,其中r+1≤i≤n,1≤j≤r.
另外需要看線代的書和離散中的圖論的內容(相對簡單),其中線代是基礎.
本題和
不矛盾,沒什麼關係.
另，將a^k中的元素記為a（i,j,k), 對於a的任意元素(i,j),存在整數k=k（i，j）≤n,使a（i,j,k)>0，請證明a不滿足等式
用反證法很簡單:
設p^tap=
[b1 c1]
[o d1]
成立,則
p^ta^kp=[p^tap]^k=
[bk ck]
[o dk]
而p^ta^kp只是a^k的行和列的置換,其中的元素是相同的.
比如:a(u(r+1),u(1),k)=0,任意k>0,和有k使a(u(r+1),u(1),k)>0矛盾.
--k(i,j)是指乙個≤n的整數.
和另外一題無矛盾,主要是條件不一樣.
3樓：劉校良
（一） 矩陣的線性運算
特殊乘法:222()abaabbab 222()
()()abababab
4樓：人工智慧補習班
[人工智慧]ai 數學基石：矩陣的運算
矩陣的運算？
5樓：
就是一些矩陣的減法，減法乘法運算，具體做法可以看圖。
矩陣的運算和行列式的運算有什麼關係
6樓：充寄波廣宜
行列式具體是乙個數值，它根據行列式的計算可以得出來。矩陣則是把很多資料放在一起，它不能像行列式一樣計算出乙個具體值來。我想你有點混淆是n階行列式和n階矩陣上面。
行列式對應的矩陣一定是n*n的，而矩陣就不一樣了可以是m*n
顯然行列式的運算與矩陣運算不同，樓主不要混淆概念。
7樓：乙個人郭芮
矩陣的化簡只能使用行變換
而行列式的計算
行列運算都是可以的
而行列式實際上就是乙個數
矩陣則是乙個陣列
8樓：滑稽
矩陣的模就是行列式的計算
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