1樓：匿名使用者
原題應為
m*n矩陣的秩為1的充要條件是有m個不全為零的a(1),..,a(m)和n個b(1),...,b(n),使得對任意為i=1,2,..
,m,j=1,2,...,n有a(ij)=a(i)*b(j).
證明 充分性,對任意確定的i,j,由
a(ik)=a(i)*b(k),a(jk)=a(j)*b(k),k=1,2,...,n
a(j)*a(ik)=a(i)*a(j)*b(k)=a(i)*a(jk),k=1,2,...,n
矩陣的第i行與第j行線性相關,由i,j的任意性,矩陣的任意兩行**性相關,故矩陣的秩小於2,由a(1),..,a(m)和n個b(1),...,b(n)不全為零,矩陣至少有1行不全為零,故矩陣的秩為1.
必要性 矩陣的秩為1,至少矩陣有一行不全為零,設b(1),..,b(n)是矩陣不全為零的行,由矩陣的秩為1,故矩陣的任意行(包括該行)均能被該行線性表出,設矩陣的第i行(i=1,2,...,m)等於該行的a(i)倍,則矩陣的第i行的元素為a(i)*b(1),..
,a(i)*b(n),此時存在m個不全為零的a(1),..,a(m)和n個b(1),...,b(n),有a(ij)=a(i)*b(j).
2樓：匿名使用者
充分性：
若已知兩個向量a,b。其中a=[a（1），。。。a(m)],b=[b（1），。。b（n)],則：a的轉置×b 就是乙個m*n矩陣，記為c，而且滿足c（ij）=a（m）b（n）
根據公式:
r(a的轉置)＋r(b)－1<=r(c)<=min所以1<=r(c)<=1。於是只能r(c)=1。
必要性：
就是矩陣的「滿秩分解定理」。這是《矩陣論》的內容，《線性代數》中可能不介紹。我簡單說一下：
c是m×n矩陣，r（c）＝1，則c一定分解成a*b，其中a是m*1矩陣，b是1*n矩陣。
證明：c一定能通過初等行列變換變成如下矩陣
1 0 0 ...0 0
0 0 0 ...0 0
0 0 0 ...0 0
...0 0 0 ...0 0
就是左上角有乙個1，其餘部分都是0的m*n矩陣，記這個矩陣為t。
則c＝ptq，其中p是m*m的可逆陣，q是n*n的可逆陣。
現在將t分解，t=u*v=
1 *0 0
...0 1 0 0 ...0 0
u是m*1階矩陣，其中最上面是乙個1，其餘為0v是1*n階矩陣，其中最左邊是乙個1，其餘為0這樣正好t＝u*v
所以c=puvq＝（pu）*（vq）=a*b這樣就證明了充分性。
3樓：匿名使用者
是a（ij）=a（i）b（j）吧？
(矩陣的轉置乘矩陣)的秩=矩陣的秩。那麼矩陣乘(矩陣的轉置)的秩是什麼？求證明
4樓：關鍵他是我孫子
矩陣乘矩陣的轉置的秩=矩陣的秩。證明如下：
設 a是 m×n 的矩陣
可以通過證明 ax=0 和a'ax=0 兩個n元齊次方程同解證得 r(a'a)=r(a)
1、ax=0 是 a'ax=0 的解。
2、a'ax=0 → x'a'ax=0 → (ax)' ax=0 →ax=0，故兩個方程是同解的。
同理可得 r(aa')=r(a')
另外 有 r(a)=r(a')
所以綜上 r(a)=r(a')=r(aa')=r(a'a)
5樓：匿名使用者
這兩個矩陣的秩都等於原矩陣的秩，證明見下圖，要用到齊次線性方程組解的知識。
矩陣A乘以它的轉置矩陣後得到的矩陣B的秩等於A的秩，為什麼？即若B A T A，求證 R B R A
a是實矩陣時結論成立.證明思路 齊次線性方程組 ax 0 與 a tax 0 同解.先自己試證,哪卡住來追問 這個結論的前提是a是實矩陣 可以通過方程ax 0和a tax 0同解來證明 當然，如果你知道奇異值分解的話更簡單 證明 矩陣a與a的轉置a 的乘積的秩等於a的秩，即r aa r a 設 a是...
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乙個bai矩陣乘上一 個數,du它的秩會發生變化zhi嗎dao 乘以零一般會變化 除非原來的矩陣回是答零矩陣 非零則肯定不變。乙個矩陣的秩等於1,它是不是只有乙個非零特徵值 假定這個矩陣是方陣 不然就不談特徵值了 那麼它最多只有乙個特徵值非零,當然也可能所有特徵值都是零,比如說 0 0 1 0 0 ...
轉置矩陣的基本性質，伴隨矩陣與轉置矩陣的區別。
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