已知f x 在x 0的某個鄰域內連續,且limx 0f x 1 cosx 2,則在x 0處f x

2021-04-22 15:00:01 字數 4069 閱讀 5906

1樓:eu啦雪

證明:由(x→0)limg(x)/x=-1 (極限為-1,分母趨於0,則分子必趨於0)

可知(x→0)limg(x)=0 即g(0)=0於是專(x→0)lim[g(x)-g(0)]/(x-0)=-1則g(x)在該鄰域內可屬導且g'(0)=-1(x→0)limf(x)/g²(x)=2

因為(x→0)limg²(x)=0

則(x→0)limf(x)=0

f(0)=0

對(x→0)limf(x)/g²(x)=2進行變形(x→0)limf(x)/g²(x)

=(x→0)lim[f(x)/x][x²/g(x)]=(x→0)lim[f(x)/x²]•(x→0)limx²/g(x) (變成兩個極限之積,並對右邊的極限用洛必達法則)

=(x→0)lim[f(x)/x²]•(x→0)limx/g(x)•(x→0)lim1/g'(x)

=(x→0)lim[f(x)/x²]•(-1)•(-1)=2因此f(x)=2x²+o(x)

於是可以得到(x→0)limf(x)/x=0即f'(0)=0即證

2樓:匿名使用者

x→0時cosx→1,

∴由limf(x)/(1-cosx)=2,得limf(x)=0,f(x)在x=0的某鄰域內連續,

∴f(0)=0.

這裡,沒有取極小值。

已知f(x)在x=0的某個鄰域內連續,且limx->0f(x)/1-cosx=2,則在x=0處f(x)?

3樓:小小芝麻大大夢

limx->0f(x)/(1-cosx)=2。

∵x->0分母1-cosx→0。

極限=2,f(0)→0。

洛必達法則:

lim(x->0)f(x)/(1-cosx)=lim(x->0)f'(0)/sin0,分母依舊為0,極限存在,f'(0)=0。

繼續求導:=lim(x->0)f''(0)/cos0=2。

∴f''(0)=2>0。

∴f(0)=0為極小值。

4樓:人生如戲

前面直接用洛必達的不對,因為題目沒有提到且沒辦法推出f(x)在x=0的某鄰域內可導,只是在某鄰域內連續而已。本題主要通過函式連續的定義、導數定義、函式極限的保號性、極值定義求解。注意判定極值的時候,不能用極值的三個充分條件判定,因為他們的前提都是在x0的某鄰域內可導。

5樓:星丶

由於1-cosx在x=0的左鄰域與右鄰域內都有limx→0 1-cosx>0 由保號性與連續性可知鄰域內的點有limx→0 f(x)=f(x)>0=f(0) 即f(0)是極小值點

由極小值的定義如下:一般地,設函式f(x)在x0附近有定義,如果對x0附近的所有的點,都有f(x)>f(x0),就說f(x0)是函式f(x)的乙個極小值,記作y極小值=f(x0),x0是極小值點。

看了他們的答案好像都用到了導數,實際這題考察的是極值的原始定義

6樓:低言淺唱情詩

證明:由(x→0)limg(x)/x=-1 (極限為-1,分母趨於0,則分子必趨於0)

可知(x→0)limg(x)=0 即g(0)=0於是(x→0)lim[g(x)-g(0)]/(x-0)=-1則g(x)在該鄰域內可導且g'(0)=-1(x→0)limf(x)/g²(x)=2

因為(x→0)limg²(x)=0

則(x→0)limf(x)=0

f(0)=0

對(x→0)limf(x)/g²(x)=2進行變形(x→0)limf(x)/g²(x)

=(x→0)lim[f(x)/x][x²/g(x)]=(x→0)lim[f(x)/x²]•(x→0)limx²/g(x) (變成兩個極限之積,並對右邊的極限用洛必達法則)

=(x→0)lim[f(x)/x²]•(x→0)limx/g(x)•(x→0)lim1/g'(x)

=(x→0)lim[f(x)/x²]•(-1)•(-1)=2因此f(x)=2x²+o(x)

於是可以得到(x→0)limf(x)/x=0即f'(0)=0

7樓:匿名使用者

前面所bai

有用洛必達的也真是不du

怕誤人子弟啊。

zhi。這題考的是定義啊,偏偏dao正版

確答案放在了最下面。

連續卻未告權知可導,洛洛洛,泰勒都要哭了誒。下面答案中有用定義做的建議提到推薦答案,答案中1-cosx用了泰勒近似1/2x^2+o(x^2)

8樓:緊抱著大神腿

首先 有f(0) = 0; 等價來無窮小 1-cosx ~1/2x2

lim x->0 (f(x)-f(0))/(x-0) = lim x->0 x * f(x)/x2 = 0 所以f'(0) = 0;

lim x->0 ((f(x)-f(0))/(x-0) -f'(0))/(x-0) = f''(x) = lim x->0 f(x) /x2 =1>0;

顯然自因為bai f'(0) = 0; f''(0)>0。所以在x=0處有極小值du!

純手打,有bug的地

zhi方請提出,水平有限有dao誤地方請見諒 謝謝!

已知函式f(x,y)在點(0,0)的某個鄰域內連續,且limx→0,y→0f(x,y)-xy(x2+y2)2=1,則(  )a.

9樓:巢秀榮容子

當x→0時,

bai3x-1→0,故原極限du形式為:00型,zhi

當x→dao0時,3x-1~ln3

x,ln(1+x)~x,sinx~x,

利用上述內等價無窮小代容

換,計算可得:

limx→0

ln(1+

f(x)

sin2x

)3x?1

=lim

x→0f(x)

2xln3 x=1

2ln3

limx→0

f(x)x2.

所以:1

2ln3

limx→0

f(x)

x2=5,

故:lim

x→0f(x)

x2=10ln3,

故答案為:10ln3.

10樓:十六夜

由lim

x→0,y→0

f(x,y)-xy

(x+y

)=1知,du

因此分母的極zhi限趨於0,故分子的極限必為零,從而dao有f(0,0)=0;

因為極限等版於1;故f(x,y)-xy~(權x2+y2)2(|x|,|y|充分小時),

於是f(x,y)~xy+(x2+y2)2.因為:f(0,0)=0;

所以:f(x,y)-f(0,0)~xy+(x2+y2)2.可見當y=x且|x|充分小時,

f(x,y)-f(0,0)≈x2+4x4>0;

而當y=-x且|x|充分小時,f(x,y)-f(0,0)≈-x2+4x4<0.

故點(0,0)不是f(x,y)的極值點.

故選:a.

設函式f(x)在x=0點的某個鄰域內連續,且limx→0f(x)ex?1=2,則曲線y=f(x)在x=0處的法線方程為______

11樓:寧寧不哭

因為:limx→0

f(x)ex

?1=2,du且zhi

limx→0ex

?1=0,

所以:f(0)=lim

x→0f(x)=0,

利用導數的定dao義可得:

f′(版0)=lim

x→0f(x)?f(0)

x?0=lim

x→0f(x)

x=lim

x→0f(x)ex

?1?ex?1

x=lim

x→0f(x)ex

?1lim

x→0ex?1

x=2.

所以,y=f(x)在x=0的切線的斜率為2,故:權法線斜率為?12,

從而,曲線y=f(x)在x=0處的法線方程為:

y-f(0)=?1

2(x?0),

即:y=?12x.

故答案為:y=?12x.

fx在x0處可導,說名fx在x0處連續

肯定可以的。首先函式在這個點二階可導。說明函式在一階領域皆可導,既然一階導函式存在,那麼fx處處連續。是的在某個點可導,必然在某個點的鄰域內連續。f x 在點x0處可導是f x 在點x0處連續的 f x 在點x0處可導是f x 在點x0處連續的 充分條件 可導一定連續,連續卻未必可導。肯定可以的。首...

設f x 在x 0的鄰域內具有二階導數,且lim x趨於0 1 x f x

解 1 lim x 0 1 x f x x 1 x e 3 e lim x 0 1 x ln 1 x f x x 故有lim x 0 ln 1 x f x x x 3 分母趨於 e68a8462616964757a686964616f313333303631610,故分子必趨於0,於是有 lim x...

設f(x)在x a的某個鄰域內有定義,則f(x)在x a處可導的充分條件是

設函式f x 在x a的某個鄰域內有定義,則f x 在x a處可導的乙個充分條件是?a.lim h趨近 於0 f a 2h f a h h存在 b.lim h趨近於0 f a h f a h 2h存在 c.lim h趨近於0 f a f a h h存在 dlim h趨近於無窮 h f a 1 h f...