1樓：星光下的守望者
化成極座標形式的積分
x＾2+y＾2=rx的極座標方程為r=rcost (t∈[-π/2,π/2])
又根據對稱性有：
原積分=2∫[0->π/2]∫[0->rcost] (r^2-r^2)^(1/2)rdrdt
=2∫[0->π/2] -(2/3)(r^2-r^2)^(3/2) | [0->rcost] dt
=2∫[0->π/2] -(2/3)[(rsint)^3-r^3] dt
= (4/3)∫[0->π/2] r^3-(rsint)^3 dt
= (4/3)[r^3(π/2-0) - (r^3)∫[0->π/2] (sint)^3dt]
= (2/3)πr^3-(4/3)(1!!/3!!)r^3
= (2/3)πr^3-(4/9)r^3
= (2r^3)/3}(π-4/3)
其中用到了∫[0->π/2] (sint)^ndt=(n-1)!!/n!! 當n為奇數時
(π/2)*(n-1)!!/n!! 當n為偶數時
我算出的結果和你給的結果有點出入，也許是我算錯了吧，不過方法就是這樣的
二重積分根號下（r^2-x^2+y^2)其中d是由圓周x^2+y^2=rx所圍成的區域角度值怎麼確
2樓：弈軒
x^2+y^2=rx 先化為標準方程
=> x² -2(r/2·x) + (r/2)² +y²= (x-r/2)² +y² =(r/2)²
如果以(x,y)=(0,0)為極座標圓點來計算的話，那會非常麻煩。
應該以區域d，這個圓的圓心(x,y)=(r/2,0)為極座標圓點來建系。
即設 x-r/2=ρcosθ ；y=ρsinθ ，解答過程等會追答用圖展示。
如圖，如有疑問或不明白請追問哦！
二重積分：∫∫√(r^2-x^2-y^2)dxdy, 其中d是由圓周x^2+y^2=rx所圍成的閉
3樓：匿名使用者
x² + y² = rx ==> (x - r/2)² + y² = (r/2)² ==> r = rcosθ
這是在y軸右邊，與y軸相切的圓形
所以角度範圍是有- π/2到π/2
又由於被積函式關於x軸對稱
由對稱性，所以∫∫d = 2∫∫d(上半部分)，即角度範圍由0到π/2
∫∫ √(r² - x² - y²) dxdy
= ∫∫ √(r² - r²) * r drdθ
= 2∫(0，π/2) dθ ∫(0，rcosθ) √(r² - r²) * r dr
= 2∫(0，π/2) dθ * (- 1/2) * (2/3)(r² - r²)^(3/2) |(0，rcosθ)
= (- 2/3)∫(0，π/2) [(r² - r²cos²θ)^(3/2) - r³] dθ
= (- 2/3)∫(0，π/2) r³(sin³θ - 1) dθ
= (- 2/3)r³ * (2!!/3!! - π/2)，這裡用了wallis公式
= (- 2/3)r³ * (2/3 - π/2)
= (1/3)(π - 4/3)r³
二重積分：∫∫√(r^2-x^2-y^2)dxdy,其中d是由圓周x^2+y^2=rx所圍成？
4樓：基拉的禱告
詳細過程如圖，希望能幫到你解決你心中的問題
希望過程清楚明白
∫∫√（r^2-x^2-y^2）d☆,,積分區域是圓周x^2+y^2=rx的閉區間，，
5樓：匿名使用者
∫∫√(a²-x²-y²)dσ,積分區域是圓周x²+y²=ax的閉區間【為避免符號混亂我把r換成a】
解：積分域：x²-ax+y²=(x-a/2)²+y²=a²/4；這是乙個圓心在(a/2，0)，半徑為a/2的園。(a>0)
【其中sin³θ是奇函式，其在對稱區間上的積分=0】
計算二重積分∫∫d根號(x^2+y^2)dσ,其中d 是x^2+y^2=2x 所圍成的區域,過程詳細點謝謝
6樓：匿名使用者
^^^∫∫baid根號
du(x^2+y^zhi2)dσ=2∫(0,πdao/2)dθ版∫(0,2cosθ)r^權2dr=2∫(0,π/2)(1/3)(2cosθ)^3dθ=(16/3)∫(0,π/2)(cosθ)^3dθ=(16/3)(2/3)=32/9
計算二重積分∫∫ddxdy/√(4-x^2-y^2),其中d是由圓周x^2+y^2=2x圍城的閉區域。 10
7樓：匿名使用者
解：原式=∫
<-π/2,π/2>dθ
∫<0,2cosθ>√(4-r²)rdr (作極座標變換)=∫<-π/2,π/2>[(8/3)(1-sin³θ)]dθ=(8/3)∫<-π/2,π/2>[1-sinθ(1-cos²θ)]dθ
=(8/3)[θ+cosθ-cos³θ/3]│<-π/2,π/2>=(8/3)[π/2-(-π/2)]
=8π/3。
計算二重積分.∫∫根下｛（1-x^2-y^2）/(1+x^2+y^2)｝dσ,d：x＾2+y＾2<=ax的二重積分 15
8樓：浮生梔
化為極座標，原式=∫[0->π/2]dθ∫[0->1] [(1-r²)/(1+r²)]^(1/2) rdr
=π/2∫[0->1] (1/2)[(1-r²)/(1+r²)]^(1/2) dr²
第二類換元法
令t=[(1-r²)/(1+r²)]^(1/2),解出r²=(1-t²)/(t²+1),dr²/dt=[(1-t²)/(t²+1)]'=-4t/(t²+1)²
r²∈[0，1] -> t∈[1,0]
=π/4∫[1->0] -4t²/(t²+1)²dt
=π∫[0->1] t²/(t²+1)²dt
=π∫[0->1] (t²+1)/(t²+1)²dt - ∫[0->1] 1/(t²+1)²dt
=π [(arctan1-arctan0) - (t/(1+t^2)+arctant)/2 | (0->1) ]
=π [π/4-(1/2+π/4-0-0)/2]
=π [π/8 - 1/4]
=π*（π-2）/8
其中用到了：
∫1/(1+t^2)^2dt=(t/(1+t^2)+arctant)/2+c
擴充套件資料
積分是微積分學與數學分析裡的乙個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。直觀地說，對於乙個給定的正實值函式，在乙個實數區間上的定積分可以理解為在座標平面上，由曲線、直線以及軸圍成的曲邊梯形的面積值（一種確定的實數值）。
積分的乙個嚴格的數學定義由波恩哈德·黎曼給出（「黎曼積分」）。黎曼的定義運用了極限的概念，把曲邊梯形設想為一系列矩形組合的極限。從十九世紀起，更高階的積分定義逐漸出現，有了對各種積分域上的各種型別的函式的積分。
比如說，路徑積分是多元函式的積分，積分的區間不再是一條線段（區間[a,b]），而是一條平面上或空間中的曲線段；在面積積分中，曲線被三維空間中的乙個曲面代替。對微分形式的積分是微分幾何中的基本概念。
∫∫√(r^2-x^2-y^2) dσ, 其中d為閉區域:x^2+y^2<=r^2, 求二重積分的值？
9樓：匿名使用者
極座標變換：x＝rcosa，y＝rsina，0<=a<=2pi，0<=r<=r。
注意到jacobian行列式為r，於是原積分＝∫ (從0到2pi)da ∫(從0到r)√(r^2-r^2)rdr＝2pi*【－(r^2-r^2)^(3/2)/3】|上限r下限0＝2pi*r^3/3。
10樓：學校畢業
^∫∫√(r^2-x^2-y^2) dσ
=∫∫(r²-p²)pdpdθ 積分域為整個圓
=4∫∫√(r²-p²)pdpdθ 這兒為4分之1圓
=4∫（0，π/2）dθ∫(0,r)√r²-p²pdp=-1/2*4∫（0，π/2）2/3(r²-p²)^(3/2)|（0，r）dθ
=-2*π/2*2/3*(-（r²）^(3/2))=2/3πr^3
已知計算二重積分x 2 y 2 x dxdy,其中D由直線y 2,y x與y 2x所圍成
x 2 y 2 x dxdy 0,2 dy y 2,y x 2 y 2 x dx 0,2 x 3 3 xy 2 x 2 2 x y 2,y dy 13 6 積分限為 y 2 x y 0 y 2 所以 專 x 屬2 y 2 x dxdy dy x 2 y 2 x dx dy 1 3x 3 xy 2 1...
計算二重積分x 2 y 2 dxdy,其中D是由x
化成極座標，x 2 y 2 2x，變成r 2cos 積分區域 0 r 2cos 2 2，區域以x軸為上下對稱，回只求第 答一象限區域，再2倍即可，i 2 0,2 d 0,2cos r rdr 2 0,2 d r 3 3 0,2cos 2 3 0,2 8 cos 3 d 16 3 0,2 1 sin ...
計算二重積分sin根號下x 2 y 2dxdy,Dx,y2x 2 y
解 原式 0,2 d 2 sinr rdr 作極座標變換 2 2 sinr rdr 2 3 應用分部積分法計算 6 2。計算二重積分 sin x 2 y 2dxdy d 2 x 2 y 2 4 2 我想問下 2 r sinr dr 怎麼求的啊 用分步積分法 2 r sinr dr 2 r dcosr...