求不定積分x1xx2dx

2021-03-07 09:07:53 字數 5817 閱讀 5725

1樓:等待楓葉

|不定積分∫x/(x^2-x-2 )dx的結果為2/3*ln|x-2|+1/3ln|x+1|+c。

解:因為x/(x^2-x-2)=x/((x-2)*(x+1)),

令x/((x-2)*(x+1))=a/(x-2)+b/(x+1)=(ax+a+bx-2b)/((x-2)*(x+1)),

可得a=2/3,b=1/3。那麼,

∫x/(x^2-x-2)dx

=∫x/((x-2)*(x+1))dx

=∫(2/(3*(x-2))+1/(3*(x+1)))dx

=2/3*∫1/(x-2)dx+1/3∫1/(x+1)dx

=2/3*ln|x-2|+1/3*ln|x+1|+c

擴充套件資料:

1、因式分解的方法

(1)十字相乘法

對於x^2+px+q型多項式,若q可分解因數為q=a*b,且有a+b=p,那麼可應用十字相乘法對多項式x^2+px+q進行因式分解。

x^2+px+q=(x+a)*(x+b)

(2)公式法

平方差公式,a^2-b^2=(a+b)*(a-b)。

完全平方和公式,a^2+2ab+b^2=(a+b)^2。

完全平方差公式,a^2-2ab+b^2=(a-b)^2。

2、不定積分湊微分法

通過湊微分,最後依託於某個積分公式。進而求得原不定積分。

例:∫cos3xdx=1/3∫cos3xd(3x)=1/3sin3x+c

直接利用積分公式求出不定積分。

3、不定積分公式

∫mdx=mx+c、∫1/xdx=ln|x|+c、∫cscxdx=-cotx+c

2樓:寂寞的楓葉

^∫x/(x^2-2ax+1)dx的不定積分為1/2*ln|(x^2-2ax+1|+a/√(1-a^2)*arctan((x-a)/√(1-a^2))+c

解:∫x/(x^2-2ax+1)dx

=1/2*∫(2x-2a+2a)/(x^2-2ax+1)dx

=1/2*∫(2x-2a)/(x^2-2ax+1)dx+∫a/(x^2-2ax+1)dx

=1/2*∫1/(x^2-2ax+1)d(x^2-2ax+1)+∫a/(x^2-2ax+1)dx

=1/2*∫1/(x^2-2ax+1)d(x^2-2ax+1)+a*∫1/((x-a)^2+1-a^2)dx

=1/2*∫1/(x^2-2ax+1)d(x^2-2ax+1)+a/(1-a^2)*∫1/(((x-a)/√(1-a^2))^2+1)dx

=1/2*ln|(x^2-2ax+1|+a/(1-a^2)*∫1/(((x-a)/√(1-a^2))^2+1)dx

令(x-a)/√(1-a^2)=tant,則x=√(1-a^2)*tant+a,那麼

∫1/(((x-a)/√(1-a^2))^2+1)dx

=∫1/(sect)^2d(√(1-a^2)*tant+a)

=√(1-a^2)*∫(sect)^2/(sect)^2dt

=√(1-a^2)*∫1dt

=√(1-a^2)*t+c

又(x-a)/√(1-a^2)=tant,則t=arctan((x-a)/√(1-a^2)),則

∫1/(((x-a)/√(1-a^2))^2+1)dx

=√(1-a^2)*t+c

=√(1-a^2)*arctan((x-a)/√(1-a^2))+c

所以∫x/(x^2-2ax+1)dx

=1/2*ln|(x^2-2ax+1|+a/(1-a^2)*∫1/(((x-a)/√(1-a^2))^2+1)dx

=1/2*ln|(x^2-2ax+1|+a/√(1-a^2)*arctan((x-a)/√(1-a^2))+c

即∫x/(x^2-2ax+1)dx的不定積分為:

1/2*ln|(x^2-2ax+1|+a/√(1-a^2)*arctan((x-a)/√(1-a^2))+c

擴充套件資料:

1、不定積分的公式型別

(1)含ax^2±b的不定積分

∫(1/(a*x^2+b))=1/√(a*b)*arctan(√a*x/√b)+c

(2)含a+bx的不定積分

∫(1/(ax+b))=1/b*ln|ax+b|+c、∫(x/(ax+b))=1/b^2*(a+bx-aln|ax+b|)+c

(3)含x^2±a^2的不定積分

∫(1/(x^2+a^2))=1/a*arctan(x/a)+c、∫(1/(x^2-a^2))=1/(2a)*ln|(x-a)/(x+a)|+c

2、不定積分的求解方法

(1)換元積分法

例:∫e^(2x)dx=1/2∫e^(2x)d(2x)=1/2*e^(2x)+c

(2)積分公式法

例:∫e^xdx=e^x、∫1/xdx=ln|x|+c、∫cosxdx=sinx+c

(3)分部積分法

例:∫x*e^xdx=∫xd(e^x)=x*e^x-∫e^xdx=x*e^x-e^x=(x-1)*e^x

3、常用的積分公式

∫(secx)^2dx=tanx+c、∫1/(x^2+x+1)d(x^2+x+1)=ln|x^2+x+1|+c、積分5dx=5x+c

3樓:我的我451我

被積函式是分數形式一般要拆分,怎麼拆必須公式要熟。

∫x/(x^2-x-2 )dx=∫x/[(x-2)(x+1)]dx=∫[1/(x+1)+2/(x-2 )(x+1)]dx

=∫[1/(x+1)+2/3*[1/(x-2 )-1/(x+1)]dx=∫[1/3(x+1)+2/3(x-2 )]dx

=1/3*ln(x+1)+2/3*ln(x-2)+c   c為常數

拆分規則:在有意義的情況下,是任何乙個賦值都會滿足的。

因為本身有理式的拆分就是乙個恒等式求解的過程,也就是設a(x)=a(x),那麼你無論給左右兩邊取什麼值,只要這個值在a(x)的定義域內,該等式一定成立的。

而且如果不採用賦值法的話,就直接進行同分,最後我們用到的定理叫做多項式恒等定理,效果是一樣的。

4樓:匿名使用者

顯然[1+√(1+x)] *[1-√(1+x)]=1 -1- x= -x

於是得到∫x/[1+√(1+x)]dx

=∫ -1+ √(1+x) dx

代入基本公式∫x^n dx=1/(n+1) *x^(n+1)原積分= -x +2/3 *(1+x)^(3/2) +c,c為常數

5樓:匿名使用者

|令x=tant, 則dx=sec²tdt

∫dx/[x√(1+x²)]

=∫sec²t/(tantsect) dt

=∫sect/tant dt

=∫1/sint dt

=∫csct dx

=∫csct(csct-cott)/(csct-cott)dt

=∫(csc²t-csctcott)/(csct-cott)dx

=∫d(csct-cott)/(csct-cott)

=ln|csct-cott|+c

=ln|[√(1+x²)-1]/x|+c

=ln[√(1+x²)-1]-ln|x|+c

c為任意常數

**********==

你的答案和我的答案其實是一樣的

-1/2lnl(1+(1+x^2)^1/2)/(1-(1+x^2)^1/2)l+c

=(1/2) ln[l(1+(1+x^2)^1/2)/(1-(1+x^2)^1/2)l^(-1)]+c.......利用對數性質,把負號消掉

=(1/2)lnl(1-(1+x^2)^1/2)/(1+(1+x^2)^1/2)l+c

=(1/2)ln|(1-(1+x^2)^1/2)²/x²|+c.......對數真數分母有理化,分子分母同時乘以1-(1+x^2)^1/2

=ln|((1+x^2)^1/2-1)/x|+c.......利用對數性質,把1/2化進真數

=ln[√(1+x²)-1]-ln|x| +c .......對數運算性質

6樓:匿名使用者

^1+x-x^2 = 5/4-(x-1/2)^2letx-1/2 = (√

5/2)sinu

dx =(√5/2)cosu du

∫x/√(1+x-x^2)dx

=-(1/2)∫(1-2x)/√(1+x-x^2)dx +(1/2)∫dx/√(1+x-x^2)

=-(1/2)√(1+x-x^2) +(1/2)∫dx/√(1+x-x^2)

=-(1/2)√(1+x-x^2) +(√5/5)∫ du=-(1/2)√(1+x-x^2) +(√5/5)u + c=-(1/2)√(1+x-x^2) +(√5/5)arcsin[(2x-1)/√5] +c

7樓:裘珍

^解:令:t^2=1+x^2, x=√(t^2-1) dx=tdt/√(t^2-1);

原式=∫dt=∫[(t-1)/t]dt=∫(1-1/t)dt=t-ln|t|+c=√(1+x^2)-(1/2)ln(1+x^2)+c。

8樓:匿名使用者

因為被積函式是偶函式,所以最後得到的原函式必定是奇函式。根據對稱性,這裡首先考慮x>0時的情況。

根據三角函式的基本關係,設x=csc u=1/sin u,因為x>1,所以令u∈(0,π/2)。

那麼dx=-cos udu/sin² u,

sqrt(x^2-1)=sqrt(1/sin² u-1)=cot u=1/tan u,

所以原來的積分=∫1/tan u*(-cos u/sin² u)du=-∫cos u/(tan u*sin² u)du

=-∫cos²u/sin³u du

接下來的部分見下圖:

設t=cos u,那麼t=sqrt(1-sin²u)=sqrt(1-1/x²)=sqrt(x²-1)/x。

因為所以原來的積分為

把t=sqrt(x²-1)/x代入得到

這是x>0時候的情況。

當x<0時,-x>0,因此

原函式在-x處的函式值為

根據奇函式的特點,可知當x<0時的函式值為

9樓:匿名使用者

||令x = 2siny,dx = 2cosy dy

∫ √(4 - x²) dx = ∫ 4cos²y dy = ∫ 2(1 + cos2y) dy = 2y + 2sinycosy + c

= 2arcsin(x/2) + 2 • x/2 • √(4 - x²)/2 + c

= 2arcsin(x/2) + (x/2)√(4 - x²) + c

令x = 2tany,dx = 2sec²y dy

∫ √(4 + x²) dx = ∫ 4sec³y dy = 2secytany + 2ln|secy + tany| + c

= 2 • x/2 • √(4 + x²)/2 + 2ln|x/2 + √(4 + x²)/2| + c

= (x/2)√(4 + x²) + 2ln|x + √(4 + x²)| + c

令x = 2secy,dx = 2secytany dy,假設x > 2

∫ √(x² - 4) dx = ∫ 4secytan²y dy = ∫ 4secy(sec²y - 1) dy = ∫ (4sec³y - 4secy) dy

= 2secytany + 2ln|secy + tany| - 4ln|secy + tany| + c

= 2 • x/2 • √(x² - 4)/2 - 2ln|x/2 + √(x² - 4)/2| + c

= (x/2)√(x² - 4) - 2ln|x + √(x² - 4)| + c

∫ x√(x² - 4) dx = (1/2)∫ √(x² - 4) d(x² - 4) = (1/3)(x² - 4)^(3/2) + c

求不定積分xx2x2dx

解 x x 2 x 2 dx x x 2 x 1 dx 2 3 x 2 1 3 x 1 dx 2 3 1 x 2 dx 1 3 1 x 1 dx 2 3ln x 2 1 3ln x 1 c 即 x x 2 x 2 dx的不定積分為2 3ln x 2 1 3ln x 1 c。擴充套件資料 1 不定積分...

求不定積分xx2x2dx

x x2 2x 2 dx 1 2 2x 2 2 x2 2x 2 dx 1 2 2x 2 x2 2x 2 dx 1 x2 2x 1 1 dx 1 2ln x2 2x 2 arctan x 1 c 求不定積分 x x 2 2x 2 dx 解 x x2 2x 2 dx 1 2 2x 2 2 x2 2x 2...

求不定積分x(x 3)dx,求不定積分 x x 3 dx 麻煩寫下具體過程,謝謝啦

計算過程如下 x 3 t 2 x t 2 3 dx 2dt 原式 t 2 3 t 2dt t 4 2 3t 2 c 擴充套件資料 定積分是一專個數,而不定積分是乙個表示式,它屬們僅僅是數學上有乙個計算關係。乙個函式,可以存在不定積分,而不存在定積分,也可以存在定積分,而沒有不定積分。連續函式,一定存...