1樓：鳴海樂原
①對於r（c）≤r（a，c）是因為常數項矩陣的秩必然不大於增廣矩陣的秩（同係數矩陣與增廣矩陣的關係）（這裡引用其他人的回答：秩的其中乙個定義是：存在乙個r階子式不為0，r+1階子式全為0，稱r為矩陣的秩。
可以這麼簡單理解（a,c)相當於對c做了增廣，整個矩陣更大了，那麼存在更多子式不為0的情況，矩陣更大了，子式的階數也就更大。所以r的值也可能更大，最起碼相等。
當然，我這裡說的矩陣更大了，指的是有規律的增大，比如矩陣的拼接。並不是指的隨意往矩陣裡填充一些數字。）
②因為r（a）＝r（a，c），又有①，故r（c）≤r（a）（這裡用不等式的思路理解一下），否則①被否定
③又r（c）≤r（b）（不證，你沒問）
由②③易有定理七。
2樓：
r(a,b)>=r(a+b)
r(a,b)>=r(b)>=r(ab)
r(ab)與r(a+b)沒有直接關係。
第乙個不等式，將矩陣寫成列向量形式[a1，a2，...，an,b1,b2...,bn]和[a1+b1，a2+b2，...，an+bn]
明顯看到後面矩陣n個向量中的每個向量都是前面矩陣2n個向量的線性組合，就是後邊矩陣的列向量組可以被前邊矩陣的列向量組線性表出。
由線性表出關係可知，前邊向量組的基大於後邊向量組的基。向量組的基就是矩陣的列向量構成的基，也就是矩陣的列秩等於矩陣的秩。得證。
第二個不等式，前半部分同上。後半部分，ab寫成[a1，a2，...，an]b，那麼根據矩陣乘法ab的每一列都是[a1，a2，...
，an]的線性組合，都能夠被其表出。又同上。
證法2：前半部分同上顯然。後半部分bx=0的解x都使得abx=0，因此根據線性方程組解的性質
n-r(b)<=n-r(ab)，整理就是r(b)>=r(ab)。
第三個沒關係的反例：當a=0，b可逆時r(ab)=0，r(a+b)=n。當a=-b可逆時，r(ab)=n，r(a+b)=0。由此可見，大小不定。
矩陣的秩 r(a, b)=r(b, a)
3樓：匿名使用者
肯定相等，因為初等列變換不改變矩陣的秩。
線性代數中關於矩陣秩的問題，r(a，b)與r(ab)的區別，請舉例說明！
4樓：艹呵呵哈哈嘿
一、計算方法不同
1、r(ab)：若a中至少有乙個r階子式不等於零，且在r子式全為零，則a的秩為r。
在m*n矩陣a中，任意決定k行和k列交叉點上的元素構成a的乙個k階子矩陣，此子矩陣的行列式，稱為a的乙個k階子式。
2、r(a,b)：當r(a)<=n-2時，最高端非零子式的階數<=n-2，任何n-1階子式均為零，而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個正負號，所以伴隨陣為0矩陣。
例如，在階梯形矩陣中，選定1，3行和3，4列，它們交叉點上的元素所組成的2階子矩陣的行列式 就是矩陣a的乙個2階子式。
二、計算結果不同
1、r(ab)：r(ka)=r(a)，k不等於0。
2、r(a,b)：r(a)<=min(m,n)，a是m*n型矩陣
5樓：匿名使用者
1樓說法是錯誤的，
矩陣秩和是不是方陣無關，如果談及行列式，才必須是方陣，r(a，b)是a，b的增廣矩陣，必須具有相同的維數常用在解線性方程組中，例如
a=1 2 3
4 5 6
b=1 4 7 4
3 5 8 10
（a,b)=
1 2 3 1 4 7 4
4 5 6 3 5 8 10
r(a，b)就是求上面矩陣的秩
與r(ab)有本質的區別
ab就是兩個向量相稱，要求前乙個向量的列數=後乙個向量的維數即設a為m行*3列形式
那b必須是3行*n列的形式
然後計算他們的乘積後，求秩
6樓：匿名使用者
首先a只有是個方陣，r(a，b)與r(ab)才有意義。
r(a，b)是矩陣(a，b)的秩
r(ab)是矩陣ab的秩
根本就是兩個不同矩陣的秩，基本沒有任何關聯。
a、b是同型矩陣，如何證明他們的秩r(a+b)≤r(a,b)≤r(a)+r(b)?
7樓：匿名使用者
設a的秩為k，則設a1...ak為它列向量的極大無關組設b的秩為l，則設
b1....bl為他它列向量的極大無專關組那麼r(a,b)=r(a1....ak,b1...bl)<=k+l =r(a)+r(b)
而a+b的每乙個屬向量，都能被(a，b)中的向量線性表示，所以r(a+b)≤r(a,b)
具體的在參考資料中 開啟有點慢，
8樓：閭儼柏茂才
向量組①可以有向量組②線性表出，則②的秩要大於等於①的秩序假設向量組①構成矩陣a，向量組②構成矩陣b，則存在矩陣c使得a=bc
所以r(a)=r(bc)<=r(b)
關於平面向量中矩陣的秩的問題，怎樣證明r(a+b)<=r(a)+r(b)?
9樓：不愛天使路西法
復設a=【m × n矩陣制】，矩陣行看成行向量αbai1，α2…αn。
則秩dua=秩=r。
同樣zhi
，秩b=秩=t。
設a的極大線性無關組為，同樣b的極大線性無關組為。
則a+b=
可以用來表示。
則秩（a+b）≤秩（a）+秩（b）。
10樓：阿木他哥丶
設a,b為m × n矩陣，對矩陣（a+b,b）作列變換可得：（a+b,b）~（a,b）
於是r（a+b）<=r(a+b,b)=r(a,b)<=r（a)+r(b)
線代r(ab)≧r(a)+r(b)-n證明，如下圖所示最後乙個矩陣的秩為什麼會＞r(a)+r(b)
11樓：**有毒
|稍微解釋一下樓上的引理。由於r(a)+r(b)=r(a,0|0,b)，並且根據定義，有(a,0|0,b)的非零
子式一定是專(a,0|c,b)的非零子式，所以屬r(a)+r(b)≤r(a,0|c,b)。
子式是指矩陣中任取k行k列，交叉點上元素構成的子矩陣的行列式。這個行列式的值不等於零的時候，他就是原矩陣的非零子式。而秩的定義就是矩陣中最高端非零子式的階。
如果非零子式不好理解，可以從解集的角度來解釋。對於兩個m+n階齊次線性方程組：
① (a,0|0,b)x=0
② (a,0|c,b)x=0
可以顯然看出任何②的解系都是①的解，即②的基礎解系的向量個數小於等於①的基礎解系限量個數，因此①的係數矩陣的秩小於等於②的係數矩陣的秩（因為基礎解系向量個數+係數矩陣的秩=係數矩陣的階，等式恆成立），同樣可以得到r(a)+r(b)≤r(a,0|c,b)。
12樓：匿名使用者
分塊矩陣的性質，請看引理2
線性代數中r(ab)與r(a,b)的區別
13樓：匿名使用者
一、表達概念不同
1、r(ab)：ab表示a乘以b。
2、r(a,b)：a,b表示a和b並在一起。
二、計算方法不同專
1、r(ab)：若a中至少有乙個r階子式屬不等於零，且在r在m*n矩陣a中，任意決定k行和k列交叉點上的元素構成a的乙個k階子矩陣，此子矩陣的行列式，稱為a的乙個k階子式。
2、r(a,b)：當r(a)<=n-2時，最高端非零子式的階數<=n-2，任何n-1階子式均為零，而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個正負號，所以伴隨陣為0矩陣。
例如，在階梯形矩陣中，選定1，3行和3，4列，它們交叉點上的元素所組成的2階子矩陣的行列式 就是矩陣a的乙個2階子式。
三、計算結果不同
1、r(ab)：r(ka)=r(a)，k不等於0。
2、r(a,b)：r(a)<=min(m,n)，a是m*n型矩陣。
14樓：匿名使用者
如果你看的文字寫的規範的話，ab表示a乘以b，a,b表示a和b並在一起，也就是把b放在a右側合成乙個大矩陣
15樓：幽谷之草
r(a) 是係數矩陣的秩，
r(a,b)是 增廣矩陣的秩，兩者相等時方程組有解，不相等時方程組無解。
矩陣的秩證明矩陣的轉置乘矩陣的秩矩陣的秩。那麼矩陣乘矩陣的轉置的秩是什麼？求證明
原題應為 m n矩陣的秩為1的充要條件是有m個不全為零的a 1 a m 和n個b 1 b n 使得對任意為i 1,2,m,j 1,2,n有a ij a i b j 證明 充分性,對任意確定的i,j,由 a ik a i b k a jk a j b k k 1,2,n a j a ik a i a ...
關於矩陣的秩幾個問題,關於矩陣的秩的性質。
乙個bai矩陣乘上一 個數,du它的秩會發生變化zhi嗎dao 乘以零一般會變化 除非原來的矩陣回是答零矩陣 非零則肯定不變。乙個矩陣的秩等於1,它是不是只有乙個非零特徵值 假定這個矩陣是方陣 不然就不談特徵值了 那麼它最多只有乙個特徵值非零,當然也可能所有特徵值都是零,比如說 0 0 1 0 0 ...
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列向量組的秩 2.用非零子式定義矩陣的秩等於矩陣的最高端非零子式的階單純計算矩陣的秩時,可用初等行變換把矩陣化成梯形梯矩陣中非零行數就是矩陣 矩陣的秩怎麼計算 矩陣的秩計算公式 a aij m n 矩陣的秩 一般有2種方式定義 1.用向量組的秩定義 矩陣的秩 行向量組的秩 列向量組的秩2.用非零子式...