1樓:匿名使用者
設 a,b分別是 m*s, s*n 矩陣
若 ab = 0
則 b 的列向量都是 ax = 0的解
所以 r(b) 所以 r(a)+r(b)
滿意請採納^_^
2樓:匿名使用者
r(a)+r(b) <= s
兩個矩陣相乘零矩陣,秩的關係
3樓:
兩種證明方法。
第一種是用分塊矩陣乘法來證明。(不太好書寫,可以見線性代數習題冊答案集);
第二種是線性方程組的解的關係來證明。
因為ab=0,所以b的每一列都是線性方程組ax=0的解。而根據線性方程組理論,ax=0的基礎解系中線性無關的解的個數(或者說解空間的維數)≤ n-r(a)。而b的列向量組是解空間的一部分,所以b的列向量組中的極大線性無關組中的向量個數(就是秩r(b))一定≤基礎解系中線性無關的解的個數,也就是≤ n-r(a),所以r(b)≤ n-r(a),從而r(a)+r(b)<=n。
兩個矩陣的乘積為非零 它們的 秩有什麼關係
4樓:匿名使用者
關係是:r(c)<=min(r(a),r(b))證明:將a,c按列分塊,
a=(a1,a2,...,an),c=(c1,c2,...,cm),令b=(bij)
則c=ab可表示為
(c1,c2,...,cm)=(a1,a2,...,an)b可得cj=b1ja1+b2ja2+...+bnjan (j=1,2,...,m)
即c的列向量組可由a的列向量組線性表示,
所以c的列向量組的秩<=a的列向量的秩。
即r(c)<=r(a)
同理可證r(c)<=r(b)
所以r(c)<=min(r(a),r(b))。
兩個矩陣的乘積為零矩陣,那麼這兩個矩陣的秩之間有什麼關係?
5樓:
忘得差不多了,只記得有乙個:
兩個n階矩陣的乘積為零矩陣,則兩個n階矩陣的秩之和小於等於n
線性代數:設a,b是滿足ab=0的任意兩個非零矩陣,則必有?
6樓:假面
應該是a的每一
行乘以b的每一列等於0,那麼b的每一列就是ax=0的解,而齊次方程的解系應專該都是線性無關的,所以b的列向屬量必然線性無關同理a的行向量也是線性無關。
而|a||b|=0 所以a b的行列式必然要為0,那麼a、b必然不是滿秩,所以a的列向量組線性相關,b的行向量線性相關。
7樓:匿名使用者
你這樣想 ab=0如果用矩陣copy方程的形式來bai寫是什麼樣的呢
應該是a的每du一行乘以b的每一列等於zhi0 那麼b的每一列就是ax=0的解dao 而齊次方程的解系應該都是線性無關的 所以b的列向量必然線性無關同理a的行向量也是線性無關
而|a||b|=0 所以a b的行列式必然要為0 那麼a b 必然不是滿秩 所以a的列向量組線性相關,b的行向量線性相關
8樓:匿名使用者
因為a,b非零,故r(a)>0,r(b)>0。
故r(a) 那麼a的列向量組線性相關,b的行向量線性相關 兩個矩陣的乘積為零 它們的 秩有什麼關係 9樓:甜美志偉 關係: r(a)+r(b)<=n; 推導過程如下: 設ab = 0, a是mxn, b是nxs 矩陣; 則 b 的列向量都是 ax=0的秩; 所以 r(b)<=n-r(a); 所以 r(a)+r(b)<=n。 擴充套件資料: 秩性質我們假定 a是在域 f上的 m× n矩陣並描述了上述線性對映。 只有零矩陣有秩 0 a的秩最大為 min(m,n) f是單射,當且僅當 a有秩 n(在這種情況下,我們稱 a有「滿列秩」)。 f是滿射,當且僅當 a有秩 m(在這種情況下,我們稱 a有「滿行秩」)。 在方塊矩陣a(就是 m= n) 的情況下,則 a是可逆的,當且僅當 a有秩 n(也就是 a有滿秩)。如果 b是任何 n× k矩陣,則 ab的秩最大為 a的秩和 b的秩的小者。 即:秩(ab)≤min(秩(a),秩(b)) 推廣到若干個矩陣的情況。 就是:秩(a1a2...am)≤min(秩(a1),秩(a2),... 秩(am)) 證明:考慮矩陣的秩的線性對映的定義,令a、b對應的線性對映分別為 f和 g,則秩(ab)表示復合對映 f·g,它的象 im f·g是 g的像 im g在對映 f作用下的象。 然而 im g是整個空間的一部分,因此它在對映 f作用下的象也是整個空間在對映 f作用下的象的一部分。也就是說對映 im f·g是im f的一部分。 對矩陣就是:秩(ab)≤秩(a)。對於另乙個不等式: 秩(ab)≤秩(b),考慮 im g的一組基:(e1,e2,...,en),容易證明(f(e1),f(e2),... ,f(en))生成了空間 im f·g,於是 im f·g的維度小於等於im g的維度。 對矩陣就是:秩(ab)≤秩(b)。因此有:秩(ab)≤min(秩(a),秩(b))。若干個矩陣的情況證明類似。 作為 "<" 情況的乙個例子,考慮積 兩個因子都有秩 1,而這個積有秩 0。可以看出,等號成立當且僅當其中乙個矩陣(比如說 a)對應的線性對映不減少空間的維度,即是單射,這時 a是滿秩的。 於是有以下性質:如果 b是秩 n的 n× k矩陣,則 ab有同 a一樣的秩。如果 c是秩 m的 l× m矩陣,則 ca有同 a一樣的秩。 a的秩等於 r,當且僅當存在乙個可逆 m× m矩陣 x和乙個可逆的 n× n矩陣 y使得 這裡的 ir指示 r× r單位矩陣。證明可以通過高斯消去法構造性地給出。 矩陣的秩加上矩陣的零化度等於矩陣的縱列數(這就是秩-零化度定理)。 10樓:墨陌沫默漠末 關係是r(a)+r(b)<=n。 因為ab=0,所以b的每一列都是線性 方程組ax=0的解。而根據線性方程組理論,ax=0的基礎解系中線性無關的解的個數(或者說解空間的維數)≤ n-r(a)。 而b的列向量組是解空間的一部分,所以b的列向量組中的極大線性無關組中的向量個數(就是秩r(b))一定≤基礎解系中線性無關的解的個數,也就是≤ n-r(a),所以r(b)≤ n-r(a),從而r(a)+r(b)<=n。 方陣(行數、列數相等的矩陣)的列秩和行秩總是相等的,因此它們可以簡單地稱作矩陣a的秩。通常表示為r(a),m × n矩陣的秩最大為m和n中的較小者,表示為 min(m,n)。有盡可能大的秩的矩陣被稱為有滿秩;類似的,否則矩陣是秩不足(或稱為「欠秩」)的。 設a是一組向量,定義a的極大無關組中向量的個數為a的秩。 定義1、在m*n矩陣a中,任意決定k行和k列交叉點上的元素構成a的乙個k階子矩陣,此子矩陣的行列式,稱為a的乙個k階子式。 例如,在階梯形矩陣中,選定1,3行和3,4列,它們交叉點上的元素所組成的2階子矩陣的行列式 就是矩陣a的乙個2階子式。 定義2、a=(aij)m×n的不為零的子式的最大階數稱為矩陣a的秩,記作ra,或ranka或r(a)。 特別規定零矩陣的秩為零。 顯然ra≤min(m,n) 易得: 若a中至少有乙個r階子式不等於零,且在r由定義直接可得n階可逆矩陣的秩為n,通常又將可逆矩陣稱為滿秩矩陣, det(a)≠0;不滿秩矩陣就是奇異矩陣,det(a)=0。 由行列式的性質1(1.5)知,矩陣a的轉置at的秩與a的秩是一樣的。 11樓:匿名使用者 它們的秩序關係是乙個數字乘以零 12樓:匿名使用者 設ab = 0, a是mxn, b是nxs 矩陣則 b 的列向量都是 ax=0 的解 所以 r(b)<=n-r(a) 所以 r(a)+r(b)<=n 13樓:電燈劍客 如果a是mxn的矩陣,b是nxk的矩陣,ab=0,那麼rank(a)+rank(b)<=n 14樓:alone丶 關係是:r(c)。。。。 兩個矩陣相乘的秩 15樓:夢想隊員 定理:如果ab=0,則秩(a)+秩(b)≤n。 證明:將矩陣b的列向量記為bi。∵ab=0,所∴abi=0,∴bi為ax=0的解。 ∵ax=0的基礎解系含有n-秩(a)個線性無關的解,∴秩(b)≤n-秩(a), 即秩(a)+秩(b)≤n。 ps:這個結論在證明或者選擇填空中都經常用到,需要記住並應用~ 16樓:橋蘭英夙緞 兩種證明方法。 第一種是用分塊矩陣乘法來證明。(不太好書寫,可以見線性代數習題冊答案集); 第二種是線性方程組的解的關係來證明。 因為ab=0,所以b的每一列都是線性方程組ax=0的解。而根據線性方程組理論,ax=0的基礎解系中線性無關的解的個數(或者說解空間的維數)≤ n-r(a)。而b的列向量組是解空間的一部分,所以b的列向量組中的極大線性無關組中的向量個數(就是秩r(b))一定≤基礎解系中線性無關的解的個數,也就是≤ n-r(a),所以r(b)≤ n-r(a),從而r(a)+r(b)<=n。 什麼情況下兩個矩陣相乘得0其中必有乙個矩陣是0矩陣? 17樓:南瓜蘋果 ab=0加上a列滿秩的條件可以得到b=0 (如果a不是列滿秩的,那麼ax=0一定有非零解,在這個意義下「a列滿秩」其實是充要的) 矩陣相乘最重要的方法是一般矩陣乘積。它只有在第乙個矩陣的列數(column)和第二個矩陣的行數(row)相同時才有意義 。 一般單指矩陣乘積時,指的便是一般矩陣乘積。乙個m×n的矩陣就是m×n個數排成m行n列的乙個數陣。由於它把許多資料緊湊的集中到了一起,所以有時候可以簡便地表示一些複雜的模型。 擴充套件資料 矩陣乘法: 1、當矩陣a的列數等於矩陣b的行數時,a與b可以相乘。 2、矩陣c的行數等於矩陣a的行數,c的列數等於b的列數。 3、乘積c的第m行第n列的元素等於矩陣a的第m行的元素與矩陣b的第n列對應元素乘積之和。 基本性質 乘法結合律: (ab)c=a(bc). 乘法左分配律:(a+b)c=ac+bc 乘法右分配律:c(a+b)=ca+cb 對數乘的結合性k(ab)=(ka)b=a(kb). 轉置 (ab)t=btat. 矩陣乘法一般不滿足交換律[3] 。 *注:可交換的矩陣是方陣。 參考資料
18樓:電燈劍客 ab=0加上a列滿秩的條件可以得到b=0,你說的都是特殊情況 (如果a不是列滿秩的,那麼ax=0一定有非零解,在這個意義下「a列滿秩」其實是充要的) 19樓:匿名使用者 15 什麼情況下兩個矩陣相乘得0其中必有乙個矩陣是0矩陣? 比如αβt=0,α和β都是列向量,要想得0只能有乙個是0向量再如ab=0,a是可逆矩陣, 20樓:最新工業爐設計 只要是兩個矩陣之間積為0,那麼必然有乙個矩陣等於0。 兩矩陣ab乘積為零矩陣且已知a不是零矩陣,那麼可得出b就是零矩陣嗎? 21樓:匿名使用者 不能. 矩陣的乘法有零因子,不滿足消去律 怎麼會利用上述結論? 22樓:匿名使用者 不清楚你所說的利用這一錯誤結論能證明什麼? 23樓:喜愛看美女 可以證明過程 ab乘積為零矩陣,則a行列式乘b行列式等於0又因為a行列式不等於零 所以b行列式等於零 所以b是零矩陣。 a b axb 0 x cross product a.b a b dot product 兩向量相乘為0說明什麼 兩不為零向量相乘為零說明兩向量垂直。垂直定理 a b的充要條件是a b 0，即 x1x2 y1y2 0 共線定理 若b 0，則a b的充要條件是存在唯一實數 使若設a x1,y1 b ... 這麼簡單，a 3 o,兩邊同乘a的逆矩陣就是答案 為什麼矩陣三次方是零矩陣，行列式等於零 啦 啊 這是當來然的啦 a a 而a 0矩陣 所以 a 0，那自麼 a 0，所以 a 0有這個定理的啊 ab a b 當然這個定理中，a b都是方陣。為什麼矩陣a的三次方是0矩陣，就能得出a的特徵值都是0 第二... 存在r階非零子式並不說明不存在r 1階非零子式比如說a 1 23 4 存在1階非零子式,但a的秩顯然是2 r階非零,即r階相當於滿秩,a相當於在r上再加a r行列,所以r a r 設矩陣a中有乙個r階子式不為0,則r a 設矩陣a中所有的r 1階子式全為0則r a 10 矩陣的秩 其最高端 非零 子...兩平行向量叉乘等於零嗎，兩向量相乘為0說明什麼
a為n階方陣若a的三次冪等於零矩陣則必有a的行
矩陣A有非零r階子式,則RAr