函式在某一點存在極限,連續,可導三種情況的條件之間有什麼聯絡

2021-08-04 15:31:25 字數 5321 閱讀 4329

1樓:鮮初蝶沃皓

lim|x|^(1/2)sin(1/x^2)(x趨於0+時)

=limx^(1/2)sin(1/x^2)=0*a

ae[-1,1]

=0lim|x|^(1/2)sin(1/x^2)(x趨於0-時)

=lim(-x)^(1/2)sin(1/x^2)=0*a

ae[-1,1]

=0加上x=0

f(0)=0

所以是連續的。

又:|x|^(1/2)sin(1/x^2)的導數x>0時為:1/2x^(-1/2)

sin(1/x^2)+(-2/x^3)cos(1/x^2)*x^(1/2)

很明顯,x=0時,不存在右導數。

因此,導數在x=0時,不存在。

所以:應選c

2樓:匿名使用者

可導必連續,反之未必。

“連續” 等價於 “左右極限存在且相等”。

3樓:匿名使用者

這個老早就忘記了,真是慚愧!

4樓:匿名使用者

同意樓上的,連續一定可導,從連續的定義就能知道,左右極限存在且相等;但是可導不一定連續,比如斷線(x一樣,y變化)它的左右極限不相等,自然不連續。檢視一下高等數學第一章導數與極限就明白了。

如何判斷一個函式是否存在極限,是否連續,是否可導,是否可微?

5樓:匿名使用者

極限的概念是整個微積分的基礎,需要深刻地理解,由極限的概念才能引出連續、導數、積分等概念。極限的概念首先是從數列的極限引出的。對於任意小的正數e,如果存在自然數m,使所有n》m時,|a(n)-a|都小於e,則數列的極限為a。

極限不是相等,而是無限接近。而函式的極限是指在x0的一個臨域內(不包含x0這一點),如果對於任意小的正數e,都存在正數q,使所有(x0-q,x0+q)內的點,都滿足|f(x)-a|《e,則f(x)在x0點的極限為a。很多求極限的題目都可以用極限的定義直接求出。

例如f(x)=(x^2-3x+2)/(x-2), x=2不在函式定義域內,但對於任何x不等於2,f(x)=x-1,因此在x無限接近2,但不等於2時,f(x)無限接近1,因此f(x)在2處的極限為1。

連續的概念。如果函式在x0的極限存在,函式在x0有定義,而且極限值等於函式值,則稱f(x)在x0點連續。以上的三個條件缺一不可。

在上例中,f(x)在x=2時極限存在,但在x=2這一點沒有定義,所以函式在x=2不連續;

如果我們定義f(2)=1,補上“缺口”,則函式在x=2變成連續的;

如果我們定義f(2)=3,雖然函式在x=2時,極限值和函式值都存在,但不相等,那麼函式在x=2還是不連續。

由連續又引出了左極限、右極限和左連續、右連續的概念。函式值等於左極限為左連續,函式值等於右極限為右連續。如果函式在x0點左右極限都存在,且都等於函式值,則函式在x=x0時連續。

這個定義是解決分段函式連續問題的最重要的、幾乎是唯一的方法。

如果函式在某個區間內每一點都連續,在區間的左右端點分別左右連續(對閉區間而言),則稱函式在這個區間上連續。

導數的概念。導數是函式的變化率,直觀地看是指切線的斜率。略有不同的是,切線可以平行於y軸,此時斜率為無窮大,因此導數不存在,但切線存在。

導數的求法也是一個極限的求法。對於x=x0,在x0附近另找一點x1,求x0與x1連線的斜率。當x1無限靠近x0,但不與x0重合時,這兩點連線的斜率,就是f(x)在x=x0處的導數。

關於導數的題目多數可用導數的定義直接解決。教科書中給出了所有基本函式的導數公式,如果自己能用導數的定義都推導一遍,理解和記憶會更深刻。其中對數的導數公式推導中用到了重要極限:

limx-->0 (1+x)^(1/x)=e。

導數同樣分為左導數和右導數。導數存在的條件是:f(x)在x=x0連續,左右導數存在且相等。這個定義是解決分段函式可導問題的最重要的、幾乎是唯一的方法。

如果函式在某個區間內每一點都可導,在區間的左右端點分別左右導數存在(對閉區間而言),則稱函式在這個區間上可導。

複合函式的導數,例如f[u(x)],是集合a中的自變數x,產生微小變化dx,引起集合b中對應數u的微小變化du,u的變化又引起集合c中的對應數f(u)的變化,則複合函式的導函式f’[u(x)]=df(u)/dx=df(u)/du * du/dx=f’(u)*u‘(x)

導數在生活中的例子最常見的是距離與時間的關係。物體在極其微小的時間內,移動了極其微小的距離,二者的比值就是物體在這一刻的速度。對於自由落體運動,下落距離s=1/2gt^2,則物體在時間t0的速度為v(t0)=[s(t0+a)-s(t0)]/a, 當a趨近於0時的值,等於gt0; 而速度隨時間的增加而增加,變化的比率g稱為加速度。

加速度是距離對時間的二階導數。

從直觀上看,可導意味著光滑的、沒有尖角,因為在尖角處左右導數不相等。有笑話說一位教授對學生抱怨道:“這飯館讓人怎麼吃飯?你看這碗口,處處不可導!”

積分的概念。從面積上理解,積分就是積少成多,把無限個面積趨近於0的線條,累積在一起,就成為大於0的面積。我們可以把一塊圖形分割為狹長的長方形(長方形的高度都取函式在左端或右端的函式值),分別計算各個長方形的面積再加總,可近似地得出圖形的面積。

當我們把長方形的寬度設定得越來越窄,計算結果就越來越精確,與圖形實際面積的差距越來越小。如果函式的積分存在,則長方形寬度趨近於0時,求出的長方形面積總和的極限存在,且等於圖形的實際面積。這裡又是一個極限的概念。

如果函式存在不連續的點,但在該點左右極限都存在,函式仍是可積的。只要間斷點的個數是有限的,則它們代表的線條面積總和為0,不影響計算結果。

在廣義積分中,允許函式在無限區間內積分,或某些點的函式值趨向無窮大,只要積分的極限存在,函式都是可積的。

嚴格地說,我們只會計算長方形的面積。從我們介紹的積分的求法看,我們實際上是把求面積化為了數列求和的問題,即求數列的前n項和s(n),在n趨近於無窮大時的極限。很多時候,求積分和求無限數列的和是可以相互轉換的。

當我們深刻地理解了積分的定義和熟練地掌握了積分公式之後,我們同樣可用它來解決相當棘手的數列求和問題。

例如:求lim na正無窮大時,1/n*[1+1/(1+1/n)+1/(1+2/n)+。。。+1/(1+(n-1)/n)+1/2]的值。

看似無從下手,可當我們把它轉化為一連串的小長方形的面積之後,不禁會恍然大悟:這不是f(x)=1/x在[1,2]上的積分嗎?從而輕鬆得出結果為ln2。

除了基本的積分公式外,換元法和分步法是常用的積分方法。換元積分法的實質是把原函式化為形式簡單的複合函式;分步積分法的要領是:在∫udv=uv-∫vdu中,函式u微分後應該變簡單(比如次數降低),而函式v積分後不會變得更復雜。

6樓:demon陌

函式只要其影象有一段連續就可導,可微應該是全影象連續才可以,連續就需要看定義域(如果在高中的話定義域連續函式一般都連續),極限要求連續,它要看函式的值域,函式的值域必須有一端是有意義的,即不能是無窮,且在這端定義域應該是無窮,這樣在這端函式才有極限。

當分母等於零時,就不能將趨向值直接代入分母,可以通過下面幾個小方法解決:

第一:因式分解,通過約分使分母不會為零。

第二:若分母出現根號,可以配一個因子使根號去除。

第三:以上我所說的解法都是在趨向值是一個固定值的時候進行的,如果趨向於無窮,分子分母可以同時除以自變數的最高次方。(通常會用到這個定理:無窮大的倒數為無窮小)

7樓:匿名使用者

a(n)-a|都小於e,則數)^(1/x)=e。

導數同樣引起集合b中對應數u的微小變化du,u的變化又引起集合c中的對應數f(u)的變化,則複合函式的導函式f’[u(x)]=df(u)/dx=df(u)/du * 可用它來解決相當次數降低),而函式v分後不會變得更復雜。

8樓:匿名使用者

可導必連續,連續極限必存在,反之不真。

9樓:匿名使用者

有一點我敢肯定,那就是可微一定可導

10樓:迮哲仵湃

可導(左導數=右導數)<=>可微=>連續(在定義區間內,左極限=右極限)

極限存在:左極限=右極限

看懂就行了

4者關係都在裡面

不懂得話繼續問

函式極限存在,函式可導,函式連續他們有什麼聯絡,他們各自在什麼條件下滿足?

11樓:匿名使用者

可導是連續的充分非必要條件,極限存在是另外兩個的非充分非必要條件

什麼方法判斷函式在某一點是否是可導,連續的,可導和連續的條件

12樓:匿名使用者

函式在某點連續:baif(

dux)+=f(x)-=f(x),形象點說就zhi是函式的dao

影象是可以一筆畫出來的專,中間沒屬有跳躍,但可以有尖銳的拐角比如f(x)=|x|在x=0時連續。

函式在某點可導:f'(x)+=f'(x)-=f'(x),形象點說就是函式影象在這點需要很圓滑的畫出來,不能有尖銳的拐角跟跳躍,f(x)=|x|在x=0時,有個90度尖銳拐角那他就不是可導的

函式在某點左右可導是否能推出該函式在那一點連續?

13樓:匿名使用者

本題bai不連續(注意本題左右導數

du也不等)zhi

但是,注意:

[可導],與[左右導dao數存在相等]並不是同回一概念。

對於分段函式,如果在x=x0不連續,即便左右導數存在並且相等,那也不能說在x=x0可導。

可導,答前提就是必須在x=x0連續,並且左右導數相等。

14樓:匿名使用者

可導一定連續來,但連續自不一定可導。

bai某一點左右可導並不能保du證這一zhi點可導(可導必須滿dao足此點左右導數相等。)

你在圖中寫的那個函式在x=0處是不可導的,因為函式在x=0處雖有左導數跟右導數,但兩者不相等(左導數是1,右導數是-1),故函式在x=0處不可導,從而也就不連續了

15樓:徐忠震

是的。函式在一點連

bai續要滿足du

三個條件,一zhi是在該點有定義,二是在該點的dao函式左右極限存在內且相等,三容是左右極限等於函式在該點的函式值,因此滿足可導條件之後,符合上面三個條件,所以函式在某點左右可導能推出該函式在那一點連續。

連續(continuity)的概念最早出現於數學分析,後被推廣到點集拓撲中。

假設f:x->y是一個拓撲空間之間的對映,如果f滿足下面條件,就稱f是連續的:對任何y上的開集u, u在f下的原像f^(-1)(u)必是x上的開集。

若只考慮實變函式,那麼要是對於一定區間上的任意一點,函式本身有定義,且其左極限與右極限均存在且相等,則稱函式在這一區間上是連續的。

分為左連續和右連續。在區間每一點都連續的函式,叫做函式在該區間的連續函式。

函式在某一點可導,導函式一定連續嗎

乙個函式在某一點可導,則導函式一定在該點連續。可導一定連續,而連續就不一定可導。函式在某一點可導,其導函式在這一點一定連續嗎 不一定,函式在某一點可導與導函式在這一點的連續性無關。函式在某一點可導,可以判定該函式在這一點連續。乙個函式在某點連續卻不一定在該點處可導,為什麼 因為左導不等於右導,比如y...

函式在某一點可導是函式在該點連續的

可導 連續 連續 可導 可導是連續的充分不必要條件 選項c正確 c充分條件。可導必定連續,但連續不一定可導。如y x 在x 0點連續但不可導。函式在某一處可導是函式在該點連續的什麼條件 但不必要條件 可導必然連續,所以是充分條件 但是連續不一定可導,所以是不必要條件。因此,函式在某一處可導是函式在該...

函式在某一點可導推出函式在該點連續,怎麼證明?求具體過程謝

函式可導 那麼必連續,函式連續不一定可導,就像折線式的一次函式,轉折點回處不可導,但答連續。證明函式可導必連續 設函式y f x 在點x處可導,即lim y x x趨近於0 f x 存在,由具有極限的函式與無窮小的關係知道,y x f x 其中 是當 x趨近於0時的無窮小,上式兩邊同乘以 x得 y ...