1樓：
這個題用積分中值定理比較困難, 不妨換個角度用微分中值定理.
如果設內f(x) = ∫<0,x> f(t)dt, 則所證式可變為(1-ξ)f'(ξ) = f(ξ), 是一容道比較常見的微分中值定理的題目.
由此觀察, 我們給出證明如下.
設g(x) = (x-1)*∫<0,x> f(t)dt, 則g(x)在[0,1]連續, 在(0,1)可導, 並有g(0) = g(1) = 0.
由羅爾中值定理, 存在ξ∈(0,1), 使g'(ξ) = 0.
即有(ξ-1)f(ξ)+∫<0,ξ> f(t)dt = 0, 於是(1-ξ)f(ξ) = ∫<0,ξ> f(t)dt得證.
2樓：匿名使用者
我感覺你的題目是不是有點問題，我個人認為這個就是定積分的中值定理，版具體你可以百
度下，題目應權該是：f(ξ)(1-ξ)=∫(ξ：1)f(x)dx 積分區間應該是[ξ，1]才對。證明的話就是利用定積分的中值定理。
設函式f(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,有f(1)=0.證明:至少存在一點ε∈(0,1),使f'(x)=-f(ε)/ε。
3樓：你愛我媽呀
證明過程如下：
設g(x)=xf(x)，
則g'(x)=xf'(x)+f(x) , g(1)=1f(1)=0 , g(0)=0*f(0)=0。
所以g(x)在[0，1]上連續，在(0，1)內可導且g(0)=g(1)，由羅爾中值定理得：
存在一點ε∈(0，1)，使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε) =(g(1)-g(0))/(1-0)=0.
所以f'(ε)=-f(ε)/ε。
4樓：匿名使用者
證明：設g(x)=xf(x),
則g'(x)=xf'(x)+f(x) , g(1)=1f(1)=0 , g(0)=0*f(0)=0
所以g(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導且g(0)=g(1),由羅爾中值定理得：
存在一點ε∈(0,1),使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε) =(g(1)-g(0))/(1-0)=0
所以f'(ε)=-f(ε)/ε
設fx在[0,1]上連續在(0,1)內可導且f(1)=0證明存在一點ξ屬於(0,1)使2f(ξ)+ξf'(ξ)=0
5樓：寂寞的楓葉
證明：令g(x)=x^2，g(x)=g(x)*f(x)。
因為f(x)在[0,1]上連續在(0,1)內可導，且g(x)在[0,1]上連續在(0,1)內可導，那麼g(x)=g(x)*f(x)在[0,1]上連續在(0,1)內可導。
且g(x)'=(g(x)*f(x))'=(x^2*f(x))'
=x^2f'(x)+2xf(x)
而g(0)=g(0)*f(0)=0*f(0)=0g(1)=g(1)*f(1)=g(1)*0=0，即g(0)=g(1)，
那麼在(0,1)內存在一點ξ，使g(x)'=0即g(ξ)'=0
ξ^2f'(ξ)+2ξf(ξ)=0，又ξ≠0，則ξf'(ξ)+2f(ξ)=0
6樓：
建構函式f(x)=x²f(x)，則f(x)在[0,1]上連續，在(0,1)內可導，f(0)=f(1)=0，由羅爾定理，存在一點ξ∈(0,1)，使f'(ξ)=0。
f'(x)=2xf(x)+x²f'(x)。
所以，2ξf(ξ)+ξ²f'(ξ)=0，所以2f(ξ)+ξf'(ξ)=0。
設函式f(x)在區間［0,1］上連續，在區間（0，1）內可導，且有f(1）=0。證明：至少存在一點
7樓：戒貪隨緣
設f(x)=xf(x)
因為 f(x)在區
間[0,1]上連
續，在區間(0,1)內可導
得f(x)在在區間[0,1]上連續，在區間(0,1)內可導且f'(x)=f(x)+xf'(x)
又f(1)=0 ,得f(0)=f(1)=0根據羅爾定理版得
存在權a∈(0,1),使f'(a)=(a)+af'(a)=0所以存在a∈(0,1),使f(a)+af'(a)=0希望能幫到你！
設函式fX在區間上連續,且fafb證
先分析思路 連續 連可不可導都不知道 於是很顯然只能走介值定理 設g 專x f x f x b a 2 g a f a f a b 2 g a b 2 f a b 2 f b g a b 2 g a 2 0 f a f b a,屬a b 2均在給定區間內 由介值定理當 2 0時存在c滿足條件 當 2...
設函式f x 在區間上連續，在區間（a,b）內可導
我的解答這麼簡單，為什麼不採納我的啊！設g x 3f x 2f x 顯然g x 在 a，b 連續 如果f x c c為常數 則f x 0，f x c f b 0，所以g x 0，即對任意k a，b 均滿e68a8462616964757a686964616f31333330363831足3f k 2...
設f x 在區間上連續，且f x 0,證明f x 在上的導數乘1上的導數b a 的平方
你的題錯了，不是導數，是積分吧？給你乙個二重積分的做法，如果沒學過二重積分，請追問，我再給你乙個定積分做法。左邊 a b f x dx a b 1 f x dx 定積分可隨便換積分變數 a b f x dx a b 1 f y dy d f x f y dxdy 其中 d為a x b，a y b 該...