1樓：中環杯數學競賽
x^2+6x+30=0
一次項係數為6，
常數項係數為30
只含有乙個未知數，且未知數的最高次數是2次的整式方程叫做一元二次方程( quadratic equation of one variable 或 a single-variable quadratic equation)。
一元二次方程有三個特點：
(1)含有乙個未知數；
(2)且未知數次數最高次數是2；
(3)是整式方程．要判斷乙個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理．如果能整理為 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，則這個方程就為一元二次方程．裡面要有等號，且分母裡不含未知數。
1、該部分的知識為初等數學知識，一般在初三就有學習。(但一般二次函式與反比例函式會涉及到一元二次方程的解法)
2、該部分是中考的熱點。
3、方程的兩根與方程中各數有如下關係： x1+x2= -b/a，x1·x2=c/a（也稱韋達定理）
4、方程兩根為x1，x2時，方程為：x²-(x1+x2)x+x1x2=0 (根據韋達定理逆推而得)
5、在係數a>0的情況下，b²-4ac>0時有2個不相等的實數根，b²-4ac=0時有兩個相等的實數根，b²-4ac<0時無實數根。
一般式ax²+bx+c=0（a、b、c是實數，a≠0)
例如：x²+2x+1=0
配方式a(x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a
兩根式（交點式）
a(x-x1)(x-x2)=0
一般解法
1.分解因式法
（可解部分一元二次方程）
因式分解法又分「提公因式法」、「公式法（又分「平方差公式」和「完全平方公式」兩種）」和「十字相乘法」。因式分解法是通過將方程左邊因式分解所得，因式分解的內容在八年級上學期學完。
如 1.解方程：x²+2x+1=0
解：利用完全平方公式因式解得：（x+1﹚²=0
解得：x1= x2=-1
2.解方程x（x+1）-3（x+1）=0
解：利用提公因式法解得：（x-3）（x+1）=0
即 x-3=0 或 x+1=0
∴ x1=3，x2=-1
3.解方程x^2-4=0
解：（x+2）（x-2）=0
x+2=0或x-2=0
∴ x1=-2，x2= 2
十字相乘法公式：
x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
例： 1. ab+b²+a-b- 2
=ab+a+b²-b-2
=a(b+1)+(b-2)(b+1)
=(b+1)(a+b-2)
2.公式法
（可解全部一元二次方程）
求根公式
首先要通過δ=b²-4ac的根的判別式來判斷一元二次方程有幾個根
1.當δ=b²-4ac<0時 x無實數根（初中）
2.當δ=b²-4ac=0時 x有兩個相同的實數根 即x1=x2
3.當δ=b²-4ac>0時 x有兩個不相同的實數根
當判斷完成後，若方程有根可根屬於2、3兩種情況方程有根則可根據公式：x=/2a
來求得方程的根
3.配方法
（可解全部一元二次方程）
如：解方程：x²+2x－3=0
解：把常數項移項得：x²+2x=3
等式兩邊同時加1（構成完全平方式）得：x²+2x+1=4
因式分解得：（x+1)²=4
解得：x1=-3,x2=1
用配方法解一元二次方程小口訣
二次係數化為一
常數要往右邊移
一次係數一半方
兩邊加上最相當
4.開方法
（可解部分一元二次方程）
如：x²-24=1
解：x²=25
x=±5
∴x1=5 x2=-5
5.均值代換法
（可解部分一元二次方程）
ax²+bx+c=0
同時除以a，得到x²+bx/a+c/a=0
設x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)
根據x1*x2=c/a
求得m。
再求得x1, x2。
如：x²-70x+825=0
均值為35，設x1=35+m，x2=35-m (m≥0)
x1*x2=825
所以m=20
所以x1=55， x2=15。
一元二次方程根與係數的關係（以下兩個公式很重要，經常在考試中運用到）
一般式：ax²+bx+c=0的兩個根x1和x2關係：
x1+x2= -b/a
x1*x2=c/a
如何選擇最簡單的解法
1．看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考慮提公因式法，再考慮平方公式法，最後考慮十字相乘法）
2．看是否可以直接開方解
3．使用公式法求解
4．最後再考慮配方法（配方法雖然可以解全部一元二次方程，但是有時候解題太麻煩）。 如果要參加競賽，可按如下順序：
1.因式分解 2.韋達定理 3.判別式 4.公式法 5.配方法 6.開平方 7.求根公式 8.表示法
例題精講
1、開方法：
直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解為x=m±√n
例1．解方程（1）(3x+1)²=7 （2）9x²-24x+16=11
分析：（1）此方程顯然用直接開平方法好做，（2）方程左邊是完全平方式(3x-4)^2，右邊=11>0，所以此方程也可用直接開平方法解。
（1）解：(3x+1)²=7
3x+1=±√7
x= ...
∴x1=...,x2= ...
（2）解： 9x²-24x+16=11
(3x-4)²=11
3x-4=±√11
x= ...
∴x1=...,x2= ...
2．配方法：
例1 用配方法解方程 3x²-4x-2=0
解：將常數項移到方程右邊 3x²-4x=2
將二次項係數化為1：x²-4/3x=2/3
方程兩邊都加上一次項係數一半的平方：x²-4/3x+( -2/3)²= 2/3+(-2/3 )²
配方：(x-2/3)²=10/9
直接開平方得：x-2/3=±√(10)/3
∴x1 , x2 .
∴原方程的解為x1,x2 .
3．公式法：把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式，然後把各項係數a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。
公式：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a
當δ=b²-4ac>0時，求根公式為x1=[-b+√(b²-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b²4ac)]/2a（兩個不相等的實數根）
當δ=b²-4ac=0時，求根公式為x1=x2=-b/2a（兩個相等的實數根）
當δ=b²-4ac<0時，求根公式為x1=[-b+√(4ac-b²)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b²)i]/2a
（兩個虛數根）（初中理解為無實數根）
例3．用公式法解方程 2x²-8x=-5
解：將方程化為一般形式：2x²-8x+5=0
∴a=2, b=-8，c=5
b²-4ac=(-8)²-4×2×5=64-40=24>0
∴x= (4±√6)/2
∴原方程的解為x?=(4+√6)/2,x?=(4-√6)/2.
4．因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等於零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得的根，就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8
(2) 2x²+3x=0
(3) 6x²+5x-50=0 (選學）
(4)x²-4x+4=0 （選學）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得
x²-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式，右邊為零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (轉化成兩個一元一次方程)
∴x1=5 x2=-2是方程的解。
x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (轉化成兩個一元一次方程)
∴x1=0，x2=-3/2是原方程的解。
注意：有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解，應記住一元二次方程通常有兩個解。
(3)解：6x²+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x?=5/2, x?=-10/3 是原方程的解。
(4)解：x²-4x+4 =0
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=x2=2是原方程的解。
5.十字相乘法：十字左邊相乘等於二次項係數，右邊相乘等於常數項，交叉相乘再相加等於一次項係數。
例5：用十字相乘法解下列方程：
解： m2+4m-12=0
∵ 1，-2
1，6∴（m-2）（m+6）=0
∴m-2=0或m+6=0
∴m1=2;m2=-6
小結一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般形式，同時應使二次項係數化為正數。
直接開平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用於任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定係數，而且在用公式前應先計算根的判別式的值，以便判斷方程是否有解。
配方法是推導公式的工具，掌握公式法後就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用，是初中要求掌握的三種重要的數學方法之一，一定要掌握好。（三種重要的數學方法：
換元法，配方法，待定係數法）。
課外拓展
一元二次方程
一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有乙個未知數且未知數的最高次項是二次的整式方程。 一般形式為ax²+bx+c=0, (a≠0)。在西元前兩千年左右，一元二次方程及其解法已出現於古巴比倫人的泥板文書中：
已知乙個數與它的倒數之和等於乙個已給數，求出這個數，使 x1+ x2 =b,x1·x2=1,x²-bx+1=0,
他們再做出解答 。可見巴比倫人已知道一元二次方程的求根公式。但他們當時並不接受 負數，所以負根是略而不提的。
埃及的紙草文書中也涉及到最簡單的二次方程，例如：ax^2=b。
在西元前4、5世紀時，我國已掌握了一元二次方程的求根公式。
希臘的丟番圖（246-330）卻只取二次方程的乙個正根，即使遇到兩個都是正根的情況，他亦只取其中之一。
公元628年，從印度的婆羅摩笈多寫成的《婆羅摩修正體系》中，得到二次方程x²+px+q=0的乙個求根公式。
在阿拉伯阿爾．花拉子公尺的《代數學》中討論到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六種不同的形式，令 a、b、c為正數，如ax²=bx、ax²=c、 ax²+c=bx、ax²+bx=c、ax²=bx+c 等。把二次方程分成不同形式作討論，是依照丟番圖的做法。阿爾．花拉子公尺除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一次給出二次方程的一般解法，承認方程有兩個根，並有無理根存在，但卻未有虛根的認識。
十六世紀義大利的數學家們為了解三次方程而開始應用複數根。
韋達（1540-1603）除已知一元方程在複數範圍內恒有解外，還給出根與係數的關係。
我國《九章算術．勾股》章中的第二十題是通過求相當於 x²+34x-71000=0的正根而解決的。我國數學家還在方程的研究中應用了內插法。
編輯本段判別方法
一、教學內容分析
「一元二次方程的根的判別式」一節，在《華師大版》的新教材中是作為閱讀材料的。從定理的推導到應用都比較簡單。但是它在整個中學數學中占有重要的地位，既可以根據它來判斷一元二次方程的根的情況，又可以為今後研究不等式，二次三項式，二次函式，二次曲線等奠定基礎，並且用它可以解決許多其它綜合性問題。
通過這一節的學習，培養學生的探索精神和觀察、分析、歸納的能力，以及邏輯思維能力、推理論證能力，並向學生滲透分類的數學思想，滲透數學的簡潔美。
教學重點：根的判別式定理及逆定理的正確理解和運用
教學難點：根的判別式定理及逆定理的運用。
教學關鍵：對根的判別式定理及其逆定理使用條件的透徹理解。
二、學情分析
學生已經學過一元二次方程的四種解法，並對 的作用已經有所了解，在此基礎上來進一步研究 作用，它是前面知識的深化與總結。從思想方法上來說，學生對分類討論、歸納總結的數學思想已經有所接觸。所以可以通過讓學生動手、動腦來培養學生探索精神和觀察、分析、歸納的能力，以及邏輯思維能力、推理論證能力。
三、教學目標
依據教學大綱和對教材的分析，以及結合學生已有的知識基礎，教學目標是：
知根的情況，因此，我們把叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號"△"
編輯本段解題步驟
(1)分析題意，找到題中未知數和題給條件的相等關係；
一元二次方程
(2)設未知數，並用所設的未知數的代數式表示其餘的未知數；
(3)找出相等關係，並用它列出方程；
(4)解方程求出題中未知數的值；
(5)檢驗所求的答案是否符合題意，並做答．
編輯本段經典例題精講
1．對有關一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個特點，不要忽視二次項係數不為0．
2．解一元二次方程時，根據方程特點，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解法，再考慮用公式法．
3．一元二次方程 (a≠0)的根的判別式正反都成立．利用其可以(1)不解方程判定方程根的情況；(2)根據參係數的性質確定根的範圍；(3)解與根有關的證明題．
4．一元二次方程根與係數的應用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及引數係數；(2)已知方程，求含有兩根對稱式的代數式的值及有關未知數係數；(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數式為根的一元二次方程．
編輯本段韋達定理
韋達定理實質上就是一元二次方程中的根與係數關係
韋達定理(viete's theorem）的內容
一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0 且△=b²-4ac≥0)中
設兩個根為x1和x2
則x1+x2= -b/a
x1*x2=c/a
韋達定理的推廣
韋達定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，對乙個一元n次方程∑aix^i=0
它的根記作x1,x2…，xn
我們有∑xi=(-1)^1*a(n-1)/a(n)
∑xixj=(-1)²*a(n-2)/a(n)
… πxi=(-1)^n*a(0)/a(n)
其中∑是求和，π是求積。
如果一元二次方程在複數集中的根是，那麼法國數學家韋達最早發現代數方程的根與係數之間有這種關係，因此，人們把這個關係稱為韋達定理。歷史是有趣的，韋達的16世紀就得出這個定理，證明這個定理要依靠代數基本定理，而代數基本定理卻是在2023年才由高斯作出第乙個實質性的論性。
由代數基本定理可推得：任何一元 n 次方程
在複數集中必有根。因此，該方程的左端可以在複數範圍內分解成一次因式的乘積：
其中是該方程的個根。兩端比較係數即得韋達定理。
韋達定理在方程論中有著廣泛的應用。
韋達定理的證明
設x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個解。
有：a(x-x1)(x-x2)=0
所以 ax²-a(x1+x2)x+ax1x2=0
通過對比係數可得：
-a(x1+x2)=b ax1x2=c
所以 x1+x2=-b/a x1x2=c/a
韋達定理推廣的證明
設x1，x2，……，xn是一元n次方程∑aix^i=0的n個解。
則有：an(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
所以：an(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑aix^i （在開啟(x-x1)(x-x2)……(x-xn)時最好用乘法原理）
通過係數對比可得：
a（n-1）=-an(∑xi)
a（n-2）=an(∑xixj)
~~~a0==(-1)^n*an*πxi
所以：∑xi=(-1)^1*a(n-1)/a(n)
∑xixj=(-1)^2*a(n-2)/a(n)
~~~πxi=(-1)^n*a(0)/a(n)
其中∑是求和，π是求積。
初三數學，一元二次方程
解 1 方程有兩個不相等實根 0 即4 4 1 2k 4 0 4 4 2k 4 0 即4 8k 16 0 k 5 2 2 k為正整數 k可取k 1，k 2 當k 1時 方程為 x 2x 2 0 x 1 3 x 1 3 方程的解不是整數 當k 2時 方程為 x 2x 0 x 0，x 2都是整數 k 2...
初三數學的一元二次方程
1 設乙個解為a 則另乙個為a 5 則 a 5 a 3 1 a 4 a 5 a k 1 k 4 2 設乙個解為a 則另乙個為2a 則2a a 3 1 a 1 2a乘以a k 1 k 2 1 由韋打定理得x1 x2 3 x1 x2 k 又因為x1 x2 5所以可以解出x1和x2即可得到k的值為 4 2...
初三數學解答題 一元二次方程 速答
1.一元二次方程 x ax b 0 的兩個根是 0 和 2 則 x ax b x x 2 x 2x 0所以 a 2 b 0 2.3 0 根號27 絕對值 1 根號2 根號3 根號2 分之1 1 3 根號3 根號2 1 根號3 根號2 2 根號3 1 x ax b 0 的兩個根是 0 和 2 由韋達定...