一元二次方程

2022-11-07 22:22:22 字數 2915 閱讀 4159

1樓:匿名使用者

x²+x-1=0

b²-4ac=1²-4×1×(-1)=5

x=(-1±√5)/2

x1=(-1+√5)/2, x2=(-1-√5)/2

2樓:誠信v9檠

解一元二次方程的基本思想方法是通過「降次」將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解法:   1、直接開平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。

  1、直接開平方法:   直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)^2;=n (n≥0)的 方程,其解為x=±√n+m .

  例1.解方程(1)(3x+1)^2;=7 (2)9x^2;-24x+16=11   分析:(1)此方程顯然用直接開平方法好做,(2)方程左邊是完全平方式(3x-4)^2;,右邊=11>0,所以此方程也可用直接開平方法解。   (1)解:

(3x+1)^2=7   ∴(3x+1)^2=7   ∴3x+1=±√7(注意不要丟解符號)   ∴x= ﹙﹣1±√7﹚/3   ∴原方程的解為x?=﹙√7﹣1﹚/3,x?=﹙﹣√7-1﹚/3   (2)解:

9x^2-24x+16=11   ∴(3x-4)^2=11   ∴3x-4=±√11   ∴x=﹙ 4±√11﹚/3   ∴原方程的解為x?=﹙4﹢√11﹚/3,x?= ﹙4﹣√11﹚/3   2.配方法:

用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)   先將常數c移到方程右邊:ax^2+bx=-c   將二次項係數化為1:x^2+b/ax=- c/a   方程兩邊分別加上一次項係數的一半的平方:

x^2+b/ax+( b/2a)^2=- c/a+( b/2a)^2;   方程左邊成為乙個完全平方式:(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚²   當b²-4ac≥0時,x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚²   ∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(這就是求根公式)   例2.用配方法解方程 3x²-4x-2=0   解:將常數項移到方程右邊 3x²-4x=2   將二次項係數化為1:

x²-﹙4/3﹚x= ?   方程兩邊都加上一次項係數一半的平方:x²-﹙4/3﹚x+( 4/6)²=?

+(4/6 )²   配方:(x-4/6)²= ? +(4/6 )²   直接開平方得:

x-4/6=± √[? +(4/6 )² ]   ∴x= 4/6± √[? +(4/6 )² ]   ∴原方程的解為x?

=4/6﹢√﹙10/6﹚,x?=4/6﹣√﹙10/6﹚ .   3.公式法:

把一元二次方程化成一般形式,然後計算判別式△=b²-4ac的值,當b²-4ac≥0時,把各項係數a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) , (b²-4ac≥0)就可得到方程的根。   例3.用公式法解方程 2x²-8x=-5   解:將方程化為一般形式:

2x²-8x+5=0   ∴a=2, b=-8, c=5   b²-4ac=(-8)²-4×2×5=64-40=24>0   ∴x=[(-b±√(b²-4ac)]/(2a)   ∴原方程的解為x?=,x?= .

  4.因式分解法:把方程變形為一邊是零,把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式,讓兩個一次因式分別等於零,得到兩個一元一次方程,解這兩個一元一次方程所得到的根,就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

  例4.用因式分解法解下列方程:   (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x²+3x=0   (3) 6x²+5x-50=0 (選學) (4)x2-2( + )x+4=0 (選學)   (1)解:(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得   x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式,右邊為零)   (x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)   ∴x-5=0或x+2=0 (轉化成兩個一元一次方程)   ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

  (2)解:2x2+3x=0   x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)   ∴x=0或2x+3=0 (轉化成兩個一元一次方程)   ∴x1=0,x2=-是原方程的解。   注意:

有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解,應記住一元二次方程有兩個解。   (3)解:6x2+5x-50=0   (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)   ∴2x-5=0或3x+10=0   ∴x1=, x2=- 是原方程的解。

  (4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解為2 ·2 ,∴此題可用因式分解法)   (x-2)(x-2 )=0   ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。   小結:

  一般解一元二次方程,最常用的方法還是因式分解法,在應用因式分解法時,一般要先將方程寫成一般形式,同時應使二次項係數化為正數。   直接開平方法是最基本的方法。   公式法和配方法是最重要的方法。

公式法適用於任何一元二次方程(有人稱之為萬能法),在使用公式法時,一定要把原方程化成一般形式,以便確定係數,而且在用公式前應先計算判別式的值,以便判斷方程是否有解。   配方法是推導公式的工具,掌握公式法後就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法   解一元二次方程。但是,配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用,是初中要求掌握的三種重要的數學方法之一,一定要掌握好。

(三種重要的數學方法:換元法,配方法,待定係數法)。

請採納。

3樓:匿名使用者

x²+x=1

x²+x+1/4=5/4

(x+1/2)²=5/4

∴x=-1/2+√5/2 x=-1/2-√5/2x²+5x-1=2x+3

x²+3x-4=0

(x+4)(x-1)=0

∴x=-4 x=1

x²+3x-18=0

(x+6)(x-3)=0

∴x=-6 x=3

3x(2x+1)=4x+2

6x²+3x=4x+2

6x²+x-2=0

(3x-2)(x+1)=0

∴x=2/3 x=-1

一元二次方程

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