1樓：吞食小筍
講函式的對稱性主要是講奇偶函式影象的對稱性，函式與反函式影象的對稱性。前者是函式自身的性質，而後者是函式的變換問題。下文中我們均簡稱為函式的變換性。
函式的對稱性在近幾年高考中屢見不鮮，對於解決其它問題也很有幫助，同時也是數學美的很好體現。現通過函式自身的對稱性和不同函式之間的對稱變換這兩個方面來**函式對稱性有關的性質。
1. 函式自身的對稱性**
高考題回放：（2023年廣東卷i）設函式
， ，且在閉區間〔0，7〕上只有
（1）試判斷函式 的奇偶性；
（2）試求方程 在閉區間〔－2005，2005〕上根的個數並證明你的結論。
分析：由 可得：函式圖象既關於x＝2對稱，又關於x＝7對稱，進而可得到週期性，然後再繼續求解，而本題關鍵是要首先明確函式的對稱性，因此，熟悉函式對稱性是解決本題的第一步。
定理1 函式 的影象關於直線x＝a對稱的充要條件是 即
證明（略）
推論 函式 的影象關於y軸對稱的充要條件是
定理2 函式 的影象關於點a（a，b）對稱的充要條件是
證明（略）
推論 函式 的影象關於原點o對稱的充要條件是
偶函式、奇函式分別是定理1，定理2的特例。
定理3 ①若函式 的影象同時關於點a（a，c）和點b（b，c）成中心對稱（ ），則 是週期函式，且 是其乙個週期。
②若函式 的影象同時關於直線 成軸對稱（ ），則 是週期函式，且 是其乙個週期。
③若函式 的影象既關於點a（a，c）成中心對稱又關於直線x＝b成軸對稱（ ），則 是週期函式，且 是其乙個週期。
以下給出③的證明，①②的證明留給讀者。
因為函式 的影象關於點a（a，c）成中心對稱。
所以 代 得：
又因為函式 的影象關於直線 成軸對稱。
所以 代入（*）得：
得代入（**）得：
是週期函式，且 是其乙個週期。
2. 不同函式對稱性的**
定理4 函式 的影象關於點 成中心對稱。
證明：設點 影象上任一點，則 。點 關於點 的對稱點為 ，此點座標滿足 ，顯然點 在 的影象上。
同理可證： 影象上關於點 對稱的點也在 的影象上。
推論 函式 與 的影象關於原點成中心對稱。
定理5 函式 與 的影象關於直線 成軸對稱。
證明 設點 是 影象上任意一點，則 。點 關於直線 的對稱點為 ，顯然點 在 的影象上。
同理可證： 影象上關於直線 對稱的點也在 影象上。
推論 函式 與 的影象關於直線y軸對稱。
定理6 ①函式 與 的影象關於直線 成軸對稱。
②函式 與 的影象關於直線 成軸對稱。
現證定理6中的②
設點 是 影象上任一點，則 。記點 關於直線 的對稱點 ，則 ，所以
代入之中得 。所以點 在函式 的影象上。
同理可證：函式 的影象上任一點關於直線 的軸對稱點也在函式 的影象上。故定理6中的②成立。
推論 函式 的影象與 的影象關於直線 成軸對稱。
3. 函式對稱性應用舉例
例1 定義在r上的非常數函式滿足： 為偶函式，且 ，則 一定是（ ）
a. 是偶函式，也是週期函式
b. 是偶函式，但不是週期函式
c. 是奇函式，也是週期函式
d. 是奇函式，但不是週期函式
解：因為 為偶函式，所以 。
所以 有兩條對稱軸 ，因此 是以10為其乙個週期的週期函式，所以x＝0即y軸也是 的對稱軸，因此 還是乙個偶函式。故選（a）。
例2 設定義域為r的函式 、 都有反函式，並且 和 的函式影象關於直線 對稱，若 ，那麼 （ ）
a. 2002 b. 2003 c. 2004 d. 2005
解：因為 的函式影象關於直線 對稱，所以 的反函式是 ，而 的反函式是 ，所以 ，所以有
故 ，應選（c）。
例3 設 是定義在r上的偶函式，且 ，當 時， ，則 ___________
解：因為f(x)是定義在r上的偶函式，所以 的對稱軸；
又因為 的對稱軸。故 是以2為週期的週期函式，所以
例4 函式 的影象的一條對稱軸的方程是（ ）
解：函式 的影象的所有對稱軸的方程是 ，所以 ，顯然取 時的對稱軸方程是 ，故選（a）。
例5 設 是定義在r上的奇函式，且 的圖象關於直線 ，則： _____________
解：函式 的影象既關於原點對稱，又關於直線 對稱，所以週期是2，又 ，影象關於 對稱，所以 ，所以
2樓：汝蝶宗高昂
y=x，沒有對稱中心的，只有對稱方程
f xa xx a 1 的影象的對稱中心是（3， 1），則a
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