高等數學證明題,因為答案給的證明過程很牽強,特請教諸位,給出完整證明

2022-12-22 00:26:36 字數 1586 閱讀 2171

1樓:匿名使用者

因為極限lim (x→0) g(x)/(1-cosx)=3當x=0時,這個極限存在,但是分子分母為0,所以用洛必達法則=lim (x→0) g'(x)/sinx=3x=0時分母為0,也就是說分子也為0,即g'(0)=0,極限仍然存在,繼續用洛必達法則

=lim (x→0) g''(x)/cosx=3x=0時,分母為1,

此時極限=g''(0)=3

接下來先判斷f(x)的連續性

x≠0時,求f(x)極限

lim (x→0) ∫g(t)dt/x²

洛必達法則

=lim g(x)/2x

=lim g'(x)/2

=g'(0)/2

=0而x=0時,f(0)=g(0)=0

可知,其等於x為0時的值,故f(x)連續。

然後我們根據定義求導數

f'(0)=

lim (x→0) [f(x)-f(0)]/(x-0)=lim [∫g(t)dt/x²-0]/x=lim ∫g(t)dt/x³

洛必達法則

=lim g(x)/3x²

=lim g'(x)/6x

=lim g''(x)/6

=3/6

=1/2

綜上,命題得證。

2樓:匿名使用者

解:∵lim(x→0) g(x)/(1-cosx)=lim(x→0) g(x)/(x²/2)=3因此:

當x→0時,g(x)~3x²/2

又∵g(x)在r上連續,因此:

g(0)=0

f'(0)

=lim(δx→0) [f(δx)-f(0)]/δx=lim(δx→0) f(δx)/δx

=lim(δx→0) ∫(0,δx) g(t)dt / δx² (羅比達法則)

=lim(δx→0) g(δx)/2δx

=lim(δx→0) (3δx²/2)/2δx=0或者:

根據積分中值定理:∃ξ∈(0,1),

∫(0,δx) g(t)dt =g(ξδx)·δx則:f'(0)

=lim(δx→0) ∫(0,δx) g(t)dt / δx²=lim(δx→0) g(ξδx)·δx/δx²=lim(δx→0) g(ξδx)/δx

當δx→0時,ξ→0,因此:

f'(0)

=lim(δx→0) g(ξδx)/δx

=lim(δx→0) [3(ξδx)²/2]/δx=0不管哪種原題錯!

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