1樓：百科夏老師
正交矩陣的特點如下：
1、實數方塊矩陣是正交的，當且僅當它的列形成了帶有普通歐幾里得點積的歐幾里得空間r的正交規範基，它為真當且僅當它的行形成r的正交基。
2、任何正交矩陣的行列式是+1或−1。這可從關於行列式的如下基本事實得出：（注：反過來不是真的；有+1行列式不保證正交性，即使帶有正交列，可由下列反例證實。）
3、對於置換矩陣，行列式是+1還是−1匹配置換是偶還是奇的標誌，行列式是行的交替函式。
4、比行列式限制更強的是正交矩陣總可以是在複數上可對角化來展示特徵值的完全的集合，它們全都必須有(複數)絕對值1。
正交矩陣的意義
矩陣的作用就是乙個運動的快照，矩陣乘以乙個向量，相當於將這個向量進行旋轉，伸縮。而如果是正交矩陣乘以乙個向量，它就是所有保持原點不動、長度不變的線性變換。
比如旋轉，比如反射。就這兩種。前者保持定向，後者反向。
以二維為例，正交矩陣都為[ cos(a), sin(a); -sin(a), cos(a)], 或者[1, 0; 0, -1]，或者這兩者的組合的形式。前者是旋轉a弧度，後者是按x軸反射。
2樓：生活小沈童
如果：aa'=e（e為單位矩陣，a'表示「矩陣a的轉置」。）則n階實矩陣a稱為正交矩陣性質：
1、方陣a正交的充要條件是a的行（列) 向量組是單位正交向量組。
2、方陣a正交的充要條件是a的n個行（列)向量是n維向量空間的一組標準正交基。
3、a是正交矩陣的充要條件是：a的行向量組兩兩正交且都是單位向量。
4、a的列向量組也是正交單位向量組。
3樓：熱愛生活了啦
特點如：
1、逆也是正交陣;
2、積也是正交陣;
3、行列式的值為正1或負1。
任何正交矩陣的行列式是+1或−1。這可從關於行列式的如下基本事實得出：（注：反過來不是真的；有+1行列式不保證正交性，即使帶有正交列，可由下列反例證實。）
對於置換矩陣，行列式是+1還是−1匹配置換是偶還是奇的標誌，行列式是行的交替函式。
比行列式限制更強的是正交矩陣總可以是在複數上可對角化來展示特徵值的完全的集合，它們全都必須有（複數）絕對值1。
實際運用：
數值分析自然的利用了正交矩陣的很多數值線性代數的性質。例如，經常需要計算空間的正交基，或基的正交變更；二者都採用了正交矩陣的形式。有行列式±1和所有模為1的特徵值是對數值穩定性非常有利的。
乙個蘊涵是條件數為1(這是極小的)，所以在乘以正交矩陣的時候錯誤不放大。很多演算法為此使用正交矩陣如householder反射和givens旋轉。有幫助的不只是正交矩陣是可逆的，還有它的逆矩陣本質上是免花費的，只需要對換索引（下標）。
置換是很多演算法成功的根本，包括有區域性定支點(partialpivoting)的運算繁重的高斯消去法(這裡的置換用來定支點)。但是它們很少明顯作為矩陣出現；它們的特殊形式允許更有限的表示，比如n個索引的列表。
同樣的，使用householder和givens矩陣的演算法典型的使用特殊方法的乘法和儲存。例如，givens旋轉只影響它所乘的矩陣的兩行，替代完全的n次的矩陣乘法為更有效的n次運算。在使用這些反射和旋轉向矩陣介入零的時候，騰出的空間足夠儲存充足的資料來重生成這個變換。
4樓：lh科教小百科
1、逆也是正交陣;
2、積也是正交陣;
3、行列式的值為正1或負1。
擴充套件資料定理1、方陣a正交的充要條件是a的行（列）向量組是單位正交向量組；
2、方陣a正交的充要條件是a的n個行（列）向量是n維向量空間的一組標準正交基；
3、a是正交矩陣的充要條件是：a的行向量組兩兩正交且都是單位向量；
4、a的列向量組也是正交單位向量組。
5、正交方陣是歐氏空間中標準正交基到標準正交基的過渡矩陣。
5樓：巴若谷定綢
如果a(a^t)＝(a^t)
a＝i單位陣，那麼a是正交矩陣。僅滿足aa^(—1)＝i，a為可逆陣但不一定是正交陣。對於正交陣有
a逆＝a轉，∴正交矩陣總是:
可逆的、正交的、
單位陣。
正交矩陣有什麼特點？ 20
6樓：匿名使用者
如果：aa'=e（e為單位矩陣，a'表示「矩陣a的轉置矩陣」。）或a′a=e，則n階實矩陣a稱為正交矩陣
例如：1 0 1 0
矩陣a： 0 1 a的轉置： 0 1 此時 aa'=e
故a本身是正交矩陣
由於aa'=e 由逆矩陣定義 若ab=e 則b為a的逆矩陣 可以知道 a'為a的逆矩陣
也就是說正交矩陣本身必然是可逆矩陣
即若a是正交矩陣則a的n個行（列)向量是n維向量空間的一組標準正交基【即線性不相關】
在矩陣論中，正交矩陣（orthogonal matrix）是乙個方塊矩陣q，其元素為實數，而且行與列皆為正交的單位向量，使得該矩陣的轉置矩陣為其逆矩陣。
作為乙個線性對映（變換矩陣），正交矩陣保持距離不變，所以它是乙個保距對映，具體例子為旋轉與鏡射。
行列式值為+1的正交矩陣，稱為特殊正交矩陣，它是乙個旋轉矩陣。
行列式值為-1的正交矩陣，稱為瑕旋轉矩陣。瑕旋轉是旋轉加上鏡射。鏡射也是一種瑕旋轉。
7樓：匿名使用者
如果 a (a^t)＝(a^t) a＝i單位陣，那麼a是正交矩陣。僅滿足aa^(-1)＝i，a為可逆陣但不一定是正交陣。對於正交陣有 a逆＝a轉，∴正交矩陣總是:
可逆的、正交的、 單位陣。
8樓：謀略大師
2 運算性質 ①正交矩陣之積為正交陣
②正交矩陣的轉置為正交陣
③正交矩陣的伴隨矩陣為正交矩陣
正交矩陣的特徵根有什麼特點
9樓：電燈劍客
實正交陣的特徵值都在單位圓上，並且共軛複數成對出現
特徵矩陣是正交矩陣的矩陣是不是一定是實對稱矩陣？
10樓：葛施然儀儂
我記得應該是特徵向量正交和規範矩陣是充要關係。不一定是實對稱。當然反過來是對的（譜分解定理）
11樓：祈倩語守洛
應該說實對稱矩陣「可以」通過正交變換為對角矩陣嗎
12樓：禰亦玉麻心
特徵向量。只知道矩陣的特徵值？沒見過這個詞特徵矩陣是什麼
什麼是正交變換矩陣？
13樓：匿名使用者
如果aat=e（e為單位矩陣，at表示「矩陣a的轉置矩陣」）或ata=e，則n階實矩陣a稱為正交矩陣。
正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是屬於正規矩陣。儘管我們在這裡只考慮實數矩陣，但這個定義可用於其元素來自任何域的矩陣。
正交矩陣畢竟是從內積自然引出的，所以對於複數的矩陣這導致了歸一要求。正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復正交矩陣，這種復正交矩陣不是酉矩陣。
擴充套件資料
正交矩陣的性質
1、正交矩陣一定是對實矩陣而言的。
2、正交矩陣不一定對稱。
3、正交矩陣的特徵值為正負1或者cos(t)+isin(t),換句話說特徵值的模長為1。
4、正交矩陣的行列式肯定是正負1,正1是叫第一類,負1時叫第二類。
5、對稱的正交矩陣不一定是對角的,只是滿足a'=a=a^,例如副對角線全為1,其餘元素都為零的那個方陣就是這種型別。
6、正交矩陣乘正交矩陣還是正交矩陣,但是正交矩陣相加相減不一定還是正交矩陣。
7、正交矩陣的每乙個行(列)向量都是模為1的,並且任意兩個行(列)向量是正交的,即所有的行(列)向量組成r^n的一組標準正交基。
8、正交矩陣每個元素絕對值都小於等於1,如果有乙個元素為1,那麼這個元素所在的行列的其餘元素一定都為零。
9、乙個對稱矩陣,如果它的特徵值都為1或者-1,那麼這個矩陣一定是對稱的正交矩陣。
10、如果b是乙個n維單位實列向量,則e_n-2bb'是乙個對稱正交矩陣.因為e_n-2bb'的特徵值為1(n-1重),-1(1重),同時還是乙個對陣矩陣。
14樓：像昨天
以下是正交變換矩陣的概念
設m是對稱矩陣, p是正交矩陣, n=p^tmp 稱為 m的正交變換.
(正交矩陣的定義為:p.p^t = e)
正交變換既是相似變換,也是相合變換.正交變換不改變m的特徵值.
這種矩陣元又被稱為簡正座標.用質量加權座標表示的分子內部運動的動能,用質量加權座標表示的分子內部勢能,由力常數的數學表示式可以知道fij = fji因而矩陣為乙個正交變換通過酉變換可以把矩陣變形成為對角矩陣的形式:.則有:
它的每乙個矩陣元都是分子所有質量加權座標的線性組合,總的矩陣元的數量恰巧等於質量加權座標的個數,這些矩陣元就被稱作簡正座標,而這些變換中分子的勢能不變,所以正交變換又稱為酉變換.
所謂正交是指【x ,y】=0 其中x,y均為向量;而正交矩陣是指:矩陣a具有如a^ta=e(其中e為單位矩陣)性質,則稱a為正交矩陣.所以矩陣的正交變換既是指:
若p為正交矩陣,則線性變換y=px稱為正交變換.
歐幾里得空間內正交變換的定義:設v為歐式空間,σ是v上的線性變換,若對於任何α∈v,都有▏σ(α)▏=▏α ▏,則稱σ是v上的正交變換.
彈性力學座標變換矩陣是正交矩陣嗎
cameramatrixisnotorthonormal這個copy 是指進行座標變換的時候需要的是正bai交du矩陣,如果不是正交矩陣就不能zhi 進行座標變換,但dao是軟體中進行運算應該是正交矩陣,如果不是變換出來的肯定都是錯的結果,說明引數錯誤。這個應該是內部出現的錯誤,跟你沒關係。後半部分...
若A為正交矩陣,則A可逆,且A
a為正交矩陣,則a可逆,且a 1 a t 若a為正交矩陣,求證 a a 1 a是正交矩陣 aa e a a 1由 aa e 得 aa e 所以 a a e 所以 a a e 即 a 也是正交矩陣 所以 a a 1 判斷並說明原因 若矩陣a可逆,則 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 1 a 1 ...
線性代數實對稱矩陣特徵向量正交
書上的基本定理肯定是沒問題的 a,b分別是a的特徵值 2,2的對應的特徵向量a,b是b特徵值為1的特徵向量 到此都沒問題，問題在下面 注意 此時求得矩陣b的特徵值為1的特徵向量為 1,1,0 1,0,1 但是此時兩個向量 1,1,0 1,0,1 不一定為 a，b 而可能是a，b的線性組合 對任意 k...