1樓：匿名使用者
證: 設a是正交矩陣, λ是a的特徵值, α是a的屬於λ的特徵向量則 a^ta = e (e單位矩陣), aα版=λα, α≠0考慮向量λα與λα的內權積.
一方面, (λα,λα)=λ^2(α,α).
另一方面,
(λα,λα) = (aα,aα) = (aα)^t(aα) = α^ta^taα
= α^tα = (α,α).
所以有 λ^2(α,α) = (α,α).
又因為 α≠0, 所以 (α,α)>0.
所以 λ^2 = 1.
所以 λ = ±1.
2樓：電燈劍客
注意copy，這個結論是錯的，也算比較常見的錯誤了反例很多，比如說
a=cost sint
-sint cost
只要sint非零a就沒有實特徵值，根本談不上1或-1命題可以簡單修正成
實正交陣的實特徵值只能是1或-1
正交陣的行列式只能是1或-1
事實上實正交陣的特徵值在單位圓周上，共軛虛根成對出現並且反過來只要同時滿足以上兩條的任何有限個複數就一定可以作為某個實正交陣的特徵值
3樓：李墨明
如果它有實的特徵值，那麼必為+-1
但是正交實矩陣有可能特徵值全為複數
如何證明正交矩陣的特徵值為1或-1
4樓：demon陌
^設λ是正交矩陣a的特徵值，x是a的屬於特徵值λ的特徵向量即有 ax = λx，且 x≠0。
兩邊取轉置，得 x^ta^t = λx^t所以 x^ta^tax = λ^2x^tx因為a是正交矩陣，所以 a^ta=e
所以 x^tx = λ^2x^tx
由 x≠0 知 x^tx 是乙個非零的數
故 λ^2=1
所以 λ=1或-1
正交矩陣畢竟是從內積自然引出的，所以對於複數的矩陣這導致了歸一要求。正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復正交矩陣，這種復正交矩陣不是酉矩陣。
5樓：電燈劍客
這題目是錯的，樓上也在反覆用錯誤的回答坑人
證明：如果正交矩陣a有實特徵值λ，那麼λ為1或-1
6樓：匿名使用者
假設b是a的實特徵值baiλ對應的特徵向量du，b不為零則zhi a·daob=λb
兩邊求轉
專置 b'·a' = λb'
上述兩等式相乘， b'·a' ·a·b= λb'·λb由於a是正交屬陣，得b'·b=(λ·λ)·b'·b =》λ^2=1 =》λ為1或-1
線性代數中怎麼證明正交矩陣的特徵值是1或者-1？
7樓：匿名使用者
首先要明白矩陣的基本知識：
若矩陣a的特徵值為λ,則a的轉置的特徵值也為λ，而a的逆的特徵值為1/λ.
對於正交矩陣來說，矩陣的轉置即為矩陣的逆，即：
λ=1/λ,所以：λ=1或-1.
8樓：匿名使用者
正交矩陣的行列式值等於1或負1
還有乙個性質就只正交矩陣所有的行向量，列向量他的模等於1
設a是正交矩陣,證a的特徵值只能是1或-1
9樓：電燈劍客
反例：a=
cosθ -sinθ
sinθ cosθ
其中θ不是π的整數倍
線性代數 設a為正交陣，且deta=-1.證明-1是a的特徵值
10樓：demon陌
a正交，則a的特徵值的模是1又deta=－1=所有特徵值的乘積，共軛復特徵值成對出現所以必有特徵值是－1。
方陣a為正交陣的充分必要條件是a的行向量或列向量是標準正交向量。
正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復正交矩陣，這種復正交矩陣不是酉矩陣。
若是的屬於的特徵向量，則也是對應於的特徵向量，因而特徵向量不能由特徵值惟一確定．反之，不同特徵值對應的特徵向量不會相等，亦即乙個特徵向量只能屬於乙個特徵值。
11樓：流雲
^^設a的特徵值為λ，有aα = λα (α≠0)，(a^t)a=e等式左邊乘於a的轉置a^t，右邊乘於α ^t，得α(α ^t) = λ(a^t)α(α ^t)，取行列式得：
|α(α ^t)| = λ |(a^t)| |α(α ^t)|，又|a^t|=deta=-1，故λ=-1
即：題幹條件下，a的特徵值有且僅有-1
12樓：幽谷之草
正交矩陣的特徵值只能是1或者-1；
矩陣a的行列式值|a|是a的特徵值的乘積。
根據以上兩點正交矩陣的特徵值的乘積是-1，所以不能全部都是1，從而-1是a的特徵值。
設a為正交陣，且〔a〕=-1，證明b=-1是a的特徵值 10
13樓：匿名使用者
a正交，則a的特徵值的模是1又deta=－1=所有特徵值的乘積，共軛復特徵值成對出現所以必有特徵值是－1。
設a的特徵值為λ，有aα = λα (α≠0)，(a^t)a=e
等式左邊乘於a的轉置a^t，右邊乘於α ^t，得α(α ^t) = λ(a^t)α(α ^t)，取行列式得：
|α(α ^t)| = λ |(a^t)| |α(α ^t)|，又|a^t|=deta=-1，故λ=-1
方陣a為正交陣的充分必要條件是a的行向量或列向量是標準正交向量。
擴充套件資料
1、正交矩陣一定是對實矩陣而言的。
2、正交矩陣不一定對稱，也不一定可以對角化。
3、正交矩陣的特徵值為正負1或者cos(t)+isin(t)，換句話說特徵值的模長為1。
4、正交矩陣的行列式肯定是正負1，正1是叫第一類，負1時叫第二類。
5、對稱的正交矩陣不一定是對角的，只是滿足a'=a=a^，例如副對角線全為1，其餘元素都為零的那個方陣就是這種型別。
6、正交矩陣乘正交矩陣還是正交矩陣，但是正交矩陣相加相減不一定還是正交矩陣。
7、正交矩陣的每乙個行(列)向量都是模為1的，並且任意兩個行(列)向量是正交的，即所有的行(列)向量組成r^n的一組標準正交基。
8、正交矩陣每個元素絕對值都小於等於1，如果有乙個元素為1，那麼這個元素所在的行列的其餘元素一定都為零。
9、乙個對稱矩陣，如果它的特徵值都為1或者-1，那麼這個矩陣一定是對稱的正交矩陣。
10、如果b是乙個n維單位實列向量，則e_n-2bb'是乙個對稱正交矩陣.因為e_n-2bb'的特徵值為1(n-1重)，-1(1重)，同時還是乙個對陣矩陣。
14樓：小鑫沒了蠟筆了
先證明因為a為正交矩陣，a的特徵值為-1或1，設λ是正交矩陣a的特徵值，x是a的屬於特徵值λ的特徵向量，即有ax=入x，且x≠0.兩邊取轉置得x^ta^t=入x^t所以x^ta^tax=入^2x^tx，因為a是正交矩陣所以a^ta=e，所以x^tx=入^2x^tx，由x≠0知x^tx是乙個非零的數，故入^2=1，所以入=1或-1。
因為a等於所有特徵值之積，又|a|=-1，所以必有奇數個特徵值為-1，即=-1是a的特徵值。
15樓：隰紫雲的紫竹苑
^|||a為正交陣,即a^t a=e，設a的轉置為a'
有 | e + a | = | a'a + a |= |a|| a' +e|
=-| (a + e)' |
=-| e + a |
所以 | e + a | = 0
就是說 | a - （-e）| =0
這就說明-1是他的乙個特徵根
16樓：賈元牧慈
因為特徵值都大於零所以a的行列式deta=1,所以a*=deta*(a^-1)=a^-1=a^t
求大家幫我打成語落約求大家幫我打乙個成語落約
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