在數列an中,已知a1 2,a n 1 2an an 1 ,求數列an通項公式

2021-04-02 01:00:16 字數 5019 閱讀 8744

1樓:小南vs仙子

^a1=2

a2=2a1/(a1+1)=4/3

a3=2a2/(a2+1)=8/3/7/3=8/7a4=2a3/(a3+1)=16/7/15/7=16/15...推測an=2^n/(2^n-1)

數學歸納法證明,簡單寫下:

假設an成立 即:an=2^n/(2^n-1)a(n+1)=2an/(an+1)=[2^(n+1)/(2^n-1)]/[2^n/(2^n-1)+1]

=2^(n+1)/[2^n+2^n-1]

=2^(n+1)/[2^(n+1)-1]

即對於n+1也成立

所以an=2^n/(2^n-1)

2樓:麥霸

解:其實最簡單的方法就是求出前幾個數後找規律

a1=2=2/1 a2=4/3 a3=8/7 a4=16/15

所以an=2^n/(2^n - 1)

3樓:桔子樹上的香蕉

^所以, 2/a(n+1) = (an+1)/an = 1+1/an設 bn = 1/an;hence,b1=1/2則 2b(n+1) = 1+bn

bn = (1/2)^n*b1 + (1/2)^n + (1/2)^(n-1) + .....

= (1/2)^(n+1) + (1-0.5^n)/(1-0.5)-1

an = 1/bn

已知數列an 滿足a1=1 an+1=an/1+an 求數列an的通項公式

4樓:116貝貝愛

數列an的通項公式為:2n-1

解題過程如下:

由an+1=2an+1得an+1+1=2(an+1)

又an+1≠0,

∴an+1+1

an+1

=2即為等比數列

∴an+1=(a1+1)qn-1

即an=(a1+1)qn-1-1

∴=2•2n-1-1

∴=2n-1

求數列極限的方法:

設一元實函式f(x)在點x0的某去心鄰域內有定義。如果函式f(x)有下列情形之一:

1、函式f(x)在點x0的左右極限都存在但不相等,即f(x0+)≠f(x0-)。

2、函式f(x)在點x0的左右極限中至少有乙個不存在。

3、函式f(x)在點x0的左右極限都存在且相等,但不等於f(x0)或者f(x)在點x0無定義。

則函式f(x)在點x0為不連續,而點x0稱為函式f(x)的間斷點。

對於乙個數列,如果任意相鄰兩項之差為乙個常數,那麼該數列為等差數列,且稱這一定值差為公差,記為 d ;從第一項 a1到第n項 an的總和,記為sn 。

對於乙個數列 ,如果任意相鄰兩項之商(即二者的比)為乙個常數,那麼該數列為等比數列,且稱這一定值商為公比 q ;從第一項a1 到第n項an 的總和,記為tn 。

5樓:憶安顏

an=1/n

解:因為an+1=an/1+an

所以兩邊同時取倒數得1/an+1=1+an/an=1/an+1

等價於1/an+1-1/an=1

所以(1/a2-1/a1)+(1/a3-1/a2)+...+(1/an+1-1/an)=1/an+1-1/a1=n(應為括號裡都為1,一起加上的總和)

所以得到1/an+1-1/a1=n即1/an+1-1=n

所以1/an+1=n+1

所以an=1/n

擴充套件資料

如果數列的第n項an與n之間的關係可以用乙個公式來表示,這個公式叫做數列的通項公式。有的數列的通項可以用兩個或兩個以上的式子來表示。沒有通項公式的數列也是存在的,如所有質數組成的數列。

性質1、若已知乙個數列的通項公式,那麼只要依次用1,2,3,...去代替公式中的n,就可以求出這個數列的各項。

2、不是任何乙個無窮數列都有通項公式,如所有的質數組成的數列就沒有通項公式。

3、給出數列的前n項,通項公式不唯一。

4、有的數列的通項可以用兩個或兩個以上的式子來表示。

6樓:drar_迪麗熱巴

(1)∵∵an+1=2an+1,

∴an+1+1=2(an+1),

∵a1=1,∴a1+1=2≠0,

∴數列是以2為首項,2為公比的等比數列,

∴an+1=2?2n-1=2n,

即an=2n-1,求數列的通項公式an=2n-1;

(2)若數列滿足4b1?14b2?1…4bn?1=(an+1) bn(n∈n*),

則4b1?14b2?1…4bn?

1=(2n) bn,即2[b1+b2+…+bn-n]=nbn,①2[b1+b2+…+bn+1-(n+1)]=(n+1)bn+1,②,②-①得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn,即(n-1)bn+1-nbn+2=0,③

nbn+2-(n+1)bn+1+2=0,④③-④,得nbn+2-2nbn+1+nbn=0,即bn+2-2bn+1+bn=0,

則bn+2+bn=2bn+1,

∴是等差數列.

等差數列是指從第二項起,每一項與它的前一項的差等於同乙個常數的一種數列,常用a、p表示。這個常數叫做等差數列的公差,公差常用字母d表示。

例如:1,3,5,7,9……2n-1。通項公式為:

an=a1+(n-1)*d。首項a1=1,公差d=2。前n項和公式為:

sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或sn=[n*(a1+an)]/2。

7樓:浩然之氣

是an+1還是a(n+1)

在數列{an}中,已知a1=2,a(n+1)=2an/(an+1),求數列{an}通項公式.

8樓:西域牛仔王

^1)a(n+1)=2an/(an+1)

1/a(n+1)=1/2(1+1/an)

1/a(n+1)-1=1/2(1/an-1)

所以 {1/an-1}是 首項為 -1/2,公比為 1/2 的等比數列,

故 1/an-1=-(1/2)^n

所以 an=1/[1-(1/2)^n]=2^n/(2^n-1)

2)ai(ai-1)=2^i/(2^i-1)^2=1/(2^i+1/2^i-2)

由於 a1(a1-1)+a2(a2-1)=2+4/9=22/9

且當 i>=3時,ai(ai-1)=2^i/(2^i-1)^2=1/(2^i+1/2^i-2)<=1/(2^i-2)<=1/2^(i-1)

所以 ∑(i=3 to n) ai(ai-1)<=1/4+1/8+..+1/2^(n-1)<=1/2

因此,∑(i=1 to n) ai(ai-1)<=22/9+1/2=53/18<3

9樓:尐尒倩

1.因為a(n+1)=2an/(an+1)

左邊右邊都成倒數。1/a(n+1)=(an+1)/2an=1/2+1/2an

所以(我懷疑你題目有沒有少抄乙個2)沒有的話告訴我。我繼續做。

10樓:匿名使用者

^1)令來bn=1/an, 則自b1=1/2,

因為a(n+1)=2an/(an+1),

所以b(n+1)=bn/2+1/2,

即b(n+1)-1=(bn-1)/2

所以是以-1/2為首項,以1/2為公比的等比數列,bn-1=-(1/2)^n

所以bn=1-(1/2)^n

即an=1/bn=2^n/(2^n-1)

2)ai(ai-1)=2^i/(2^i-1)^2=1/(2^i+1/2^i-2)

由於 a1(a1-1)+a2(a2-1)=2+4/9=22/9

且當 i>=3時,ai(ai-1)=2^i/(2^i-1)^2=1/(2^i+1/2^i-2)<=1/(2^i-2)<=1/2^(i-1)

所以 ∑(i=3 to n) ai(ai-1)<=1/4+1/8+..+1/2^(n-1)<=1/2

因此,∑(i=1 to n) ai(ai-1)<=22/9+1/2=53/18<3

11樓:匿名使用者

對a(n+1)=2an/(an+1)兩邊同取自倒數

2/a(n+1)=1/an+1

再給上式兩邊同乘以2^n,可得2^(n+1)/a(n+1)=2^n/an+2^n

令b(n+1)=2^(n+1)/a(n+1),則bn=2^n/an那麼有:b(n+1)-bn=2^n,b1=2^1/a1=1

所以:bn-b(n-1)=2^(n-1)

b(n-1)-b(n-2)=2^(n-2)

………………

b2-b1=2

根據累加法:bn-b1=2+……2^(n-2)+2^(n-1)

這樣bn=1+2+……2^(n-2)+2^(n-1)=1(1-2^n)/(1-2)=2^n-1

即有:2^n/an=2^n-1那麼an=2^n/(2^n-1)

ai(ai--1)=2^n/(2^n-1)[2^n/(2^n-1)-1]=2^n/(2^n-1)[1/(2^n-1)]=2^n/(2^n-1)^2>0

兩邊倒數:1/[ai(ai--1)]=(2^n-1)^2/2^n=[2^(2n)-2*2^n+1]/2^n=2^n+1/2^n-2

然後根據等比數列求和方縮即可證。

已知數列{an}中,a1=1,a(n+1)=2an/(an+2),n屬於n*,求數列{an}通項公式

12樓:藍竹∮楓

這個題對等式兩邊求倒數

得1/a(n+1)=1/2+1/an即1/a(n+1)-1/an=1/2

所以數列{1/an}是以1為首項,1/2為公差的等差數列得1/an=1+1/2*(n-1)化簡得an=2/(n+1)解答完畢~~~

13樓:我不是他舅

^取倒數

1/a(n+1)=(an+2)/an=1+2/an1/a(n+1)+1=2/an+2=2(1/an+1)所以1/an+1是等比數

列,回q=2

則1/an+1=(1/a1+1)*2^答(n-1)=2^(n-2)1/an=-1+2^(n-2)

an=1/[-1+2^(n-2)]

在數列an中,已知a1 1,且an 1 2an 3n 4 n屬於N

解 證明 an 1 2an 3n 4 n n 當n 2時,an 2an 1 3n 7 兩式相減,得,an 1 an 2 an an 1 3,即,an 1 an 3 2 an an 1 3 an 1 an 3an an 1 3 2 數列是公比為2的等比數列 數列是公比為2的等比數列,且a1 1,a2 ...

已知數列an滿足a12an1an

代入計來算。自 可見baia1 2 a2 1 3 a3 1 2 a4 3 a5 2.因為dua5 a1,可見數列zhi是週期為4次的環.所以dao a20 a4 3 an 1 an 1 an 1 能不能再寫清楚點,把下標用括號括起來 解令bai a n 1 b n 1 1,得dua n 1 1 b ...

在數列a n 中,已知a n 1,a 1 a 2 a 3a nn

令n 2,a1 a2 2 2 3 a2 4 3 a2,即a1 1 3 a2,因為a1 1,所以a2 3 令n 3,a1 a2 a3 3 2 3 a3 5 3 a3,即 1 3 a3 5 3 a3,所以4 2 3 a3,a3 6 sn n 2 3 a n s n 1 n 1 2 3 a n 1 n 1...