求柯西不等式的最巧妙的證明方法,柯西不等式的幾種證明方法

2021-03-11 04:14:10 字數 3664 閱讀 8902

1樓:水青雲倩

^^設自a1b1+a2b2+...+anbn=ab 欲證(a1^bai2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...

+bn^2)>=(a1b1+a2b2+...+anbn)^2

即證[(a1^2+a2^2+...+an^2)/ab][(b1^2+b2^2+...+bn^2)/ab]>=1

由基本du

不等式zhi得ai^2/ab+bi^2/ab>=aibi/ab疊加dao易得原不等式成立

2樓:匿名使用者

^貌似是用判別式法最簡單了:

設乙個函式

f(x)=(a1^2+a2^2+...+an^2)x^2-2(

專a1b1+a2b2+...+anbn)x+(b1^2+...+bn^2)

那麼f(x)=(a1^2x^2-2a1b1x+b1^2)+...+(an^2x^2-2anbnx+bn^2)

=(a1x-b1)^2+...+(anx-bn)^2>=0

而f(x)是乙個屬一元二次方程函式,那麼方程f(x)=0的判別式△<=0

即(2(a1b1+a2b2+...+anbn))^2-4(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+...+bn^2)<=0

化簡後得:(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+...+bn^2)>=(a1b1+a2b2+...+anbn)^2 即柯西不等式

等號條件△=0,(a1x-b1)^2+...+(anx-bn)^2=0

x=b1/a1=b2/a2=...=bn/an 即an與bn互相成比例

這樣就證明完畢了

3樓:匿名使用者

柯西不等抄式可以簡單地記做:平方和的積 ≥ 積的和的平方。它是對兩列數不等式。取等號的條件是兩列數對應成比例。

如:兩列數

0,1和 2,3

有 (0^2 + 1^2) * (2^2 + 3^2) = 26 ≥ (0*2 + 1*3)^2 = 9.

4樓:零下負5度小

兩邊相減,再抓對湊成完全平方式!因為多個平方的和是一定非負的!所以,就有》=號成立了... ...

柯西不等式的幾種證明方法

5樓:影伶

摘要: 如果襲

某一知識跟很多學科或者乙個學科的很多分支有著密切聯絡,那麼這個知識肯定是很重要的,而二次型、歐式空間內積、詹森不等式都是高等數學中代數、實函、微積分的基本內容。本文運用二次型理論、歐式空間中內積性質和詹森(jensen)不等式三種方法證明柯西不等式,並簡要說明柯西不等式與高等數學之間的聯絡。(剩餘2063字)

柯西不等式的簡便證明方法??

6樓:匿名使用者

^^證明:二維形式的證明  (a^2+b^2)(c^2+d^2) (a,b,c,d∈r)

=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2

=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2-2abcd+b^2·c^2

=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

≥(ac+bd)^2,等號在且僅在ad-bc=0即ad=bc時成立.

三角形式的證明  √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]

證明:[√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2·√(a^2+b^2)·√(c^2+d^2)

≥a^2+b^2+c^2+d^2+2|ac+bd|

≥a^2+b^2+c^2+d^2+2(ac+bd)

=a^2+2ac+c^2+b^2+2bd+d^2

=(a+c)^2+(b+d)^2

兩邊開根號即得 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]

注:| |表示絕對值.

向量形式的證明  令m=(a1,a2,…,an),n=(b1,b2,…,bn)

m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos=√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) ×cos

∵cos≤1

∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn)

注:「√」表示平方根.

一般形式的證明  (∑(ai^2))(∑(bi^2)) ≥ (∑ai·bi) ^2

證明:等式左邊=(ai·bj+aj·bi)+.共n2 /2項

等式右邊=(ai·bi)·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+.共n2 /2項

用均值不等式容易證明 等式左邊≥等式右邊 得證

推廣形式的證明

推廣形式為 (x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(πx)^(1/n)+(πy)^(1/n)+…]^n (*)

證明如下

記a1=x1+y1+…,a2=x2+y2+…,….

由平均值不等式得

(1/n)(x1/a1+x2/a2+…+xn/an)≥[x1*x2*…*xn/(a1*a2*…*an)]^(1/n)=[(πx)/(a1*a2*…*an)]^(1/n)

(1/n)(y1/a1+y2/a2+…+yn/an)≥[y1*y2*…*yn/(a1*a2*…*an)]^(1/n)=[(πy)/(a1*a2*…*an)]^(1/n)

……上述m個不等式疊加得

1≥[(πx)/(a1*a2*…*an)]^(1/n)+[(πy)/(a1*a2*…*an)]^(1/n)+…

即(a1*a2*…*an)^(1/n)≥(πx)^(1/n)+(πy)^(1/n)+…

即 a1*a2*…*an≥[(πx)^(1/n)+(πy)^(1/n)+…]^n

即(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(πx)^(1/n)+(πy)^(1/n)+…]^n

因此,不等式(*)成立.

(注:推廣形式即為卡爾松不等式)

7樓:鄭睿智

柯西不等式可以簡單地記做:平方和的積 ≥ 積的和的平方。它是對兩列數不等式。取等號的條件是兩列數對應成比例。

如:兩列數

0,1和 2,3

有 (0^2 + 1^2) * (2^2 + 3^2) = 26 ≥ (0*2 + 1*3)^2 = 9.

形式比較簡單的證明方法就是構造乙個輔助函式,這個輔助函式是二次函式,於是用二次函式取值條件就得到cauchy不等式。

還有一種形式比較麻煩的,但確實很容易想到的證法,就是完全把cauchy不等式右邊-左邊的式子,化成一組平方和的形式。

我這裡只給出前一種證法。

cauchy不等式的形式化寫法就是:記兩列數分別是ai, bi,則有

(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.

我們令f(x) = ∑(ai + x * bi)^2

= (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)

則我們知道恒有

f(x) ≥ 0.

用二次函式無實根或只有乙個實根的條件,就有

δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.

於是移項得到結論。

學了更多的數學以後就知道,這個不等式可以推廣到一般的內積空間中,那時證明的書寫會更簡潔一些。我們現在的證明只是其中的乙個特例罷了。

柯西不等式的簡便證明方法求柯西不等式的最巧妙的證明方法

證明 二維形式的證明 a 2 b 2 c 2 d 2 a,b,c,d r a 2 c 2 b 2 d 2 a 2 d 2 b 2 c 2 a 2 c 2 2abcd b 2 d 2 a 2 d 2 2abcd b 2 c 2 ac bd 2 ad bc 2 ac bd 2,等號在且僅在ad bc 0...

用向量法證明柯西不等式,柯西不等式的簡便證明方法??

柯西不等式是由柯西 cauchy 在研究數學分析中的 流數 問題時得到的。一般形式 ai 2 bi 2 ai bi 2 等號成立條件 a1 b1 a2 b2 an bn,或ai bi均為零。向量形式 a1,a2,an b1,b2,bn n n,n 2 等號成立條件 為零向量,或 r 用向量來證.m ...

3道 柯西不等式 和 平均不等式 的

1.數形結合。y 2 2ax 0 拋物線右邊。x 2 y 2 2ax 0 圓外面。注意到圓和拋物線 相切 其實只用說明只有乙個交點即可。所以答案為 拋物線出去圓。注意下邊界不要出錯 2。即考慮 x y 2 z 2 y x 2 z 2 z y 2 x 2 根號 x 2 y 2 z 2 的最小值。由於是...