1樓：匿名使用者
1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。
(1)差值比較法的理論依據是不等式的基本性質：「a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b」。其一般步驟為：
①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作乙個整體；②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為乙個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為乙個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段；③判斷：
根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最後肯定所求證不等式成立的結論。應用範圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。
(2)商值比較法的理論依據是：「若a，b∈r+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b」。其一般步驟為：
①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡商式到最簡形式；③判斷商與1的大小關係，就是判定商大於1或小於1。
應用範圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法。
2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最後推出所要證明的不等式，其特點和思路是「由因導果」，從「已知」看「需知」，逐步推出「結論」。其邏輯關係為：
ab1 b2 b3… bnb，即從已知a逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論b。
3.分析法分析法是指從需證的不等式出發，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是「執果索因」，即從「未知」看「需知」，逐步靠攏「已知」。用分析法證明ab的邏輯關係為：
bb1b1 b3 … bna，書寫的模式是：為了證明命題b成立，只需證明命題b1為真，從而有…，這只需證明b2為真，從而又有…，……這只需證明a為真，而已知a為真，故b必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。
4.反證法有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式a>b，先假設a≤b，由題設及其它性質，推出矛盾，從而肯定a>b。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有「至多」、「至少」、「不存在」、「不可能」等詞語時，可以考慮用反證法。
5.換元法換元法是對一些結構比較複雜，變數較多，變數之間的關係不甚明了的不等式可引入乙個或多個變數進行代換，以便簡化原有的結構或實現某種轉化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。
(1)三角代換法：多用於條件不等式的證明，當所給條件較複雜，乙個變數不易用另乙個變數表示，這時可考慮三角代換，將兩個變數都有同乙個引數表示。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數的聯絡，將複雜的代數問題轉化為三角問題根據具體問題，實施的三角代換方法有：
①若x2+y2=1，可設x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③對於含有的不等式，由於|x|≤1，可設x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tana+tanb+tanc=tanatan-btanc知，可設x=taaa，y=tanb，z=tanc，其中a+b+c=π。(2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。
如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進行換元。
6.放縮法放縮法是要證明不等式a (1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較。常用的放縮技巧有：①捨掉(或加進)一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應用均值不等式進行放縮。 1、比較法（作差法） 在比較兩個實數 和 的大小時，可借助 的符號來判斷。步驟一般為：作差——變形——判斷（正號、負號、零）。 變形時常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應用已知定理、公式等。 例1、已知： ， ，求證： 。 證明： ，故得 。 2、分析法（逆推法） 從要證明的結論出發，一步一步地推導，最後達到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推導過程都必須可逆。 例2、求證： 。 證明：要證 ，即證 ，即 ， ， ， ， ，由此逆推即得 。 3、綜合法 證題時，從已知條件入手，經過逐步的邏輯推導，運用已知的定義、定理、公式等，最終達到要證結論，這是一種常用的方法。 例3、已知： ， 同號，求證： 。 證明：因為 ， 同號，所以 ， ，則 ，即 。 4、作商法（作比法） 在證題時，一般在 ， 均為正數時，借助 或 來判斷其大小，步驟一般為：作商——變形——判斷（大於1或小於1）。 例4、設 ，求證： 。 證明：因為 ，所以 ， 。而 ，故 。 5、反證法 先假設要證明的結論不對，由此經過合理的邏輯推導得出矛盾，從而否定假設，匯出結論的正確性，達到證題的目的。 例5、已知 ， 是大於1的整數，求證： 。 證明：假設 ，則 ，即 ，故 ，這與已知矛盾，所以 。 6、迭合法（降元法） 把所要證明的結論先分解為幾個較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質，使原不等式獲證。 例6、已知： ， ，求證： 。 證明：因為 ， ， 所以 ， 。 由柯西不等式 ，所以原不等式獲證。 7、放縮法（增減法、加強不等式法） 在證題過程中，根據不等式的傳遞性，常採用捨去一些正項（或負項）而使不等式的各項之和變小（或變大），或把和（或積）裡的各項換以較大（或較小）的數，或在分式中擴大（或縮小）分式中的分子（或分母），從而達到證明的目的。值得注意的是「放」、「縮」得當，不要過頭。常用方法為： 改變分子（分母）放縮法、拆補放縮法、編組放縮法、尋找「中介量」放縮法。 例7、求證： 。 證明：令 ，則 ， 所以 。 8、數學歸納法 對於含有 的不等式，當 取第乙個值時不等式成立，如果使不等式在 時成立的假設下，還能證明不等式在 時也成立，那麼肯定這個不等式對 取第乙個值以後的自然數都能成立。 例8、已知： ， ， ，求證： 。 證明：（1）當 時， ，不等式成立； （2）若 時， 成立，則 = ，即 成立。 根據（1）、（2）， 對於大於1的自然數 都成立。 9、換元法 在證題過程中，以變數代換的方法，選擇適當的輔助未知數，使問題的證明達到簡化。 例9、已知： ，求證： 。 證明：設 ， ，則 ， （因為 ， ）， 所以 。 2樓：匿名使用者 均值不等式：a^2+b^2大於或等於2ab 什麼是均值不等式？ 3樓：匿名使用者 均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是數學中的乙個重要公式。公式內容為hn≤gn≤an≤qn，即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數。 4樓：炫邁 、均值不等式：如果a,b 都為正數，那麼√(( a^2+b^2)/2)≥（a+b）/2 ≥√ab≥2/（1/a+1/b)（當且僅當a=b時等號成立.） 。 ( 其中√(( a^2+b^2)/2)叫正數a，b的平方平均數也叫正數a，b的加權平均數；（a+b）/2叫正數a,b的算數平均數；√ab正數a,b的幾何平均數；2/（1/a+1/b)叫正數a,b的調和平均數） 。 5樓：竇碩伏曼雲 ^【均值不等式的簡介】 概念：1、調和平均數：hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、幾何平均數：gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an) 3、算術平均數：an=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均數：qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n] 這四種平均數滿足hn≤gn≤an≤qn a1、a2、… 、an∈r +，當且僅當a1=a2= …=an時取「=」號 均值不等式的一般形式：設函式d(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(當r不等於0時); (a1a2...an)^(1/n)(當r=0時）（即d(0)=(a1a2...an)^(1/n)） 則有：當r0>-2ab (2)對非負實數a,b，有a+b≥2√(a×b)≥0，即(a+b)/2≥√(a×b)≥0 (3)對負實數a,b，有a+b<0<2√(a×b) (4)對實數a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b) (5)對非負數a,b，有a²+b²≥2ab≥0 (6)對非負數a,b，有a²+b² ≥½×(a+b)²≥ab (7)對非負數a,b,c，有a²+b²+c²≥1/3*(a+b+c)² (8)對非負數a,b,c，有a²+b²+c²≥ab+bc+ac (9)對非負數a,b，有a²+ab+b²≥¾×a+b)² 2/（1/a+1/b）≤√ab≤a+b/2≤√（(a²+b²)/2） ●【均值不等式的證明】 方法很多，數學歸納法（第一或反向歸納）、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等 下面介紹個好理解的方法 琴生不等式法 琴生不等式：上凸函式f(x)，x1,x2,...xn是函式f(x)在區間(a,b)內的任意n個點， 則有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)] 設f(x)=lnx，f(x)為上凸增函式 所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=lnn次√(x1*x2*...*xn) 即(x1+x2+...+xn)/n≥n次√(x1*x2*...*xn) ●【均值不等式的應用】 例一證明不等式：2√x≥3-1/x (x>0) 證明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√(√x)*(√x)*(1/x)=3 所以，2√x≥3-1/x 例二長方形的面積為p，求周長的最小值 解：設長,寬分別為a,b，則a*b=p 因為a+b≥2√ab，所以2(a+b)≥4√ab=4√p 周長最小值為4√p 例三長方形的周長為p，求面積的最大值 解：設長,寬分別為a,b，則2(a+b)=p 因為a+b=p/2≥2√ab，所以ab≤p^2/16 面積最大值是p^2/16 由於x和a在 0,的取值任意性,我們只需證明e x x 2 1在 0,上恆成立就行了 解不等式是求出製滿足不等式的x的取值範圍,如解不等式2x 4 0,並不是所有x都滿足不等式,只有求解出來的x 2才是不等式的解集。證明不等式是表示不等式對於給定的x都是正確的,但是需要去證明它的正確性。如證明不等式... 當運用均值不等式,最後的結果卻包含變數時,隨著變數的改變結果也會改變,例如 設內原式x 0 y x 3 1 x 2 2x 1 2 然後容x非常接近0的時候,只能得到y也非常接近0,這是沒有意義的,那麼該怎麼做呢?湊出乙個常數 y x 3 1 x 2 1 2 x 3 1 2 x 3 1 3x 2 1 ... 均值不等式的作用就是兩式和的最小值如果兩式積不是定值,則最小值就無法確定 但作為公式本身,對兩式積是否為定值,並無要求。均值不等式中為什麼如果必兩個數的積和和都不是定值,求出的範圍就會有誤差?所謂最大值或者最小值都是乙個確定的常數,如果不是定製,也就意味著這個最大值或者最小值是乙個關於自變數的函式,...不等式的證明,不等式的證明
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均值不等式為什麼兩數積應為定值,均值不等式中為什麼如果必兩個數的積和和都不是定值,求出的範圍就會有誤差