1樓:華夏侄子
等腰三角形中點垂直,所以角abc是90度,知道這一點就應該會做了
2樓:匿名使用者
請教學習題咋不去精銳。
請教一道數學題,不用四點共圓如何證明?
3樓:裘珍
證明:這樣的題
,是屬於難為人的題,因為之所以稱為定理,就是離開它,就無法證明。原則上定理是不交叉的,當然有些題,會出現交叉現象。這都是個別現象。
如果定理都出現了交叉現象,說明定理有重複內容。就要取消其中的乙個定理。因此,加限制條件的題,都屬於難為人的題;做這樣的題對提高數學學術水平的幫助不大。
數學的方法是把複雜的問題簡單化的過程,而不是把簡單的問題複雜化。這種題做的太多,會影響做題的思路。所有高考的答題,只要你做題越簡單,說明你的水平越高。
做題越複雜,說明你的思路不清晰;說明你掌握的知識的能力越差。
見下圖,作of⊥ab於f,得等腰rt△aof和rt△bof; 作fh⊥bo於h;聯結ef,交ob於g;這是最直接最簡單的方法,但是,無法證明ogfh是正方形,缺少條件。因此,用解析幾何來證明。設ao=bo=4;依題意:
∠1=∠2=45d/2=22.5d,∠adb=∠1+∠aob=90d+22.5d;直線be的方程:
y=tan∠adbx+4=-cot22.5dx+4=-[√(1+cos45d)/√(1-45d)]x+4=-(√2+1)x+4......(1);
直線oe方程為:y=tan(-22,5d)=-[1/(√2+1)]x=-(√2-1)x......(2);
(2)-(1),得:(-√2+1)x+(1+√2)x-4=0, x=2; y=-2(√2-1); e點座標(2,2-2√2);
ae的直線方程為:(y-0)/(x-4)=(2-2√2-0)/(2-4)=(√2-1),
整理,得:y=(√2-1)x-4(√2-1)......(3);
因為:-(√2+1)=-(2-1)/(√2-1)=-1/(√2-1): 所以,對比式(1)和式(3)的斜率,直線ae⊥be。原命題得證。證畢。
4樓:松茸人
如果同一平面內的四個點在同乙個圓上,則稱這四個點共圓,一般簡稱為「四點共圓」。四點共圓有三個性質:(1)共圓的四個點所連成同側共底的兩個三角形的頂角相等;(2)圓內接四邊形的對角互補;(3)圓內接四邊形的外角等於內對角。
以上性質可以根據圓周角等於它所對弧的度數的一半進行證明。
圓內接四邊形的對角和為180°,並且任何乙個外角都等於它的內對角。
【如圖:四點共圓的**】
四邊形abcd內接於圓o,延長ab和dc交至e,過點e作圓o的切線ef,ac、bd交於p,則有:
(1)∠a+∠c=π,∠b+∠d=π(即圖中∠dab+∠dcb=π, ∠abc+∠adc=π)
(2)∠dbc=∠dac(同弧所對的圓周角相等)。
(3)∠ade=∠cbe(外角等於內對角,可通過(1)、(2)得到)
(4)△abp∽△dcp(兩三角形三個內角對應相等,可由(2)得到)
(5)ap*cp=bp*dp(相交弦定理)
(6)eb*ea=ec*ed(割線定理)
(7)ef2= eb*ea=ec*ed(切割線定理)
(8)ab*cd+ad*cb=ac*bd(托勒密定理)
判定定理
方法1: 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形,且兩三角形都在這底邊的同側,若能證明其頂角相等,從而即可肯定這四點共圓。
(可以說成:若線段同側二點到線段兩端點連線夾角相等,那麼這二點和線段二端點四點共圓)
方法2 :把被證共圓的四點連成四邊形,若能證明其對角互補或能證明其乙個外角等於其鄰補角的內對角時,即可肯定這四點共圓。
(可以說成:若平面上四點連成四邊形的對角互補或乙個外角等於其內對角,那麼這四點共圓)
托勒密定理
托勒密定理:若abcd四點共圓(abcd按順序都在同乙個圓上),那麼ab*dc+bc*ad=ac*bd。
例題:證明對於任意正整數n都存在n個點使得所有點間兩兩距離為整數。
解答:歸納法。我們用歸納法證明乙個更強的定理:
對於任意n都存在n個點使得所有點間兩兩距離為整數,且這n個點共圓,並且有兩點是一條直徑的兩端。n=1,n=2很輕鬆。當n=3時,乙個邊長為整數的勾股三角形即可:
比如說邊長為3,4,5的三角形。我們發現這樣的三個點共圓,邊長最長的邊是一條直徑。假設對於n大於等於3成立,我們來證明n+1。
假設直徑為r(整數)。找乙個不跟已存在的以這個直徑為斜邊的三角形相似的乙個整數勾股三角形abc(邊長a
西姆松定理
西姆松定理:過三角形外接圓上異於三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線的垂線,則三垂足共線。(此線常稱為西姆松線)。
判定1從被證共圓的四點中先選出三點作一圓,然後證另一點也在這個圓周上,若能證明這一點,即可肯定這四點共圓.
推論:證被證共圓的點到某一定點的距離都相等,從而確定它們共圓.即連成的四邊形三邊中垂線有交點,可肯定這四點共圓.
判定21:把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形,且兩三角形都在這底邊的同側,若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周角相等),從而即可肯定這四點共圓.
2:把被證共圓的四點連成四邊形,若能證明其對角互補或能證明其乙個外角等於其鄰補角的內對角時,即可肯定這四點共圓。
證法見下
判定3把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段,若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等,即可肯定這四點共圓(相交弦定理的逆定理);或把被證共圓的四點兩兩鏈結並延長相交的兩線段,若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等於自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積,即可肯定這四點也共圓.(割線定理的逆定理)
上述兩個定理統稱為圓冪定理的逆定理,即abcd四個點,分別連線ab和cd,它們(或它們的延長線)交點為p,若pa*pb=pc*pd,則abcd四點共圓。
證明:連線ac,bd,∵pa*pb=pc*pd
∴pa/pc=pd/pb
∵∠apc=∠bpd
∴△apc∽△dpb
當p在ab,cd上時,由相似得∠a=∠d,且a和d在bc同側。根據方法2可知abcd四點共圓。
當p在ab,cd的延長線上時,由相似得∠pac=∠pdb,且a和d在bc同側。同樣根據方法2可知abcd四點共圓。
判定4四邊形abcd中,若有ab*cd+ad*bc=ac*bd,即兩對邊乘積之和等於對角線乘積,則abcd四點共圓。該方法可以由托勒密定理逆定理得到。
托勒密定理逆定理:對於任意乙個凸四邊形abcd,總有ab*cd+ad*bc≥ac*bd,等號成立的條件是abcd四點共圓。
如圖,在四邊形內作△apb∽△dcb(只需要作∠pab=∠cdb,∠pba=∠cbd即可)
由相似得∠abp=∠dbc,∠bap=∠bdc
∴∠abp+∠pbd=∠dbc+∠pbd
即∠abd=∠pbc
又由相似得ab:bd=pb:cb=ap:cd
∴ab*cd=bd*ap,△abd∽△pbc
∴ad:bd=pc:bc,即ad*bc=bd*pc
兩個等式相加,得ab*cd+ad*bc=bd*(pa+pc)≥bd*ac,等號成立的充要條件是apc三點共線
而apc共線意味著∠bap=∠bac,而∠bap=∠bdc,∴∠bac=∠bdc
根據判定2-1,abcd四點共圓
判定5西姆松定理逆定理:若一點在一三角形三邊上的射影共線,則該點在三角形外接圓上。
設有一△abc,p是平面內與abc不同的點,過p作三邊垂線,垂足分別為l,m,n,若l,m,n共線,則p在△abc的外接圓上。
如圖,pm⊥ac,pn⊥ab,pl⊥bc,且l,n,m在一條線上。
連線pb,pc,∵∠plb+∠pnb=90°+90°=180°
∴plbn四點共圓
∴∠pln=∠pbn,即∠plm=∠pba
同理,∠plm=∠pcm,即∠plm=∠pca=∠pba
根據判定2-1,p在△abc外接圓上.
希望我能幫助你解疑釋惑。
5樓:匿名使用者
四點共圓本質上是三角形相似演變過來的,故本題可以用三角形相似來證明,證明如下見圖:
6樓:匿名使用者
可以用反證法
假設ae不垂直於be,那麼過a作be的垂線,垂足為f(f與e不重合,f可能在de上,也可能在de的延長線上)。延長af,交bo的延長線於g。
易證∠afo=45度。
由於f與e不重合,所以∠afo與∠aeo是三角形內角與外角的關係,兩者不可能相等,矛盾!
所以原命題成立
7樓:巴山蜀水
分享一種解法。設α=∠obe=22.5°,ob=a【分析來看,若能證明∠eoa=α=∠eao,即可證明ea⊥be】。作ef⊥oa於f。
由題設條件,有∠eoa=∠efo=α。又,tanα=sin22.5°/cos22.5°=√2-11。∴od=(√2-1)a。
而,tan∠eoa=ef/(od+df)=tanα2、tan∠eao=df/ef=tanα3。聯立1、2、3解得df=(√2-1)od/2。∴of=od+df=a/2,即ef為oa的垂直平分線。
∴∠eoa=α=∠eao。
∴ ea⊥be成立。
供參考。
8樓:彩鳳九霄
作ep=eo p在bo延長線上
∠1=22.5° 在三角形aed中∠eod=22.5°所以∠eop=67.5 ep=eo
所以∠epo=67.5 所以∠peo=45°所以ae垂直於ap
或者用高中方法 建系設座標 設直線方程
9樓:飄渺的綠夢
過o作of⊥bd交bd於f。
∵∠bao=45°、ao⊥bo,∴∠abo=45°,而∠abd=∠obd,∴∠abd=22.5°。
顯然有:∠bda=∠ode,又∠bad=∠oed=45°,∴△bad∽△oed,∴∠abd=∠eod,
∴∠eod=22.5°。
由∠oef=45°、of⊥ef,得:∠eof=45°,又∠eod=22.5°,∴∠dof=22.5°。
∴bd、od分別是△abo、△eof的內角平分線,由三角形內角平分線定理,有:
od/ad=ob/ab、fd/ed=of/oe。
很容易求得:ob/ab=1/√2、of/oe=1/√2,∴od/ad=of/oe,注意到∠odf=∠ade,
∴△ofd∽△aed,∴∠ofd=∠aed,又∠ofd=90°,∴∠aed=90°,∴ae⊥be。
求一道高中數學題,一道高中數學題。簡單
存在。設方程為bai y kx b,把 du 5,4 代入方程式可得zhi出b 5k 4,所以,直與daoy軸截距回 5k 4,與x軸截距 答 4 5k k,根據面積公式 s 1 2 5k 4 4 5k k 5,解出k 2 5或8 5,所以方程為 y 2 5x 2或y 8 5x 4,明白了嗎?我盡力...
一道高中數學題，要有詳細過程，一道高中數學題。簡單？
sin pi 4 b 2 1 cos pi 2 b 2 1 sinb 2 其中pi duzhi cos2b 1 2sin b 4sinb 1 sinb 2 1 2sin b 1 根32sinb 根3 b 60或dao120 s 1 2 ac sinb c 5當 b 60，專b a 屬2 c 2 2a...
高中數學題一道，求講解和過程，高中數學題一道，求講解和過程
正確答案就是選b 首先，答案a排除，因為y x a x 0 其中當x 0時，過原點。再來看答案b，這個影象中，對數函式是斜向左上角，即a在 0,1 之間的影象。這個時候可以用代入法即可判斷。a在 0,1 那就取a 1 2帶入第乙個函式y x a即y x 1 2，也就是根號x的影象去x 1，x 4，x...