G)(x 2 y 2)dv,其中G為旋轉拋物面z 1 2 x 2 y 2 與平面z 3所圍成求三重積分

2022-11-09 09:46:49 字數 5493 閱讀 8429

1樓:匿名使用者

{ z = 3、在上方

{ 2z = x² + y²、在下方

柱座標(投影法):2z = x² + y² --> 2z = r²、x² + y² = 2(3) = 6 --> r² = 6 --> 0 ≤ r ≤ √6

∫∫∫(g) (x² + y²) dv

= ∫∫(dxy) dxdy ∫(r²/2~3) r² dz

= ∫(0~2π) dθ ∫(0~√6) r dr ∫(r²/2~3) r² dz

= 2π • ∫(0~√6) r³ • (3 - r²/2) dr

= π • ∫(0~√6) (6r³ - r⁵) dr

= π • [ (6/4)r⁴ - (1/6)r⁶ ] |(0~√6)

= π • [ (3/2)(√6)⁴ - (1/6)(√6)⁶ ]

= 18π

柱座標(切片法):x² + y² = 2z --> x² + y² = (√2√z)² --> 0 ≤ r ≤ √(2z)

∫∫∫(g) (x² + y²) dv

= ∫(0~3) dz ∫∫(dz) (x² + y²) dxdy

= ∫(0~3) dz ∫(0~2π) dθ ∫(0~√(2z)) r² • r dr

= ∫(0~3) dz • 2π • (1/4)[ r⁴ ] |(0~√(2z))

= (π/2)∫(0~3) 4z² dz

= 2π • (1/3)[ z³ ] |(0~3)

= 2π • (1/3)(27)

= 18π

2樓:

用柱面座標:

∫∫∫(g)(x^2+y^2)dv

=∫∫∫r^3dv

=∫(0, π/2)dθ∫(0,√6)rdr∫(0,r^2/2)r^2dz

=π/2∫(0,√6)r^5/2dr

=(π/4)(√6)^6

=27π

計算三重積分i=∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz,其中是ω由曲面z=(x^2+y^2)^(1/2)與z=2-x^2-y^2所圍成的閉區域

3樓:曉龍修理

結果為:

解題過程如下:

求三重積分閉區域的方法:

設三元函式f(x,y,z)在區域ω上具有一階連續偏導數,將ω任意分割為n個小區域,每個小區域的直徑記為rᵢ(i=1,2,...,n),體積記為δδᵢ,||t||=max,在每個小區域內取點f(ξᵢ,ηᵢ,ζᵢ),作和式σf(ξᵢ,ηᵢ,ζᵢ)δδᵢ。

若該和式當||t||→0時的極限存在且唯一(即與ω的分割和點的選取無關),則稱該極限為函式f(x,y,z)在區域ω上的三重積分,記為∫∫∫f(x,y,z)dv,其中dv=dxdydz。

設三元函式z=f(x,y,z)定義在有界閉區域ω上將區域ω任意分成n個子域δvi(i=123…,n)並以δvi表示第i個子域的體積.在δvi上任取一點。

果空間閉區域g被有限個曲面分為有限個子閉區域,則在g上的三重積分等於各部分閉區域上三重積分的和。

先一後二法投影法,先計算豎直方向上的一豎條積分,再計算底面的積分。區域條件:對積分區域ω無限制;函式條件:對f(x,y,z)無限制。

先二後一法(截面法):先計算底面積分,再計算豎直方向上的積分。區域條件:

積分區域ω為平面或其它曲面(不包括圓柱面、圓錐面、球面)所圍成函式條件:f(x,y)僅為乙個變數的函式。

4樓:匿名使用者

第四題你的寫法是對的,答案應該不是16π/3

另外,你的做法並不是柱座標系計算,而是極座標計算,下面給出柱座標系的計算,你會發現最終答案和你是一樣的

第三題的列式是對的,具體計算沒細看

5樓:匿名使用者

選用柱座標表示:0≤θ≤2pi,0≤r≤1,r2≤θ≤2-r2,

計算由曲面z=2-x^2-y^2及z=√(x^2+y^2)所圍成的立體的體積

6樓:您輸入了違法字

首先將兩個方程並列找出兩個曲面相交的曲線.通過消去z,得到:

2-x²=x²+2y²

即x²+y²=1

所以,此曲線位於半徑為1的圓柱面上.那麼x和y的積分限很容易就找到了:x²+y²=1

要找到z的積分限,就需要知道兩個曲面哪個在上面,哪個在下面.因為所包的體積在圓柱內部,所以要求x²+y²<1.用這個條件,我們發現2-x²>x²+2y²,即z=2-x²在上面,z=x²+2y²在下面。

根據上面的討論,我們就可以寫出體積分:

v=∫∫dxdy∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz

這裡用符號_(x²+2y²)來表達z積分的下限,^(2-x²)表達z積分的上限.(記住xy積分限是圓形x²+y²=1.)

對z的積分很容易:

∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz=(2-x²)-(x²+2y²)=2-2x²-2y²

剩下的就是對xy的兩重積分。

v=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy

這個積分最容易在極座標裡做.變換為極座標時,x²+y²=r²,dxdy=rdrdφ.積分限為r從0到1,φ從0到2π.

v=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy=∫_0^1(2-2r²)rdr∫_0^(2π)dφ

兩個積分各為:

∫_0^(2π)dφ=2π

∫_0^1(2-2r²)rdr=r²-(1/2)r^4|_0^1=1/2

v=(1/2)2π=π

所以體積是π。

7樓:cyxcc的海角

聯立方程,消去z得交線在xoy面的投影曲線為x^2+y^2=1,所以v=∫∫x^2+y^2<=1(2-x^2-y^2-√(x^2+y^2))dxdy=5∏/6(二重積分自己算一下吧)

∫∫∫ω(x^2+y^2)dv,其中ω是為上半球面z=√a2-x2-y2與上錐面z=√x2+y2所

8樓:匿名使用者

答:(8 - 5√2)πa⁵/30

被積函式只有x² + y²,但考慮到錐面和球面,球座標最適合

x = r sinφ cosθ

y = r sinφ sinθ

z = r cosθ

dv = r²sinφ drdφdθ

錐面在下,球面在上

√(x² + y²) ≤ z ≤ √(a² - x² - y²)

x² + y² = r²sin²φ,0 ≤ φ ≤ π/4

∫∫∫_(ω) (x² + y²) dv

= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π/4) sinφ dφ ∫(0,a) r²sin²φ * r² dr

= (2π)∫(0,π/4) sin³φ dφ ∫(0,a) r⁴ dr

= (2π) * (8 - 5√2)/12 * a⁵/5

= (8 - 5√2)πa⁵/30

如果用柱座標的話,有一點要注意

交圓:a² - x² - y² = x² + y² ==> x² + y² = a²/2

即0 ≤ r ≤ a/√2

球座標和柱座標的半徑變化是不同的,乙個從原點出發,乙個從z軸出發

運用柱座標的結果如下:

∫(0,2π) dθ ∫(0,a/√2) r dr ∫(r,√(a²-r²)) r² dr

計算三重積分∫∫∫ω(x^2+y^2)dv,其中ω是由曲面x^2+y^2=2z和z=2所圍成的閉區域

9樓:曉龍修理

^結果為:16π/3

解題過程如copy下:

解:原式=∫

<0,2π>dθ∫<0,2>rdr∫r^2dz (作柱面座標變換)

=2π∫<0,2>r^3(2-r^2/2)dr

=2π∫<0,2>(2r^3-r^5/2)dr

=2π(2^4/2-2^6/12)

=2π(8/3)

=16π/3

求函式積分的方法:

設f(x)是函式f(x)的乙個原函式,我們把函式f(x)的所有原函式f(x)+c(c為任意常數)叫做函式f(x)的不定積分,記作,即∫f(x)dx=f(x)+c。

其中∫叫做積分號,f(x)叫做被積函式,x叫做積分變數,f(x)dx叫做被積式,c叫做積分常數,求已知函式不定積分的過程叫做對這個函式進行積分。

積分是微積分學與數學分析裡的乙個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。直觀地說,對於乙個給定的實函式f(x),在區間[a,b]上的定積分。

若f(x)在[a,b]上恒為正,可以將定積分理解為在oxy座標平面上,由曲線(x,f(x))、直線x=a、x=b以及x軸圍成的面積值(一種確定的實數值)。

10樓:匿名使用者

^你做錯了,不能那麼轉換。

解:原式=∫<0,2π>dθ∫<0,2>rdr∫專2/2,2>r^2dz (作柱面座標屬變換)

=2π∫

<0,2>r^3(2-r^2/2)dr

=2π∫<0,2>(2r^3-r^5/2)dr=2π(2^4/2-2^6/12)

=2π(8/3)

=16π/3。

∫∫∫√(x^2+y^2+z^2)dv 其中ω由z=1 z=√(x^2+y^2) 圍成

11樓:匿名使用者

球面座標:

{ x = rsinφcosθ

{ y = rsinφsinθ

{ z = rcosφ

圓錐面z = √(x² + y²) ==> 0 ≤ φ ≤ π/4

頂z = 1 ==> rcosφ = 1 ==> r = secφ ==> 0 ≤ r ≤ secφ

dv = r²sinφdrdφdθ

∫∫∫ω √(x² + y² + z²) dv

= ∫(0→2π) dθ ∫(0→π/4) sinφdφ ∫(0→secφ) √(r²) r²dr

= 2π∫(0→π/4) sinφdφ * (1/4)[ r⁴ ] |(0→secφ)

= (π/2)∫(0→π/4) sinφsec⁴φ dφ

= (π/2)∫(0→π/4) tanφsec³φ dφ

= (π/2)∫(0→π/4) sec²φ d(secφ)

= (π/2)(1/3)[ sec³φ ] |(0→π/4)

= (π/6)(2√2 - 1)

= (1/6)(2√2 - 1)π

還有以下兩種柱座標方法,供參考:

切片法:

dz:x² + y² = z²

∫∫∫ω √(x² + y² + z²) dv

∫(0→1) dz ∫∫dz √(x² + y² + z²) dxdy

= ∫(0→1) dz ∫(0→2π) dθ ∫(0→z) √(r² + z²) rdr

= (1/6)(2√2 - 1)π

投影法:

∫∫∫ω √(x² + y² + z²) dv

= ∫∫dxy dxdy ∫(r→1) √(x² + y² + z²) dz

= ∫(0→2π) dθ ∫(0→1) rdr ∫(r→1) √(r² + z²) dz

= (1/6)(2√2 - 1)π

計算Ix y z 1 dv,其中 x 2 y 2 z 2 R

由於積分區域 x y z r 關於座標三軸都對稱且被積函式中的x,y,z都是奇函式 若f x,y,z f x,y,z 則說f x,y,z 關於z是奇函式 在對稱區間上的奇函式的積分結果是0 所以用對稱性可得 x y z dv 0剩下的 dv,是球體 的體積 4 3 1 4 3 所以原積分 x y z...

計算x 2 y 2)dS,其中為球面x 2 y 2 z 2 a 2計算曲面積分

z aa xx yy,z x x aa xx yy z y y aa xx yy ds 1 z x 2 z y 2dxdy adxdy aa xx yyyy,在xoy面的投影區域d是xx yy aa,原式 內 容上半球面 下半球面 化成d上的二重積分並用極座標計算得到 2a 0到2 dt 0到a r...

計算三重積分x2y2dv其中是由柱面x

因為,曲面來z x 2 y 2在柱座標下的方自程為z 2這題如果是計算積分值的話,正解如下 因為z 常數的平面與 截得區域的面積為 z所以 zdxdydz 0 4 z z dz 1 3 z 3 0 4 64 3 計算三重積分 x 2 y 2 dv,其中 是由曲面x 2 y 2 2z和z 2所圍成的閉...