x 2 x 1 dx用湊微分法怎麼求

2021-08-04 20:09:01 字數 3350 閱讀 9260

1樓:

分母配方,換元t=x-1/2,則原式=∫(t+1/2)/(t^2+3/4)dt=∫t/(t^2+3/4)dt+1/2×∫1/(t^2+3/4)dt。

後者套用公式∫dx/(x^2+a^2)=1/a×arctan(x/a)+c得1/√3×arctan(2t/√3)+c

前者化為1/2×∫(2t)/(t^2+3/4)dt=1/2×∫1/(t^2+3/4)d(t^2+3/4)=1/2×ln((t^2+3/4)+c

所以,原式=1/2×ln((t^2+3/4)+1/√3×arctan(2t/√3)+c=1/2×ln((x^2-x+1)+1/√3×arctan((2x-1)/√3)+c

2樓:匿名使用者

x/(x^2-x+1) = (x -1/2) /(x^2-x+1) + (1/2) /(x^2-x+1)

∫(x -1/2) /(x^2-x+1) dx 湊微分, u = (x^2-x+1)

= (1/2)∫du / u = (1/2) lnu + c = (1/2) ln (x^2-x+1) + c

∫(1/2) /(x^2-x+1) dx = (1/2)∫dx / [(x-1/2)² + 3/4] 湊微分, v=(x-1/2)

= (1/2) ∫dv / (v² + 3/4) = (1/2) * (2 /√3) arctan(2v /√3) + c

= 1/√3 * arctan[(2x-1) /√3] + c

原式 = (1/2) ln (x^2-x+1) + (1 /√3) * arctan[(2x-1) /√3] + c

3樓:林間路

∫x/(x^2-x+1)dx=∫x+1+1/xdx=x^2/2+x+lnx+c

求不定積分:∫x/(x^2-x-2 )dx

4樓:寂寞的楓葉

解:∫x/(x^2-x-2 )dx

=∫x/((x-2)*(x+1))dx

=∫(2/(3*(x-2))+1/(3*(x+1)))dx

=2/3∫1/(x-2)dx+1/3∫1/(x+1)dx

=2/3ln|x-2|+1/3ln|x+1|+c

即∫x/(x^2-x-2 )dx的不定積分為2/3ln|x-2|+1/3ln|x+1|+c。

擴充套件資料:

1、不定積分的求解方法

(1)積分公式法

例:∫e^xdx=e^x、∫1/xdx=ln|x|+c、∫cosxdx=sinx+c、∫sinxdx=-cosx+c

(2)換元積分法

例:∫sinxcosxdx=∫sinxdsinx=1/2sin²x+c

2、不定積分的公式型別

(1)含ax^2±b的不定積分

∫(1/(a*x^2+b))=1/√(a*b)*arctan(√a*x/√b)+c

(2)含a+bx的不定積分

∫(1/(ax+b))=1/b*ln|ax+b|+c、∫(x/(ax+b))=1/b^2*(a+bx-aln|ax+b|)+c

(3)含x^2±a^2的不定積分

∫(1/(x^2+a^2))=1/a*arctan(x/a)+c、∫(1/(x^2-a^2))=1/(2a)*ln|(x-a)/(x+a)|+c

5樓:我的我451我

被積函式是分數形式一般要拆分,怎麼拆必須公式要熟。

∫x/(x^2-x-2 )dx=∫x/[(x-2)(x+1)]dx=∫[1/(x+1)+2/(x-2 )(x+1)]dx

=∫[1/(x+1)+2/3*[1/(x-2 )-1/(x+1)]dx=∫[1/3(x+1)+2/3(x-2 )]dx

=1/3*ln(x+1)+2/3*ln(x-2)+c   c為常數

拆分規則:在有意義的情況下,是任何一個賦值都會滿足的。

因為本身有理式的拆分就是一個恆等式求解的過程,也就是設a(x)=a(x),那麼你無論給左右兩邊取什麼值,只要這個值在a(x)的定義域內,該等式一定成立的。

而且如果不採用賦值法的話,就直接進行同分,最後我們用到的定理叫做多項式恆等定理,效果是一樣的。

6樓:熱心網友

|不定積分

∫x/(x^2-x-2 )dx的結果為2/3*ln|x-2|+1/3ln|x+1|+c。

解:因為x/(x^2-x-2)=x/((x-2)*(x+1)),

令x/((x-2)*(x+1))=a/(x-2)+b/(x+1)=(ax+a+bx-2b)/((x-2)*(x+1)),

可得a=2/3,b=1/3。那麼,

∫x/(x^2-x-2)dx

=∫x/((x-2)*(x+1))dx

=∫(2/(3*(x-2))+1/(3*(x+1)))dx

=2/3*∫1/(x-2)dx+1/3∫1/(x+1)dx

=2/3*ln|x-2|+1/3*ln|x+1|+c

擴充套件資料:

1、因式分解的方法

(1)十字相乘法

對於x^2+px+q型多項式,若q可分解因數為q=a*b,且有a+b=p,那麼可應用十字相乘法對多項式x^2+px+q進行因式分解。

x^2+px+q=(x+a)*(x+b)

(2)公式法

平方差公式,a^2-b^2=(a+b)*(a-b)。

完全平方和公式,a^2+2ab+b^2=(a+b)^2。

完全平方差公式,a^2-2ab+b^2=(a-b)^2。

2、不定積分湊微分法

通過湊微分,最後依託於某個積分公式。進而求得原不定積分。

例:∫cos3xdx=1/3∫cos3xd(3x)=1/3sin3x+c

直接利用積分公式求出不定積分。

3、不定積分公式

∫mdx=mx+c、∫1/xdx=ln|x|+c、∫cscxdx=-cotx+c

7樓:匿名使用者

先裂項得:1/3[x/(x-2)-x/(x+1)]

對分子做改變:x-2+2,x+1-1。

然後x就被消除掉了,接著就可以直接用公式得出答案:2/3ln|x-2|-1/3ln|x+1|+c

8樓:我不是他舅

a/(x-2)+b/(x+1)

=[a(x+1)+b(x-2)]/(x-2)(x+1)則a(x+1)+b(x-2)=x

所以a+b=1

a-2b=0

解出來即可

請問這個∫x*(1+x2)dx用湊微分法解題的過程,我自己用直接公式法算出的答案和用湊微分法不一樣

9樓:匿名使用者

【二者只差一個常數,這是允許的。因為c是任意常數。】

求不定積分2x1x2x3dx

2x 1 x 2 x 3 dx d x 2 x 3 x 2 x 3 ln x 2 x 3 c ln x 2 x 3 c 求不定積分 2x 1 x 2 x 3 dx 需要過程 2x 1 x 2 x 3 dx d x 2 x 3 x 2 x 3 ln x 2 x 3 c ln x 2 x 3 c 求 x...

不定積分x1x2dx,求詳細過程

令t 2 x,則2tdt dx 原式 t 1 t 4 2tdt 2t 2 1 t 4 dt 然後對t 4 1進行因式分解,t 4 1 t 2 2t 1 t 2 2t 1 然後進行多項式分解 求不定積分 x 1 x x 2 dx x 2 x 1 x 1 2 2 3 4 letx 1 2 3 2 tan...

求xln 1 x 2 dx的積分

xln 1 x zhi2 dx 1 2 ln 1 x dao2 dx 2 1 2 ln 1 x 2 d 1 x 2 1 2 1 x 2 ln 1 x 2 1 2 1 x 2 dln 1 x 2 1 2 1 x 2 ln 1 x 2 1 2 1 x 2 1 1 x 2 d 1 x 2 1 2 1 x ...