1樓：匿名使用者
對稱矩陣 aij = aji
或 a^t = a
因為矩陣的正定的定義**於二次型的正定
所以這裡的矩陣應該是對稱矩陣.
線性代數範圍一般只考慮實二次型, 所以矩陣是實對稱矩陣
2樓：小飛花兒的憂傷
不需要a是對稱陣。具體證明我也不會。。。
對稱陣是r = r的轉置也就是aij = aji
設a為n階實對稱矩陣，證明：秩（a）=n的充分必要條件為存在乙個n階實矩陣b，使ab+bta是正定矩陣
3樓：猴戳滔
|「必要性」bai（?）
利用反證法
du進行證明．
反設：zhir（a）＜n，則|daoa|=0．於是λ=0是a的特專徵值，
假設相應的特徵向量為x，即
屬：ax=0（x≠0），
所以：xtat=0．
從而：xt（ab+bta）x=xtabx+xtbtax=0，與ab+bta是正定矩陣矛盾，故假設不成立．所以，秩（a）=n．
「充分性」（?）
因為 r（a）=n，
所以a的特徵值λ1，λ2，…，λn全不為0．取矩陣b=a，則：ab+bta=aa+aa=2a2，它的特徵值為：2λ
，2λ，…，2λ
n全部為正，
所以ab+bta是正定矩陣．
4樓：左陽曜麻夜
首先知bai道乙個定理：
a正定du
<=>存在可逆矩陣c，使
zhi得a=c*c的轉置dao
接下來證明你的題：
版因為a正定
所以存在可逆矩陣c，使權得a=c*c的轉置設c的逆的轉置=d
則d可逆，且
a的逆=d*d的轉置
（對上式兩邊取逆就得到了）
所以a的逆也是正定的
而a*a的伴隨=|a|*e
所以a的伴隨=|a|*a的逆
其中|a|是a的行列式，是乙個正數
即為乙個正數乘以乙個正定陣，所以是正定的
設a為m階實對稱矩陣且正定，b為m×n實矩陣，bt為b的轉置矩陣，試證btab為正定矩陣的充分必要條件是b的秩r
5樓：冠軍國安
必要性（?）
bai設btab為正定矩陣du
，則對於任意的實zhin維列向量x≠dao0，都有：xtbtabx＞0，
即（版bx）ta（bx）＞0．
所以：bx≠0．
因此，bx=0只有零解，故有r（b）=n．充分性（?）
如果r（b）=n，
則線性方程組bx=0只有零解，
從而對於任意的實n維列向量x≠0，都
權有：bx≠0．
又因為a為正定矩陣，故有：（bx）ta（bx）＞0，即：xtbtabx＞0．
所以btab為正定矩陣．
6樓：匿名使用者
btab正定
<==>xtbtabx=(bx)ta(bx)>0<==>bx!=0
<==>bx=0僅有零解
<==>r(b)=n
q.e.d.
數值分析如果a是正定對稱矩陣,則a逆是正定對稱矩陣
7樓：匿名使用者
你好！可以根據矩陣正定的基本性質如圖證明。經濟數學團隊幫你解答，請及時採納。謝謝！
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