1樓：匿名使用者
你有個理解上的錯誤
ο(ρ) 是指比ρ 高階的無窮小，而不是乙個恆定的表示式。因為微分的表示式只有在極限狀態下才有意義。
而任何比 ρ 高階 的無窮小，在最後算極限後都會變成0.所以 無所謂相等與否
無窮小之間沒有相等這個概念，只有相對的高階、低階或者等階。在歐氏有限維多元自變數，一維實數值的 這種極其簡單的情況下，函式的微分具有一定程度的不變性。可以放心地把你這個式子裡的比 ρ=根號下(δx^2+δy^2) 高階的無窮小都寫成 ο(ρ)
就你這個問題 ，你其實應該問的是 δx^2+δxδy是否是ο(ρ)，而不是ο(ρ)是否等於δx^2+δxδy。
這個很簡單，用高階無窮小的定義你看看 （δx^2+δxδy）/ ρ 在ρ趨向0的時候極限是不是0.這顯然是0嘛。
aδx+bδy+ο(ρ) 是怎麼化出來的? 這個問題問的非常好。因為這直接涉及微分的最本質思想
事實上。是反過來的。是微分想要用 比較簡單的線性函式在一點的區域性去逼近一類函式，所以表示式當然就是 dy = t(dx)+ o(dx) 這裡t是乙個線性函式。
在dx為n維列向量，dy為m維列向量的時候，線性代數的知識可以知道t必然能用乙個mxn矩陣表示，你這裡，dy是1維,dx是2維，所以
t其實應該是乙個 1x2的矩陣，我們設為(a,b)， 自變數的增量列向量是 (δx ,δy)的轉直。這個線性變換其實就是 aδx+bδy
所以 微分就是希望找到這樣乙個a，b可以在給定的這個點的區域性上用 線性函式 aδx+bδy 逼近 原來那個函式 的增量 δz。逼近的效果要求二者相差必須是 ρ的高階無窮小。
但是並不是所有的函式都能被這麼逼近，所以我們才這麼定義，並且把可以這麼逼近的函式稱為可微的函式。然後為了計算a和b，才有導數的概念。
第三個問題也問的很好，為什麼用 ρ=根號下(δx^2+δy^2) 【如果所有學生都像你這麼問，能學到很多東西的】
其實你用其他的可以保證忽略y能跟δx同階，忽略x能跟δy同階（其實這還只是兩個方向，事實上還要求所有的方向導數也能保持同階才行），並且在向量(δx,δy)在平常的歐氏空間的意義下逼近0必須跟這個東西逼近0等價，也是可以的。效果是一樣的。
其實 ρ=根號下(δx^2+δy^2) 取的是 2維向量(δx,δy)的乙個範數（你可以理解為模長）。而且這還是歐氏的範數。
其實你是可以取任何乙個跟這個最標準的範數等價（範數等價你可以去了解相關資料或者留作乙個將來想要了解的概念記錄在你的本子上）的範數。
比如1-範數 |δx|+|δy|也是跟2-範數 根號下(δx^2+δy^2) 等價的。
你用 ρ= |δx|+|δy| 其實你會發現跟 根號下(δx^2+δy^2) 在微分的情況下效果是完全一樣的。
2樓：福隆先生
在這裡不是相等，而是極限的一種處理方式
|δx^2+δxδy|\ρ 趨近於0aδx+bδy+ο(ρ)
ρ=根號下(δx^2+δy^2）是乙個基本的定義我們在學習數學的時候，第乙個要理解它的基本定義，其次發現一些定理最後是應用
多元函式方程組 求偏微分和全微分的問題 10
怎麼給人講清楚多元函式全微分與偏導數的關係
3樓：pasirris白沙
1、偏導數，partial differentiation，一般是指沿著 x 方向、或 y 方向、
或 z 方向的導數；導數在美語中，喜歡用 derivative。
2、無論是沿著 x、y、z 哪個方向的導數，計算導數的方法，跟一元函式
求導數的方法，完全一樣；對 x 方向求導時，將 y、z 當成常數對待；
3、進一步推廣到任意方向，在任意方向上的導數，稱為方向導數，directional
differentiation，或 directional derivative；
4、方向導數的概念，其實也是偏導數的概念，但是寫成全導數的形式；
5、方向導數寫成全導數 total differentiation 的形式，原因是方向導數的
計算一般是由 x、y、z 三個方向的偏導數的分量 ***ponent 相加而成；
6、全導數，就是全微分，在英文中沒有絲毫區別，導數跟微分的區別是中國
微積分概念，不是國際通用微積分的概念；
7、全微分的意思是 ： 函式的的無窮小增量 du，**於三個方向上的無窮小
相加而成，即 du = (∂u/∂x)dx + (∂u/∂y)dy + (∂u/∂z)dz。
歡迎追問，歡迎討論，中英文不限。
最好是用英文討論，因為用英文討論，不會產生中文中的歧義，看英文**
不會出現概念的誤解，中文微積分的一些概念在英文中是不存在的，會產生
誤會而難以準確理解國際微積分的真實含義。
4樓：幸運的
dz=fx(x,y)δx+fy(x,y)δy，dz是全微分，fx、fy是對x、y的偏導數。
如果函式z=f(x, y) 在(x, y)處的全增量
δz=f(x+δx,y+δy)-f(x,y)
可以表示為
δz=aδx+bδy+o(ρ)，
其中a、b不依賴於δx, δy，僅與x,y有關，ρ趨近於0(ρ=√[(δx)2+(δy)2])，此時稱函式z=f(x, y)在點（x，y）處可微分，aδx+bδy稱為函式z=f(x, y)在點(x, y)處的全微分，記為dz即
dz=aδx +bδy
該表示式稱為函式z=f(x, y) 在(x, y)處(關於δx, δy)的全微分。
在數學中，乙個多變數的函式的偏導數，就是它關於其中乙個變數的導數而保持其他變數恆定（相對於全導數，在其中所有變數都允許變化）。偏導數在向量分析和微分幾何中是很有用的。
在一元函式中，我們已經知道導數就是函式的變化率。對於二元函式我們同樣要研究它的「變化率」。然而，由於自變數多了乙個，情況就要複雜的多。
在xoy平面內，當動點由p(x0,y0)沿不同方向變化時，函式f(x,y)的變化快慢一般說來是不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)點處沿不同方向的變化率。
在這裡我們只學習函式f(x,y)沿著平行於x軸和平行於y軸兩個特殊方位變動時，f(x,y)的變化率。
偏導數的運算元符號為:∂。
偏導數反映的是函式沿座標軸正方向的變化率。
表示固定面上一點的切線斜率。
偏導數f'x(x0,y0)表示固定面上一點對x軸的切線斜率；偏導數f'y(x0,y0)表示固定面上一點對y軸的切線斜率。
高階偏導數：如果二元函式z=f(x,y)的偏導數f'x(x,y)與f'y(x,y)仍然可導，那麼這兩個偏導函式的偏導數稱為z=f(x,y)的二階偏導數。
二元函式的二階偏導數有四個：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy.
注意：f"xy與f"yx的區別在於：前者是先對x求偏導，然後將所得的偏導函式再對y求偏導；後者是先對y求偏導再對x求偏導.
當f"xy與f"yx都連續時，求導的結果與先後次序無關。
5樓：向真丶
1.偏導數不存在
,全微分就不存在
2.全微分若存在,偏導數必須存在
3.有偏導數存在,全微分不一定存在
微分是函式改變量的線性主要部分，導數是微積分中的重要基礎概念。當函式y=f(x)的自變數x在一點x0上產生乙個增量δx時，函式輸出值的增量δy與自變數增量δx的比值在δx趨於0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數。
6樓：匿名使用者
偏導數存在是全微分的必要而非充分條件
多元函式的隱函式全微分有幾種求法
全微分公式 df f u du f v dv 除了制其中 的變數名 f u v可以任意取,其他都不變的 可以寫成 dz z x dx z y dy 也可以寫成 dp p s ds p t dt 還可以寫成 d d d 這些公式都是同乙個意思不同寫法 具體計算時u v還可以是任何表示式呢 你所說的不一...
已知全微分求原函式,全微分方程如何求原函式
第一組表示式 1,0 到 x,0 縱座標y沒有改變且為0,可得到y 0,dy 0 第二組表達 式 內x,0 到 x,y 橫座標不變且為容x,縱座標從0到y,可得x x,dx 0 然後代入即可得第一組表示式有y和dy的項都是0第二組表示式有dx的項都是0,即可得到結果 全微分方程如何求原函式 20 這...
高數多元微分偏導數,高等數學多元函式微分學求偏導
這個就是二元函式的乙個性質,如果函式f偏導數存在且可偏導的話,那麼有 高等數學多元函式微分學求偏導 20 以 表示下標du。第 1 行 式子 zhi,得dao a 版 1 b 1 z d 2 z 0則 z a 1 d 2 b 1 第 2 行 式子,得 b 1 z c 2 d 2 z 0則 z c 2...