1樓:
前部分是關於z為奇函式,由對稱性積分為零,後半部分是球的體積三倍
求**中的三重積分 要大致過程 謝謝
2樓:匿名使用者
積分區域是半球形,積分函式也是球形,一般的思路就是積分函式換元,用球面座標系去做。(重積分無外乎就那幾種方法,1常見的重積分化成累次積分,直接求解;2柱面座標求解,3球面座標求解,4根據重積分的物理意義,用物理的視角來化簡和求解)。這道題建議你用重積分的物理含義來做。
如果從物理角度來看的話,容易知道這個三重積分表示的就是半徑為6的半球體的質量(剛才沒注意積分函式最後乙個區域是0---6,因為如果是0-6,這就是乙個半球體,如果是-6 ----+6,這就是乙個完整球體)。也就是說,我們怎樣去求解乙個球體的質量?而密度函式就是被積函式,很顯然,當質點處在乙個球面上時,密度是相同的,也就是說,如果我們用球殼去分割球體,球殼的厚度為dr,dr---0,這樣就可以用微元法來求解了。
球體分割成無數個球殼,對球殼的質量進行一元積分,就得到球體的質量,也就是待求的三重積分的值。
球殼的質量dm=4πr*r/r *dr/2=2πrdr
然後對dm進行積分,積分區間就是r的變化範圍【0,6】。所以答案就是πr*r|(0,6)=36π
至於用球面座標,其實就是換元法,如樓下朋友所示,x,y,z分別用r,a,b來進行替代(a,b表示的是r同z軸以及r在xoy平面的投影r'與x軸的夾角),同時表達出體積元dv就可以了。樓下朋友之所以做錯了,就在於dxdydz這一體積元在進行代換後,不等價於drdadb,而應該等價於r*rsinadrdadb,之後再化簡成三次積分才行。並且,如果按照標準理解,這個是處於x正半軸的半球體,所以**中的積分上下限也不對,如果要這樣書寫,必須要先說明一下,然後等價轉換之後才可以。
因為他**中的半球是z軸正半軸的那個半球體,所以必須要說明兩者是一致的,然後才能如此積分。
最後,用球面座標的時候還得注意,由於是半球體,比如說就是z軸正半軸的那部分,那麼a(r和z軸的那個夾角),是關於z軸對稱的,所以他的積分區間是兩個【0,π/2】,而不能簡單地認為是【0,π】,也正因為如此,那麼b(投影同x軸的夾角)也不能簡單地認為還是【0,2π】了,而變成了【0,π】或【-π,0】,兩者二選一,因為半球又被分割成了兩部分
所以這些都要注意,為了避免這些變換,你可以用對稱的思想,直接把半球體分割成相等的四部分,每部分的積分值都一樣。這樣我們在書寫積分區域的時候就少了很多麻煩
3樓:匿名使用者
解:積分域是x2+y2+z2=36的上半個球,用球座標:
原式=【0,6】∫rdr【0,2π】∫dθ【0,π/2】∫sinφdφ=(62/2)×2π×(-cosφ)【0,π/2】
=18×2π×1=36π
4樓:匿名使用者
^o^11111################
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