1樓：非_一劍
8.23式後面就在解釋這個問題，說的很清楚了。看書就行，沒必要問。
另外，沒看出來萬能在哪。
為什麼方向導數最大值就是這點所在的梯度？
2樓：匿名使用者
概念錯誤，方向導數是乙個數，梯度是乙個向量，方向導數的最大值不會是梯度。
正確的說法是 方向導數，當其方向與梯度方向一致時達到最大值，這一點由方向導數的計算公式就可以得到，書上寫得清清楚楚的。
方向導數的最大值為什麼是梯度的模
3樓：demon陌
根據公式∂f/∂l=(∂f/∂x,∂f/∂y)(cosα，sinα)=|gradf(x,y)|cosθ，方向導數是梯度在不同方向上的投影。這樣就很好的說明了梯度和方向導數的關係而且為什麼方向導數的最大值是梯度的模。
若曲線c 光滑時，在點m處函式u可微，函式u在點m處沿c方向的方向導數就等於函式u在點m處沿c的切線方向（c正向一側）的方向導數。
在一元函式中，導數就是函式的變化率。對於二元函式研究它的「變化率」，由於自變數多了乙個，情況就要複雜的多。
在 xoy 平面內，當動點由 p(x0,y0) 沿不同方向變化時，函式 f(x,y) 的變化快慢一般來說是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 點處沿不同方向的變化率。
4樓：匿名使用者
很簡單，這個問題
是乙個表達方式的問題。當遇到這個問題時看似方向導數沿著梯度的方向的導數與梯度的模無關，實則是對方向導數與梯度的關係理解不夠深刻。
首先，方向導數是沿著某一方向的導數，是梯度與這一方向的單位方向向量的點積，那麼，問題就轉化到點積的表達上面了。在這裡，可能會問怎麼方向導數是梯度與單位方向向量的點積，這個問題是乙個物理的做功問題，物理上力沿著某一特定方向自動，在除這一方向以外的方向上，做功的速率是多少？這個也最不就是求方向導數嗎。
現在問題轉化到點積的表達，點積的表達有幾何解釋和代數解釋。幾何解發布現余弦函式，為兩個向量的模乘以它們的角度的余弦值；代數解釋是向量的座標對應相乘再相加。
現在再回到方向導數與梯度的關係上面，梯度乘以特定方向的單位方向向量為沿著這一特定方向的方向導數，當這兩個向量的夾角為0度時，也就是梯度沿著梯度的方向的方向導數，此時的單位方向向量是找不到的，但是它的模是可以確定的，至此，在此種情況下，會選擇用點積的幾何解釋來進行表達：即兩個向量的模乘以向量夾角的余弦值。而沿著梯度方向的方向導數，夾角為0，單位方向向量模長為1，自然沿著梯度方向的方向導數就是梯度的模，也是最大的方向導數。
除此之外，當特定方向的單位方向向量與梯度的夾角可以確認，而且兩個向量的座標也可以確認，一般來說會選擇用點積的代數解釋來進行表達，即：兩個向量的座標，對應相乘再相加。這樣避免了求向量的夾角，但非要用角度來進行表達也是可以的，就是角度的求取會增加計算的步驟。
5樓：許華斌
第七節 方向導數與梯度
教學目的：掌握方向導數的定義和求法；掌握梯度的定義、求法及其與等高線的關係.
教學重點：方向導數與梯度的求法.
教學難點：方向角的確定.
教學內容：
一、方向導數現在我們來討論函式在一點沿某一方向的變化率問題.
定義 設函式在點
的某一鄰域內有定義.自點引射線.設軸正向到射線的轉角為（逆時針方向：
0；順時針方向：
0），並設＇(+△,+△)為上的另一點且＇∈.我們考慮函式的增量(+△,+△)－
與、＇兩點間的距離的比值.當＇沿著趨於時，如果這個比的極限存在，則稱這極限為函式
在點沿方向的方向導數，記作，即
(1)從定義可知，當函式
在點的偏導數
x、y存在時，函式在點沿著軸正向
=，軸正向=的方向導數存在且其值依次為
x、y，函式
在點沿軸負向=，軸負向=的方向導數也存在且其值依次為-
x、-y.
關於方向導數的存在及計算，我們有下面的定理.
定理 如果函式在點
是可微分的，那末函式在該點沿任一方向的方向導數都存在，且有
(2)其中為軸到方向的轉角.
證 根據函式在點
可微分的假定，函式的增量可以表達為
兩邊各除以，得到
所以這就證明了方向導數存在且其值為
例8-26 求函式=
在點處沿從點
到點方向的方向導數.
解 這裡方向即向量=的方向，因此軸到方向的轉角，
因為在點，,.故所求方向導數
例8-27 設由原點到點的向徑為，軸到的轉角為，軸到射線的轉角為，求，其中=
.解 因為
.所以由例8-26可知，當時，,即沿著向徑本身方向的方向導數為1;而當時，, 即沿著與向徑垂直方向的方向導數為零.
對於三元函式=來說，它在空間一點
沿著方向(設方向的方向角為的方向導數，同樣可以定義為
(3)其中，△=
,△=,△=
.同樣可以證明，如果函式在所考慮的點處可微分，那末函式在該點沿著方向的方向導數為
二、 梯度1.梯度的定義
與方向導數有關聯的乙個概念是函式的梯度.
定義 設函式在平面區域內具有一階連續偏導數，則對於每一點
，都可定出乙個向量
這向量稱為函式=在點
的梯度，記作
，即=如果設是與方向同方向的單位向量，則由方向導數的計算公式可知
這裡，(
＾，e)表示向量
與的夾角.由此可以看出，就是梯度在射線上的投影，當方向與梯度的方向一致時，有
(＾，) 1，
從而有最大值.所以沿梯度方向的方向導數達到最大值，也就是說,梯度的方向是函式
在這點增長最快的方向.因此，我們可以得到如下結論:
函式在某點的梯度是這樣乙個向量，它的方向與取得最大方向導數的方向一致，而它的模為方向導數的最大值.
由梯度的定義可知，梯度的模為
當不為零時，那末軸到梯度的轉角的正切為
我們知道，一般說來二元函式在幾何上表示乙個曲面，這曲面被平面z=c(c是常數)所截得的曲線的方程為
這條曲線在面上的投影是一條平面曲線（圖8―10），它在平面直角座標系中的方程為
對於曲線上的一切點，已給函式的函式值都是，所以我們稱平面曲線為函式的等高線.
由於等高線上任一點處的法線的斜率為
,所以梯度
為等高線上點處的法向量，因此我們可得到梯度與等高線的下述關係：函式在點
的梯度的方向與過點的等高線在這點的法線的乙個方向相同，且從數值較低的等高線指向數值較高的等高線（圖8―10），而梯度的模等於函式在這個法線方向的方向導數.這個法線方向就是方向導數取得最大值的方向.
例8-28
求解 這裡
因為所以3.數量場與向量場
如果對於空間區域內的任一點，都有乙個確定的數量，則稱在這空間區域內確定了乙個數量場（例如溫度場、密度場）等.乙個數量場可用乙個數量函式來確定.如果與點相對應的是乙個向量，則稱在這空間區域內確定了乙個向量場（例如力場，速度場等）.
乙個向量場可用乙個向量函式來確定，而
,其中是點的數量函式.
利用場的概念，我們可以說向量函式
確定了乙個向量場——梯度場，它是由數量場產生的.通常稱函式為這個向量場的勢.而這個向量場又稱為勢場.必須注意，任意乙個向量場不一定是勢場，因為它不一定是某個數量函式的梯度場.
小結：本節主要研究函式在一點沿某一方向的變化率問題，給出方向導數的定義及其相關的梯度的定義，推導出方向導數和梯度的求法，並通過梯度的意義介紹了等高線、等量面、數量場與向量場等概念.
作業：1．求函式在點（1，2）處沿從點（1，2）到點（2，2＋）的方向的方向導數．
2．求函式在拋物線上點（1，2）處，沿著這拋物線在該點處偏向x軸正向的切線方向的方向導數．
3．求函式在點處沿曲線在這點的內法線方向的方向導數．
6樓：洪水衝不破眼堤
你仔細看看書裡的解析，因為他們求得時候其實應該有個cosa.當cosa等於1 的時候就是最大值也剛好是梯度的摸，如果是-1.就是最小值
為什麼方向導數取最大值的方向是梯度？大神解答
7樓：護具骸骨
根據公式∂f/∂l=(∂f/∂x,∂f/∂y)(cosα，sinα)=|gradf(x,y)|cosθ，方向導數是梯度在不同方向上的投影。這樣就很好的說明了梯度和方向導數的關係而且為什麼方向導數的最大值是梯度的模。
若曲線c 光滑時，在點m處函式u可微，函式u在點m處沿c方向的方向導數就等於函式u在點m處沿c的切線方向（c正向一側）的方向導數。
在一元函式中，導數就是函式的變化率。對於二元函式研究它的「變化率」，由於自變數多了乙個，情況就要複雜的多。
在 xoy 平面內，當動點由 p(x0,y0) 沿不同方向變化時，函式 f(x,y) 的變化快慢一般來說是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 點處沿不同方向的變化率。
表示固定面上一點的切線斜率。
偏導數 f'x(x0,y0) 表示固定面上一點對 x 軸的切線斜率；偏導數 f'y(x0,y0) 表示固定面上一點對 y 軸的切線斜率。
高階偏導數：如果二元函式 z=f(x,y) 的偏導數 f'x(x,y) 與 f'y(x,y) 仍然可導，那麼這兩個偏導函式的偏導數稱為 z=f(x,y) 的二階偏導數。二元函式的二階偏導數有四個：
f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。
注意：f"xy與f"yx的區別在於：前者是先對 x 求偏導，然後將所得的偏導函式再對 y 求偏導；後者是先對 y 求偏導再對 x 求偏導。
當 f"xy 與 f"yx 都連續時，求導的結果與先後次序無關。
8樓：
函式f(x1，x2，，xn)在點x0沿方向u=(u1，u2，，un)的方向導數為
af/ax1*u1+af/ax2*u2++af/axn*un=，其中df(x0)就是f在x0的梯度向量，<>表示內積。
由cauchy_schwartz不等式知道當且僅當u和df(x0)同方向時，內積最大，
反方向時內積最小;
因此u=df(x0)/||df(x0)||時，方向導數最大;
u=-df(x0)/||df(x0)||時，方向導數最小。
某一點方向導數取最大時的方向一定是這一點的梯度方向嗎？書上那個關於梯度和方向導數的關係是充要的嗎
9樓：匿名使用者
1、方向導數是函式沿各個方向的導數,梯度是乙個向量,因此梯度本身是有方向的
2、它們的關係主要有兩個：
（1）函式在梯度這個方向的方向導數是最大的,換句話說,乙個函式在各個方向都有方向導數,其中梯度這個方向的導數為最大；
（2）函式方向導數的最大值為梯度的模.
函式f(x1，x2，...，xn)在點x0沿方向u=(u1，u2，...，un)的方向導數為
af/ax1*u1+af/ax2*u2+...+af/axn*un=，
其中df(x0)就是f在x0的梯度向量，<>表示內積。
由cauchy_schwartz不等式知道當且僅當u和df(x0)同方向時，內積最大，
反方向時內積最小;
因此u=df(x0)/||df(x0)||時，方向導數最大;
u=-df(x0)/||df(x0)||時，方向導數最小。
（3）梯度和方向導數的關係是充要的
什麼是梯度數學中的梯度是什麼意思
親愛的樓主 設體系中某處的物理引數 如溫度 速度 濃度等 為w，在與其垂直距離的dy處該引數為w dw，則稱為該物理引數的梯度，也即該物理引數的變化率。如果引數為速度 濃度 溫度或空間，則分別稱為速度梯度 濃度梯度溫度梯度或空間梯度。在向量微積分中，標量場的梯度是乙個向量場。標量場中某一點上的梯度指...
關於濃度梯度，什麼的濃度梯度？
水是從外面低濃度流到裡面高濃度，這是沒錯的。這裡的濃度是指溶質而不是內指水。水是順濃度梯容度的被動運輸，是指由於內外兩側液體中分子對水的吸引力，濃度高的地方對水的吸引裡強，故水是被高濃度的地方從低濃度的地方吸引了過來。或者說 內面水的含量比例比外面水的含量比例少，故水從高含量水的地方流向了低含量水的...
高考志願填報中的志願梯度是什麼意思
注意兩點 一 由於平行志願投檔錄取模式是採取一次性投出，一輪投檔後不可能補投。考回生被投檔後，答如果成績相對較低 專業不服從調劑 不符合特殊專業的體檢要求 不符合某些專業的單科成績要求等，高校就可能將檔案退回。而一旦出現退檔，考生只有參加徵求志願填報或下一批次錄取。二 填報志願掌握一定梯度，志願梯度...