1樓：匿名使用者
所謂三角形的"四心",是指三角形的四種重要線段相交而成的四類特殊點.它們分別是三角形的內心,外心,垂心與重心.
1.垂心
三角形三條邊上的高相交於一點,這一點叫做三角形的垂心.
2.重心
三角形三條邊上的中線交於一點,這一點叫做三角形的重心.
3. 三角形三邊的中垂線交於一點，這一點為三角形外接圓的圓心，稱外心
4. 三角形三內角平分線交於一點，這一點為三角形內切圓的圓心，稱內心，
重心 三邊上中線的交點
垂心 三條高的交點
內心 內接圓圓心 三個角角平分線交點
外心 外接圓圓心 三條邊的垂直平分線交點
還有乙個心叫傍心:外角平分線的交點(有3個),(或傍切圓的圓心) 只有正三角形才有中心,這時重心,內心.外心,垂心,四心合一.
2樓：匿名使用者
一、三角形重心定理
二、三角形外心定理
三、三角形垂心定理
四、三角形內心定理
五、三角形旁心定理
有關三角形五心的詩歌
三角形五心定理
三角形的重心，外心，垂心，內心和旁心稱之為三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內心定理，旁心定理的總稱。
一、三角形重心定理
三角形的三條邊的中線交於一點。該點叫做三角形的重心。三中線交於一點可用燕尾定理證明，十分簡單。
（重心原是乙個物理概念，對於等厚度的質量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點，重心因而得名） 重心的性質： 1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2︰1。 2、重心和三角形任意兩個頂點組成的3個三角形面積相等。
即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。 3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。 4、在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均數，即其重心座標為（(x1+x2+x3)/3，（y1+y2+y3)/3。
二、三角形外心定理
三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。 外心的性質： 1、三角形的三條邊的垂直平分線交於一點，該點即為該三角形外心。
2、若o是△abc的外心，則∠boc=2∠a（∠a為銳角或直角）或∠boc=360°-2∠a（∠a為鈍角）。 3、當三角形為銳角三角形時，外心在三角形內部；當三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部；當三角形為直角三角形時，外心在斜邊上，與斜邊的中點重合。 4、計算外心的座標應先計算下列臨時變數：
d1，d2，d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心座標：
( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 5、外心到三頂點的距離相等
三、三角形垂心定理
三角形的三條高（所在直線）交於一點，該點叫做三角形的垂心。 垂心的性質： 1、三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓。
2、三角形外心o、重心g和垂心h三點共線，且og︰gh=1︰2。（此直線稱為三角形的尤拉線（euler line）） 3、垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍。 4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。
定理證明 已知：δabc中，ad、be是兩條高，ad、be交於點o，連線co並延長交ab於點f ，求證：cf⊥ab 證明：
連線de ∵∠adb=∠aeb=90度 ∴a、b、d、e四點共圓 ∴∠ade=∠abe ∵∠eao=∠dac ∠aeo=∠adc ∴δaeo∽δadc ∴ae/ao=ad/ac ∴δead∽δoac ∴∠acf=∠ade=∠abe 又∵∠abe+∠bac=90度 ∴∠acf+∠bac=90度 ∴cf⊥ab 因此，垂心定理成立！
四、三角形內心定理
三角形內切圓的圓心，叫做三角形的內心。 內心的性質： 1、三角形的三條內角平分線交於一點。
該點即為三角形的內心。 2、直角三角形的內心到邊的距離等於兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。 3、p為δabc所在平面上任意一點，點0是δabc內心的充要條件是：
向量p0=(a×向量pa+b×向量pb+c×向量pc)/(a+b+c). 4、o為三角形的內心，a、b、c分別為三角形的三個頂點，延長ao交bc邊於n，則有ao:on=ab:
bn=ac:**=(ab+ac):bc 5、點o是平面abc上任意一點，點i是△abc內心的充要條件是：
a(向量oa)+b(向量ob)+c(向量oc)=向量0． 6、、(尤拉定理)⊿abc中，r和r分別為外接圓為和內切圓的半徑，o和i分別為其外心和內心，則oi^2=r^2-2rr． 7、（內角平分線分三邊長度關係） △abc中，0為內心，∠a 、∠b、 ∠c的內角平分線分別交bc、ac、ab於q、p、r， 則bq/qc=c/b, cp/pa=a/c, br/ra=a/b.
五、三角形旁心定理
三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心，叫做三角形的旁心。 旁心的性質： 1、三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於一點，該點即為三角形的旁心。
2、每個三角形都有三個旁心。 3、旁心到三邊的距離相等。 如圖，點m就是△abc的乙個旁心。
三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交點。乙個三角形有三個旁心，而且一定在三角形外。 附：
三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時重心，內心，外心，垂心，四心合一。
有關三角形五心的詩歌
三角形五心歌（重外垂內旁） 三角形有五顆心，重外垂內和旁心， 五心性質很重要，認真掌握莫記混． 重 心 三條中線定相交，交點位置真奇巧， 交點命名為「重心」，重心性質要明了， 重心分割中線段，數段之比聽分曉； 長短之比二比一，靈活運用掌握好． 外 心 三角形有六元素，三個內角有三邊． 作三邊的中垂線，三線相交共一點． 此點定義為外心，用它可作外接圓． 內心外心莫記混，內切外接是關鍵． 垂 心 三角形上作三高，三高必於垂心交． 高線分割三角形，出現直角三對整， 直角三角形有十二，構成六對相似形， 四點共圓圖中有，細心分析可找清. 內 心 三角對應三頂點，角角都有平分線， 三線相交定共點，叫做「內心」有根源； 點至三邊均等距，可作三角形內切圓， 此圓圓心稱「內心」，如此定義理當然． 五心性質別記混，做起題來真是好
3樓：金豬阿翠
1.垂心
三角形三條邊上的高相交於一點
,這一點叫做三角形的垂心.
2.重心
三角形三條邊上的中線交於一點,這一點叫做三角形的重心.
3. 三角形三邊的中垂線交於一點，這一點為三角形外接圓的圓心，稱外心4. 三角形三內角平分線交於一點，這一點為三角形內切圓的圓心，稱內心，
重心 三邊上中線的交點
垂心 三條高的交點
內心 內接圓圓心 三個角角平分線交點
外心 外接圓圓心 三條邊的垂直平分線交點
還有乙個心叫傍心:外角平分線的交點(有3個),(或傍切圓的圓心) 只有正三角形才有中心,這時重心,內心.外心,垂心,四心合一.
4樓：匿名使用者
1.重心(三條中線的交點):到一頂點的距離等於到對邊中點距離的2倍2.
垂心(三條高的交點):ah*hd=bh*he=ch*hf3.內心(三角平分線的交點):
到三邊的距離相等4.外心(三邊中垂線的交點):到三個頂點的距離相等
5樓：匿名使用者
垂心;3條高在三角形內相交與一點叫垂心
重心;三角形3條邊的中線到乙個3個角相交於一點叫重心內心;3個角平分線相交於一點叫內心
外心;外接圓圓心,3條邊的垂直平分線交點
三角形的中心，重心，垂心，內心，外心。五心的定義和性質是什麼？
6樓：匿名使用者
重心，是三邊上的中
線的交點
垂心，是三邊上的高線的交點
內心，是三個內角的平分線的交點
外心，是三邊的垂直平分線的交點
三角形的五心
三角形的三條中線交於一點，這點到頂點的距離是它到對邊距離的2倍，上述交點叫做三角形的重心，上述定理為重心定理。
外心定理 三角形的三邊的垂直平分線交於一點，這點叫做三角形的外心。
垂心定理 三角形的三條高交於一點，這點叫做三角形的垂心。
內心定理 三角形的三內角平分線交於一點，這點叫做三角形的內心。
旁心定理 三角形的一內角平分線與另外兩頂點處的外角平分線交於一點，這點叫做三角形的旁心。三角形有三個旁心。
可以根據這些「心」的定義，得到很多重要的性質：
（1）重心和三頂點的連線所構成的三個三角形面積相等；
（2）外心掃三頂點的距離相等；
（3）垂心與三頂點這四點中，任一點是其餘三點構成的三角形的垂心；
（4）內心、旁心到三邊距離相等；
（5）垂心是三垂足構成的三角形的內心，或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心；
（6）外心是中點三角形的垂心；
（7）中心也是中點三角形的重心；
（8）三角形的中點三角形的外心也是其垂足三角形的外心。
對於三角形「五心」的理解，希望你先理解書本上的定義和定理，然後在練習的過程中訓練根據定義找特點的思維習慣，自己多總結，逐漸提高解決複雜幾何題的能力
7樓：匿名使用者
如果你知道了三角形的重心，垂心，內心，外心，那麼對以等邊三角形，這四心是合一的，也叫中心，中心具有所有四心的性質。
需要補充的是三角形還有乙個旁心，通常把三角形的重心，外心，垂心，內心和旁心稱之為三角形的五心。
一、三角形重心定理
三角形的三條邊的中線交於一點。該點叫做三角形的重心。
三中線交於一點可用燕尾定理證明，十分簡單。
（重心原是乙個物理概念，對於等厚度的質量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點，重心因而得名）
重心的性質：
1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2︰1。
2、重心和三角形任意兩個頂點組成的3個三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。
3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。
4、在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均數，
即其重心座標為（(x1+x2+x3)/3，（y1+y2+y3)/3。
三、三角形垂心定理
三角形的三條高（所在直線）交於一點，該點叫做三角形的垂心。
垂心的性質：
1、三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓。
2、三角形外心o、重心g和垂心h三點共線，且og︰gh=1︰2。
（此直線稱為三角形的尤拉線（euler line））
3、垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍。
4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。
定理證明
已知：δabc中，ad、be是兩條高，ad、be交於點o，連線co並延長交ab於點f ，求證：cf⊥ab
證明：連線de ∵∠adb=∠aeb=90度 ∴a、b、d、e四點共圓 ∴∠ade=∠abe
∵∠eao=∠dac ∠aeo=∠adc ∴δaeo∽δadc
∴ae/ao=ad/ac ∴δead∽δoac ∴∠acf=∠ade=∠abe
又∵∠abe+∠bac=90度 ∴∠acf+∠bac=90度 ∴cf⊥ab
因此，垂心定理成立！
四、三角形內心定理
三角形內切圓的圓心，叫做三角形的內心。
內心的性質：
1、三角形的三條內角平分線交於一點。該點即為三角形的內心。
2、直角三角形的內心到邊的距離等於兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。
3、p為δabc所在平面上任意一點，點0是δabc內心的充要條件是：
向量p0=(a×向量pa+b×向量pb+c×向量pc)/(a+b+c).
4、o為三角形的內心，a、b、c分別為三角形的三個頂點，延長ao交bc邊於n，則有
ao:on=ab:bn=ac:**=(ab+ac):bc
5、點o是平面abc上任意一點，點i是△abc內心的充要條件是：
a(向量oa)+b(向量ob)+c(向量oc)=向量0．
6、、(尤拉定理)⊿abc中，r和r分別為外接圓為和內切圓的半徑，o和i分別為其外心和內心，則oi^2=r^2-2rr．
7、（內角平分線分三邊長度關係）
△abc中，0為內心，∠a 、∠b、 ∠c的內角平分線分別交bc、ac、ab於q、p、r，
則bq/qc=c/b, cp/pa=a/c, br/ra=a/b.
二、三角形外心定理
三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。
外心的性質：
1、三角形的三條邊的垂直平分線交於一點，該點即為該三角形外心。
2、若o是△abc的外心，則∠boc=2∠a（∠a為銳角或直角）或∠boc=360°-2∠a（∠a為鈍角）。
3、當三角形為銳角三角形時，外心在三角形內部；
當三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部；
當三角形為直角三角形時，外心在斜邊上，與斜邊的中點重合。
4、計算外心的座標應先計算下列臨時變數：d1，d2，d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心座標：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三頂點的距離相等
五、三角形旁心定理
三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心，叫做三角形的旁心。
旁心的性質：
1、三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於一點，該點即為三角形的旁心。
2、每個三角形都有三個旁心。
3、旁心到三邊的距離相等。
三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交點。
乙個三角形有三個旁心，而且一定在三角形外。
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時重心，內心，外心，垂心，四心合一。 有關三角形五心的詩歌: 三角形五心歌（重外垂內旁）
三角形有五顆心，重外垂內和旁心，
五心性質很重要，認真掌握莫記混． 重 心
三條中線定相交，交點位置真奇巧，
交點命名為「重心」，重心性質要明了，
重心分割中線段，數段之比聽分曉；
長短之比二比一，靈活運用掌握好．
外 心三角形有六元素，三個內角有三邊．
作三邊的中垂線，三線相交共一點．
此點定義為外心，用它可作外接圓．
內心外心莫記混，內切外接是關鍵．
垂 心三角形上作三高，三高必於垂心交．
高線分割三角形，出現直角三對整，
直角三角形有十二，構成六對相似形，
四點共圓圖中有，細心分析可找清.
內 心三角對應三頂點，角角都有平分線，
三線相交定共點，叫做「內心」有根源；
點至三邊均等距，可作三角形內切圓，
此圓圓心稱「內心」，如此定義理當然．
五心性質別記混，做起題來真是好
三角形重心的性質，三角形的重心是什麼，求畫圖，有什麼性質
1 重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。2 重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。3 在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均，即其座標為 x1 x2 x3 3，y1 y2 y3 3 空間直角座標系橫座標 x1 x2 x3 3縱座標 y1 y2 y3 3豎座標 z1 z2 z3 ...
三角形內心特點
我來回答 說幾個知道的 外心o 重心g 垂心h 共線 og gh 1 2 內心i oi r 2 2rr r為外接圓半徑 r內切圓半徑九點圓p 三角形三邊中點 垂足 垂心與頂點聯絡的中點共圓，圓心p和 ogh共線 op ph o g p h構成調和點列 即 og pg oh ph 九點圓與內切圓和三個...
哪是三角形的中心
有中心的三角形只有正三角形。其中心便是重心 垂心 內心 外心。我怎麼總覺得 中心 是對於中心對稱圖形說的 重心 三角形三條中線的交點 性質 分三條中線比為2 1 內心 三角形三條角平分線的交點 性質 到三邊距離相等 垂心 三角形三條高的交點 性質 好像是沒有吧 外心 三角形三邊中垂線的交點 性質 到...