1樓：瀛洲煙雨
如何理解矩陣，特徵值和特徵向量？
答：線性空間中，當你選定一組基之後，不僅可以用乙個向量來描述空間中的任何乙個物件，而且可以用矩陣來描述該空間中的任何乙個運動（變換），從而得出矩陣是線性空間裡的變換的描述。而使某個物件發生對應運動（變換）的方法，就是用代表那個運動（變換）的矩陣，乘以代表那個物件的向量。
轉換為數學語言： 是矩陣， 是向量， 相當於將 作線性變換從而得到 ，從而使得矩陣 （由n個向量組成）在物件或者說向量 上的變換就由簡單的實數 來刻畫，由此稱 為矩陣a的特徵值，而 稱為 對應的特徵向量。
總結來說，特徵值和特徵向量的出現實際上將複雜的矩陣由實數和低維的向量來形象的描述（代表），實現了降維的目的。在幾何空間上還可以這樣理解：矩陣a是向量的集合，而 則是向量的方向， 可以理解為矩陣a在 方向上作投影，而矩陣又是線性空間變換的描述，所以變換後方向保持不變，僅是各個方向投影後有個縮放比例 。
2樓：小老爹
1.定義：若矩陣a乘上某個非零向量α等於乙個實數λ乘上該向量，即aα=λα，則稱λ為該矩陣的特徵值，α為屬於特徵值λ的乙個特徵向量。
2.求矩陣a的特徵值及特徵向量的步驟：
（1）寫出行列式|λe-a|；
（2）|λe-a|求＝0的全部根，它們就是a的全部特徵值，其中e為單位矩陣；
（3）對於矩陣a的每乙個特徵值λ，求出齊次線性方程組(λe-a)x=0的乙個基礎解系，則可以得到屬於特徵值λ的特徵向量。
3.特徵值的作用和意義體現在用矩陣進行列向量的高次變換也就是矩陣的高次方乘以列向量的計算中。數學中的很多變換可以用矩陣的乘法來表示，在這樣的變換中，乙個列向量（點）α變成另乙個列向量（點）β的過程可以看成是乙個矩陣a乘以α得到β，即aα=β，如果把同樣的變換連續的重複的做n次則需要用矩陣高次方來計算：
a^n·α，如果沒有特徵值和特徵向量，此處就要計算矩陣a的n次方，這個運算量隨著n的增加，變得越來越大，很不方便。而利用特徵值和特徵向量，可以達到簡化計算的目的：設a特徵值分別為λ1,λ2,------λk，對應的特徵向量分別為α1,α2,------αk，且α可以分解為α=x1·α1+x2·α2+---+xk·αk，
則a^n·α=a^n·（x1·α1+x2·α2+---+xk·αk）
=a^n·x1·α1+a^n·x2·α2+---+a^n·xk·αk
=x1a^n·α1+x2a^n·α2+---+xka^n·αk
=x1(λ1)^n·α1+x2(λ2)^n·α2+---+xk(λk)^n·αk.
這樣就將矩陣的n次方的運算變成了特徵值的n次方的運算。
3樓：不是苦瓜是什麼
設 a 是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得 ax=mx 成立，則稱 m 是矩陣a的乙個特徵值或本徵值。
式ax=λx也可寫成( a-λe)x=0。這是n個未知數n個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是係數行列式| a-λe|=0。
矩陣特徵值
性質1：若λ是可逆陣a的乙個特徵根，x為對應的特徵向量，則1/λ 是a的逆的乙個特徵根，x仍為對應的特徵向量。
性質2：若 λ是方陣a的乙個特徵根，x為對應的特徵向量，則λ 的m次方是a的m次方的乙個特徵根，x仍為對應的特徵向量。
性質3：設λ1，λ2，…,λm是方陣a的互不相同的特徵值。xj是屬於λi的特徵向量( i=1,2,…,m)，則x1,x2,…,xm線性無關，即不相同特徵值的特徵向量線性無關。
4樓：匿名使用者
定義 設a是n階方陣，如果數λ和n維非零列向量x使關係式ax=λx (1)
成立，那麼這樣的數λ稱為矩陣a特徵值，非零向量x稱為a的對應於特徵值λ的特徵向量．（1）式也可寫成，
( a-λe)x=0 (2)
這是n個未知數n個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是係數行列式
| a-λe|=0 , (3)
矩陣的行列式的特徵值是怎麼理解？
5樓：匿名使用者
1.定義：若矩陣a乘上某個非零向量α等於乙個實數λ乘上該向量，即aα=λα，
則稱λ為該矩陣的特徵值，α為屬於特徵值λ的乙個特徵向量。
2.求矩陣a的特徵值及特徵向量的步驟：
（1）寫出行列式|λe-a|；
（2）|λe-a|求＝0的全部根，它們就是a的全部特徵值，其中e為單位矩陣；
（3）對於矩陣a的每乙個特徵值λ，求出齊次線性方程組(λe-a)x=0的乙個基礎解系，則可以得到屬於特徵值λ的特徵向量。
3.特徵值的作用和意義體現在用矩陣進行列向量的高次變換也就是矩陣的高次方乘以列向量的計算中。數學中的很多變換可以用矩陣的乘法來表示，在這樣的變換中，乙個列向量（點）α變成另乙個列向量（點）β的過程可以看成是乙個矩陣a乘以α得到β，即aα=β，如果把同樣的變換連續的重複的做n次則需要用矩陣高次方來計算：
a^n·α，如果沒有特徵值和特徵向量，此處就要計算矩陣a的n次方，這個運算量隨著n的增加，變得越來越大，很不方便。而利用特徵值和特徵向量，可以達到簡化計算的目的：設a特徵值分別為λ1,λ2,------λk，對應的特徵向量分別為α1,α2,------αk，且α可以分解為α=x1·α1+x2·α2+---+xk·αk，
則a^n·α=a^n·（x1·α1+x2·α2+---+xk·αk）
=a^n·x1·α1+a^n·x2·α2+---+a^n·xk·αk
=x1a^n·α1+x2a^n·α2+---+xka^n·αk
=x1(λ1)^n·α1+x2(λ2)^n·α2+---+xk(λk)^n·αk.
這樣就將矩陣的n次方的運算變成了特徵值的n次方的運算。
6樓：匿名使用者
特徵值s0幾重，就是值方程det(a-se)=0中(s-s0)的次數
例如det(a-se)=(s-0)^2 (s-1)^3 就是說特徵值0是2重，1是3重
什麼叫矩陣的特徵值
7樓：匿名使用者
假設 a 是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得 ax=mx 成立，則稱 m 是矩陣a的乙個特徵值。
非零n維列向量x稱為矩陣a的屬於（對應於）特徵值m的特徵向量，簡稱a的特徵向量
參考內容：
http: //baike.baidu.***/item/矩陣特徵值/8309765?fr=aladdin
8樓：哆姐
非零n維列向量x稱為矩陣a的屬於（對應於）特徵值m的特徵向量或本徵向量，簡稱a的特徵向量或a的本徵向量。 求矩陣特徵值的方法 ax=mx，等價於求m，使得(me-a)x=0，其中e是單位矩陣，0為零矩陣。 |me-a|=0，求得的m值即為a的特徵值。
|me-a| 是乙個n次多項式，它的全部根就是n階方陣a的全部特徵值，這些根有可能相重複，也有可能是複數。
9樓：魔障
一矩陣a作用於一向量a，結果只相當於該向量乘以一常數λ。即a*a=λa，則a為該矩陣a的特徵向量，λ為該矩陣a的特徵值。]
10樓：影
就是矩陣的跡，即對角線元素之和]
11樓：巧逸美祁白
（1）正確，因為按照定義，x與y的協方差等於y與x的協方差。
（2）不正確。例如矩陣11
1-1的特徵值乙個是（根號2），另乙個是（-根號2）。
12樓：訾秀珍苗胭
可以先看2階的情況。這時矩陣都是平面上的幾何變換，於是「x是特徵向量」就等價於說，a所對應的幾何變換在向量x的方向上是拉伸（如果特徵值是負的，那麼「拉伸」理解為向相反的方向作的變換）。具體例子：
a=[0,2;2,0]
它有特徵值2，相應的特徵向量有[a,a]。那麼a對應的變換是將點的兩個座標互換，而容易發現，[a,a]→[2a,2a]，即，在這個方向上的點都被拉伸了2倍。
一般n階也是一樣，就是刻畫矩陣作為n維空間中幾何變換的性質。比如說n階對角陣，其作用就是在各個座標軸方向的（不同同比例）拉伸變換。所以對角化的過程也就是找出n維空間中的一組標架，使得矩陣a在這組標架給出的座標下的變換，就是沿各座標軸拉伸。
矩陣a的特徵值和矩陣(a—e）的特徵值是什麼關係
13樓：粉束髮繩
假設a對應的特徵向量為x，則ax=ax。
因為 (a-e）x=ax-ex=ax-x=（a-1）x；
所以 a-1 是 a-e 的特徵值。
14樓：動感超人
其他兩個特徵值為0.因為r（a）=1故deta=0，故0為特徵值。因為r（a）=1故(a-0e)x=0的解空間是2維的。
故0對應的有兩個線性無關特徵向量特徵值的重數不小於其對應特徵向量構成的空間（即(a-λe)x=0的解空間）的維數。故0至少是兩重的。有因為a是三階的，其最多三個特徵值（重根按重數算）又因為矩陣a的乙個特徵值為2故0恰為2重特徵值。
15樓：雙芯
特徵值減1 ax=ei*x 兩邊減ex得 (a-e)x=(ei-1）x。
一般矩陣的特徵值怎麼求? 10
16樓：會飛的小兔子
在求bai矩陣的
特徵方程之du前，需要先了解一下zhi矩陣的特徵值。假
dao設有乙個回a，它是乙個n階方陣，如果有存在答著這樣乙個數λ，數λ和乙個n維非零的向量x，使的關係式ax=λx成立,那麼則稱數λ為這個方陣的特徵值，這個非零向量x就稱為他的特徵向量。
矩陣的特徵方程的表示式為|λe-a|=0。是乙個簡單的2*2的矩陣，按照**的例子可以求得矩陣方程和特徵值，λ已知後，帶入特徵方程中即可。
擴充套件資料
判斷矩陣可對角化的充要條件
矩陣可對角化有兩個充要條件：1、矩陣有n個不同的特徵向量；2、特徵向量重根的重數等於基礎解系的個數。對於第二個充要條件，則需要出現二重以上的重特徵值可驗證（一重相當於沒有重根）。
若矩陣a可對角化，則其對角矩陣λ的主對角線元素全部為a的特徵值，其餘元素全部為0。（乙個矩陣的對角陣不唯一，其特徵值可以換序，但都存在由對應特徵向量順序組成的可逆矩陣p使=λ）。
17樓：匿名使用者
假定其特徵值為λ, 針對矩陣a, 則
|λe-a|=0. 通過矩陣的初等變換，
最終解得λ，即求得特徵值。
對於對角線直接是特徵值的情況。
必須矩陣本來形式為上三角陣或者下三角陣。
矩陣的秩與特徵值有什麼關係
18樓：景田不是百歲山
1、方陣a不滿秩等價於a有零特徵值。
2、a的秩不小於a的非零特徵值的個數。
線性變換秩是多少，就一定找到有多少個線性無關的特徵向量。因為乙個特徵向量只能屬於乙個特徵值，所以有多少個線性無關的特徵向量，就有多少個特徵值（不管特徵值是不是一樣）。這裡有n個1，都是一樣的（從特徵多項式也知道有n個重根）。
因為非退化的線性替換不改變空間的維數，不改變矩陣的秩。
求證矩陣所有特徵值的乘積等於矩陣的行列式
這不是乙個定理麼 還有乙個是矩陣所有特徵值的之和等於矩陣的trace 用特徵值是 lambda a 0的解,維達定理得到的 所有特徵值的乘積等於矩陣的行列式嗎 是的,所有特徵值之積,等於矩陣行列式 而所有特徵值之和,等於矩陣的跡 為什麼矩陣的行列式等於他所有特徵值的乘積 可以把特徵多項式det xi...
線性代數證明 矩陣A的伴隨矩陣的行列式的值等於A的行列式的值
解答 去我空間裡相簿看看,還是有些有用的東東的.滿意請採納 a a 丨a丨e 丨a a 丨 丨a丨丨a 丨 丨a丨 n 丨a 丨 丨a丨 n 1 解答 去我空間裡相簿看看,還是有些有用的東東的.滿意請採納 線性代數證明伴隨矩陣的行列式值等於原矩陣行列式值的n 1次方 因為a x a a x e 所以...
這個行列式怎麼求,矩陣的行列式怎麼求
最後一列乘 a1加到第1列上,最後一列乘 a2加到第2列上,最後一列乘 an加到第n列上,就化成了上三角行列式,答案是 b a1 b a2 b an 矩陣的行列式怎麼求?只有當矩陣為方陣時,才能求行列式,具體求法如下 只有當矩陣為方陣時,才能求行列式 行列式的計算方法很多 定義法化三角形法 按行或列...