1樓:匿名使用者
^f(x, n) = x^(n-1) * ln(x)f'(x, n) = x^(n-1) * (1/x) + (n-1) * x^(n-2) * ln(x)
= x^(n-2) + (n-1) * x^(n-2) * ln(x)
= x^(n-2) + (n-1) * f(x, n-1)對n做數
**學歸納法。
n = 1時,有
f(x, 1) = ln(x),
f'(x, 1) = 1/x = 0! / x。
成立。設(n-1)時成立,即
f[n-1階導](x, n-1) = (n-2)! / x。
則有f[n階導](x, n)
= ( (x^(n-1) * ln(x))' )[再求n-1階導數]= ( x^(n-2) + (n-1) * f(x, n-1) )[求n-1階導數]
= 0 + (n-1) * f[n-1階導](x, n-1)= (n-1) * (n-2)! / x證畢。
考研,數學,求高階導數的各種方法!! 100
2樓:北京燕園思達教育
一般來講,首先看它是不是常見的那幾個函式(指數函式,三角函式)什麼的,如果是,直接套公式;
其次:如果不是,則看能不能寫成上面幾個函式的和式或者乘積表示式,如果是和式,直接用求導法則,如果是乘積,用萊布尼茲法則寫出通項後求和即可
再次:觀察可不可以對函式求出幾階導數之後變成上面的兩種情況;
最後,實在不行,看看能不能用數學歸納法求解。
上面的方法沒有前後順序,呵呵,關鍵看你的數學感覺。
1、一般來說,當然就是一次一次地求導,要幾次導數給幾次;
2、上面的方法比較沉悶,而且容易出錯,通常根據被求導的函式,求幾次導數後,
根據結果,找到規律,然後用歸納法,證明結果正確;
3、在解答麥克勞林級數、泰勒級數時,經常要求高階導數,找規律是非常需要技巧的,
很多情況下,遞推公式(redunction)是很難找到。
實在找不到時,只能寫乙個抽象的表示式。
步驟:第一步:確定函式的定義域.如本題函式的定義域為r.
第二步:求f(x)的導數f′(x).
第三步:求方程f′(x)=0的根.
第四步:利用f′(x)=0的根和不可導點的x的值從小到大順次將定義域分成若干個小開區間,並列出**.
第五步:由f′(x)在小開區間內的正、負值判斷f(x)在小開區間內的單調性.
第六步:明確規範地表述結論.
第七步:反思回顧.檢視關鍵點、易錯點及解題規範.
這個公式是說,對y(x)=u(x)v(x)求n階導數時候,可以表示為u(x)的n-i階導數乘v(x)的i階導數的積的疊加,其係數是c(i,n)。
那個c是組合符號,
c(i,n)=n!/(i!(n-i)!)
萊布尼茲公式好比二項式定理,它是用來求f(x)*g(x)的高階導數的。的形式我就不多說了。
一般來說,f(x)和g(x)中有乙個是多項式,因為n次多項式求n+1次導數就變成0了,可以給計算帶來方便。
就本題:
y的100階導數=(x的0階導數*shx的100階導數)+100(x的1階導數*shx的99階導數)+99*100/2(x的2階導數*shx的98階導數)+......
如前所說,x的2階以上導數都是0,所以上式只有前兩項,
所以:y的100階導數=xshx+100chx
1.把常用初等函式的導數公式記清楚;
2.求導時要小心謹慎,尤其是關於復合函式的導數。
*************************==姜永哲11、、請勿*******
這裡將列舉六類基本初等函式的導數以及它們的推導過程(初等函式可由之運算來):
1.常函式(即常數)y=c(c為常數) y'=0 【y=0 y'=0:導數為本身的函式之一】
2.冪函式y=x^n,y'=n*x^(n-1)(n∈r) 【1/x的導數為-1/(x^2)】
基本導數公式
3.指數函式y=a^x,y'=a^x * lna 【y=e^x y'=e^x:導數為本身的函式之二】
4.對數函式y=logax,y'=1/(xlna) (a>0且a≠1,x>0);【y=lnx,y'=1/x】
5.三角函式
(1)正弦函式y=(sinx )y'=cosx
(2)余弦函式y=(cosx) y'=-sinx
(3)正切函式y=(tanx) y'=1/(cosx)^2
(4)餘切函式y=(cotx) y'=-1/(sinx)^2
6.反三角函式
(1)反正弦函式y=(arcsinx) y'=1/√1-x^2
(2)反余弦函式y=(arccosx) y'=-1/√1-x^2
(3)反正切函式y=(arctanx) y'=1/(1+x^2)
(4)反餘切函式y=(arccotx) y'=-1/(1+x^2)
冪函式同理可證
導數說白了它其實就是曲線一點切線的斜率,函式值的變化率
上面說的分母趨於零,這是當然的了,但不要忘了分子也是可能趨於零的,所以兩者的比就有可能是某乙個數,如果分子趨於某乙個數,而不是零的話,那麼比值會很大,可以認為是無窮大,也就是我們所說的導數不存在。
x/x,若這裡讓x趨於零的話,分母是趨於零了,但它們的比值是1,所以極限為1.
建議先去搞懂什麼是極限。極限是乙個可望不可及的概念,可以很接近它,但永遠到不了那個岸。
導數是微積分的乙個重要的支柱。牛頓及萊布尼茨對此做出了卓越的貢獻。
******************************姜永哲11-------
最後講一下你那個題:
====很簡單,把原式看做(ax+b)和1/(cx+d)相乘的n階導數,然後用萊布尼茨公式就行了。注意(ax+b)二階以上的導數全部是0,而1/(cx+d)的n階導數很好求。
結果應該是:(ax+b)×[(-c)^n×n!/(cx+d)^(n+1)]+n×a×[(-c)^(n-1)×(n-1)!/(cx+d)^n]
剛才失誤了。。。忘了階乘。。。
答案是正確的,你把我的解答同分一下化簡就會發現跟答案一樣。你自己做的應該是不對的。可以取n=2,3的特殊情況看一下。
3樓:匿名使用者
1、在考研數學中,導數是乙個很重要的基本概念,考研大綱除了要求理解導數的概念外,還要求能熟練地計算函式的導數。
2、常見的導數計算問題包括:復合函式的求導,反函式的求導,以引數方程形式表示的函式的求導,函式的高階導數的計算,一階和二階偏導數的計算。其中關於高階導數的計算,有些同學由於沒有掌握正確的計算方法,導致解題時無從下手。
上面就是考研數學中關於函式的高階導數的幾種基本計算方法的分析,供考生們參考借鑑。
4樓:匿名使用者
求高階導數的方法主要有以下兩種情況:
單個函式
的高階導數,可以用公式求導,這與函式的型別有關係,例如一次函式,二次函式,冪函式,指數函式,三角函式等等。其中(a,b∈r,a≠0,n>2):
y=ax+b,y(n)=0。
y=ax^2+bx+c,y(n)=0。
y=sinx,y(n)=sin(x+nπ/2)。
y=e^x,y(n)=e^x。
y=a^x,y(n)=a^x*(lna)^n兩個u,v函式及多個函式乘積的導數,則一般用公式y(n)=σ(0,n)c(n,r)(n)*v(n-r).
求函式的高階導數
5樓:
y'=(x+1)e^x
y"=(x+1+1)e^x=(x+2)e^xy"'=(x+2+1)e^x=(x+3)e^x....
y^n=(x+n)e^x
y^(n+1)=(x+n+1)e^x...
求助,泰勒公式求高階導數,求助,泰勒公式求高階導數
這個一般是 bai被求導函式是復合函du數的時zhi候吧?把外層函式dao寫成taylor的形式,然後把內內層函式代入,容 得到的就是復合函式的taylor,然後給根據相應項的係數就可以求出高階導數值了。如果有具體的問題的話應該可以說得更明白些。關於用泰勒公式求高階導數,比如圖中劃線處是怎麼得到的,...
萊布尼茨公式求高階導數,高等數學高階導數萊布尼茲公式
在復x 0的時候 只有對x2求導兩次時,整個式制子的導數才不等於0即對2 x求導n 2次 首先c n,2 2 n n 1 而這裡的 2 x n 2 n 2為上標指的是對2 x求導n 2次 顯然2 x導數為ln2 2 x 那麼n 2階導數就是 ln2 n 2 2 x於是再乘以c n,2 2即n n 1...
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形式上和二項式定理一樣 uv n k 0 n c n,k u n k v k n階導數的萊布尼茨公式怎麼理解 uv 的n階導數公式嗎?不知你說的理解是指什麼意思?如果是推導的話,沒什麼不好理解的,就是乘法求導公式反覆用就行了,書上寫得很清楚了.如果你覺得不好記的話,這個公式完全與二項式類似的,如果你...