1樓：廬陽高中夏育傳
2a1=a1+(1/a1)
a1=1/a1
a1=1
n=2時，
2(1+a2)=a2+(1/a2)
2+2a2=a2+(1/a2)
2+a2=1/a2
(a2)^2+2a2-1=0
a2=[-2+2√2]/2=√2-1
n=3時，s2=√2
2(√2+a3)=a3+(1/a3)
(a3)^2+2√2a3-1=0
a3=[-2√2+2√3]/2=√3-√2a2=√2-√1
a1=√1-√0
猜想：an=√n-√(n-1)
2樓：匿名使用者
a1=1，a2=√2-1，a3=√3-√2
猜想an=√n-√(n-1)，n≥1
證明：當n=1時，由s1=a1=1/2*(a1+1/a1)及a1>0解得a1=1，故a1=√1-√(1-1)，等號成立。
假設當n=k（k≥1）時，有ak=√k-√(k-1)成立，易得sk=a1+a2+……+ak=√k；
則當n=k+1時，有
s(k+1)=sk+a(k+1)=1/2*[a(k+1)+1/a(k+1)]=√k+a(k+1)
化簡得2√k+a(k+1)=1/a(k+1)
利用一元二次方程求根公式解得
a(k+1)=-√k±√(k+1)
考慮到a(k+1)>0，故有
a(k+1)=√(k+1)-√k
也即當n=k時，也有a(k+1)=√(k+1)-√(k+1-1)成立。
綜上知，對所有的n屬於n+，都有an=√n-√(n-1)成立。
命題得證。
3樓：迷路明燈
不做1怎麼做2由1猜想？只要回答2你至少得先把a1，a2，a3解出來再求助啊
數學大神請進！數學歸納法問題！ 第一數學歸納法和第二數學歸納法有什麼區別？請大神詳細說明！比如適用
4樓：匿名使用者
第一歸納法是第二歸納法的特殊形式。凡事能用第一歸納法的，都可以使用第二歸納法。但是第二歸納法可以證明的，第一歸納法並不一定能證明
5樓：earth神的傳說
數學歸納法是一種重要的論證方法，本文從最小數原理出發，對它的第二種形式即第二數學歸納法進行粗略的**數學歸納法是一種重要的論證方法。它們通常所說的「數學歸納法」大多是指它的第一種形式而言，本文想從最小數原理出發，對它的第二種形式即第二數學歸納法進行粗略的**，旨在加深對數學歸納法的認識。】
第二數學歸納法原理是設有乙個與正整數n有關的命題，如果：
（1）當n=1時，命題成立；
（2）假設當n≤k（k∈n）時，命題成立，由此可推得當n=k+1時，命題也成立。
那麼根據①②可得，命題對於一切正整數n來說都成立。
用反證法證明。
假設命題不是對一切自然數都成立。命n表示使命題不成立的自然數所成的集合，顯然n非空，於是，由最小數原理n中必有最小數m，那麼m≠1，否則將與（1）矛盾。所以m－1是乙個自然數。
但m是n中的最小數，所以m－1能使命題成立。這就是說，命題對於一切≤m－1自然數都成立，根據（2）可知，m也能使命題成立，這與m是使命題不成立的自然數集n中的最小數矛盾。因此定理獲證。
當然，定理2中的（1），也可以換成n等於某一整數k。
對於證明過程的第乙個步驟即n=1（或某個整數a）的情形無需多說，只需要用n=1（或某個整數a）直接驗證一下，即可斷定欲證之命題的真偽。所以關鍵在於第二個步驟，即由n≤k到n=k+1的驗證過程。事實上，我們不難從例1的第二個步驟的論證過程中發現，證明等式在n=k+1時成立是利用了假設條件；等式在n=k及n=k－1時均需成立。
同樣地，例2也不例外，只是形式的把n=k及n=k－1分別代換成了n=k－1和n=k－2。然而例3就不同了，第二個步驟的論證過程，是把論證命題在n=k+1時的成立問題轉化為驗證命題在n=k－2+1時的成立問題。換言之，使命題在n=k+1成立的必要條件是命題在n=k－2+1時成立，根據1的取值範圍，而命題在n=k－k+1互時成立的實質是命題對一切≤k的自然數n來說都成立。
這個條件不是別的，正是第二個步驟中的歸納假設。以上分析表明，假如論證命在n=k+1時的真偽時，必須以n取不大於k的兩個或兩個以上乃至全部的自然數時命題的真偽為其論證的依據，則一般選用第二數學歸納法進行論證。之所以這樣，其根本原則在於第二數學歸納法的歸納假設的要求較之第一數學歸納法更強，不僅要求命題在n=k時成立，而且還要求命題對於一切小於k的自然數來說都成立，反過來，能用第一數學歸納法來論證的數學命題，一定也能用第二數學歸納進行證明，這一點是不難理解的。
不過一般說來，沒有任何必要這樣做。
第二數學歸納法和第一數學歸納法一樣，也是數學歸納法的一種表達形式，而且可以證明第二數學歸納法和第一數學歸納法是等價的，之所以採用不同的表達形式，旨在更便於我們應用。
6樓：藍色の憂傷
其實我也想問這個問題，不過第二數學歸納法的條件更強，而且能用第一一定可以用第二。
第二數學歸納法的問題
7樓：匿名使用者
簡單說下 要證n=1成立不必說了 說說區別第一數學歸納法
由 n=k 成立 推出 n=k+1 成立 從而所有都成立第二數學歸納法
（因為僅僅由n=k成立不足以推出n=k+1成立，所以才有此方法） 例如這個數列1 1 2 3 5 8 13 21…… 通項可以用第二數學歸納法來求
即由 n<=k 成立 推出 n<=k+1成立
8樓：匿名使用者
數學歸納法
我是這樣理解的
n＝1時候成立
然後假設n＝k時候也成立
最後只要證明n＝k+1時候也成立即可
至於假設n≤k成立
那麼就是要證明n≤k-1成立
你應該明白逆命題和逆否命題
如果原命題成立那麼
他的逆否命題也成立
反之亦然
9樓：俞意璩博瀚
第一數學歸納法可以概括為以下三步：
(1)歸納奠基：證明n=1時命題成立；
(2)歸納假設：假設n=k時命題成立；
(3)歸納遞推：由歸納假設推出n=k+1時命題也成立．第二數學歸納法原理是設有乙個與自然數n有關的命題，如果：
（1）當n＝1時，命題成立；
（2）假設當n≤k時命題成立，由此可推得當n＝k+1時，命題也成立。
那麼，命題對於一切自然數n來說都成立。
數學歸納法一步兩項問題
10樓：海綿寶寶板磚
數學歸納法解題
數學歸納法是高考考查的重點內容之一.模擬與猜想是應用數學歸納法所體現的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應用的一種主要思想方法.
●難點磁場
(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1•22+2•32+…+n(n+1)2= (an2+bn+c).
●案例**
〔例1〕試證明：不論正數a、b、c是等差數列還是等比數列，當n＞1,n∈n*且a、b、c互不相等時，均有：an+cn＞2bn.
命題意圖：本題主要考查數學歸納法證明不等式，屬★★★★級題目.
知識依託：等差數列、等比數列的性質及數學歸納法證明不等式的一般步驟.
錯解分析：應分別證明不等式對等比數列或等差數列均成立，不應只證明一種情況.
技巧與方法：本題中使用到結論：(ak－ck)(a－c)＞0恆成立(a、b、c為正數)，從而ak+1+ck+1＞ak•c+ck•a.
證明：(1)設a、b、c為等比數列，a= ,c=bq(q＞0且q≠1)
∴an+cn= +bnqn=bn( +qn)＞2bn
(2)設a、b、c為等差數列，則2b=a+c猜想 ＞( )n(n≥2且n∈n*)
下面用數學歸納法證明：
①當n=2時，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴
②設n=k時成立，即
則當n=k+1時， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)
＞ (ak+1+ck+1+ak•c+ck•a)= (ak+ck)(a+c)
＞( )k•( )=( )k+1
〔例2〕在數列中，a1=1，當n≥2時，an,sn,sn－ 成等比數列.
(1)求a2,a3,a4，並推出an的表示式；
(2)用數學歸納法證明所得的結論；
(3)求數列所有項的和.
命題意圖：本題考查了數列、數學歸納法、數列極限等基礎知識.
知識依託：等比數列的性質及數學歸納法的一般步驟.採用的方法是歸納、猜想、證明.
錯解分析：(2)中，sk=－ 應捨去，這一點往往容易被忽視.
技巧與方法：求通項可證明是以為首項， 為公差的等差數列，進而求得通項公式.
解：∵an,sn,sn－ 成等比數列，∴sn2=an•(sn－ )(n≥2) (*)
(1)由a1=1,s2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－
由a1=1，a2=－ ,s3= +a3代入(*)式得：a3=－
同理可得：a4=－ ,由此可推出：an=
(2)①當n=1,2,3,4時，由(*)知猜想成立.
②假設n=k(k≥2)時，ak=－ 成立
故sk2=－ •(sk－ )
∴(2k－3)(2k－1)sk2+2sk－1=0
∴sk= (舍)
由sk+12=ak+1•(sk+1－ ),得(sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+sk－ )
由①②知，an= 對一切n∈n成立.
(3)由(2)得數列前n項和sn= ,∴s= sn=0.
●錦囊妙記
(1)數學歸納法的基本形式
設p(n)是關於自然數n的命題，若
1°p(n0)成立(奠基)
2°假設p(k)成立(k≥n0)，可以推出p(k+1)成立(歸納)，則p(n)對一切大於等於n0的自然數n都成立.
(2)數學歸納法的應用
具體常用數學歸納法證明：恒等式，不等式，數的整除性，幾何中計算問題，數列的通項與和等.
●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)•3n+9,存在自然數m,使得對任意n∈n,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為( )
a.30 b.26 c.36 d.6
2.(★★★★)用數學歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈n)第一步應驗證( )
a.n=1 b.n=2 c.n=3 d.n=4
二、填空題
3.(★★★★★)觀察下列式子： …則可歸納出_________.
4.(★★★★)已知a1= ,an+1= ,則a2,a3,a4,a5的值分別為_________，由此猜想an=_________.
三、解答題
5.(★★★★)用數學歸納法證明4 +3n+2能被13整除，其中n∈n*.
6.(★★★★)若n為大於1的自然數，求證： .
7.(★★★★★)已知數列是等差數列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.
(1)求數列的通項公式bn;
(2)設數列的通項an=loga(1+ )(其中a＞0且a≠1)記sn是數列的前n項和，試比較sn與 logabn+1的大小，並證明你的結論.
8.(★★★★★)設實數q滿足|q|＜1,數列滿足：a1=2,a2≠0,an•an+1=－qn,求an表示式，又如果 s2n＜3,求q的取值範圍.
參***
難點磁場
解：假設存在a、b、c使題設的等式成立，這時令n=1,2,3,有
於是，對n=1,2,3下面等式成立
1•22+2•32+…+n(n+1)2=
記sn=1•22+2•32+…+n(n+1)2
設n=k時上式成立，即sk= (3k2+11k+10)
那麼sk+1=sk+(k+1)(k+2)2= (k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2
= (3k2+5k+12k+24)
= 〔3(k+1)2+11(k+1)+10〕
也就是說，等式對n=k+1也成立.
綜上所述，當a=3,b=11,c=10時，題設對一切自然數n均成立.
殲滅難點訓練
一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.
證明：n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時，
f(k)=(2k+7)•3k+9能被36整除，則n=k+1時，
f(k+1)－f(k)=(2k+9)•3k+1
有關數學歸納法，關於數學歸納法n k
一 樓上舉的例子沒有問題。對三部曲我的理解是 1 驗證n取第乙個允許值時，命題成立 2 假設n k時命題成立，證明n k 1時命題成立3 綜上，命題對所有允許的正整數成立。二 數學歸納法是完全歸納法的一種。完全歸納法是若允許的每乙個值都使命題成立，則命題對所有範圍內的值成立。這當然是不證自明的公理。...
什麼是數學歸納法什麼叫數學歸納法？
我和你簡單的講一下吧，如果說乙個關於自然數n的命題，當n 1時成立 這一點我們可以代入檢驗即可 我們就可以假設n k k 1 時命題也成立，為什麼可以做出這步假設呢？因為我們在前面已經證明了n 1時命題成立。在進一步，如果能證明n k 1時命題也成立的話 這一步通常使用第二步的假設證明的 由n 1命...
數學歸納法是什麼，什麼叫數學歸納法？
數學歸納法的過程 bai分du為兩部分 1 先證明n 1時命題zhi成立dao 在實際操作中，把專n 1代進去就行了，就像屬要你證明 當n 1時1 n 2成立 2 假設n k時命題成立，證明n k 1時命題成立 你可以這樣理解 第一部分證明n 1成立。絕大部分命題，n取任意非零自然數都成立，既然這樣...