三角函式的萬能公式的推導過程

2021-08-27 15:57:01 字數 2308 閱讀 4681

1樓:超乖超甜超可愛

公式:

(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

(2)1+(tanα)^2=(secα)^2

(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sinα)^2,第二個除(cosα)^2即可

(4)對於任意非直角三角形,總有

tana+tanb+tanc=tanatanbtanc

三角函式:

三角函式是基本初等函式之一,是以角度(數學上最常用弧度制,下同)為自變數,角度對應任意角終邊與單位圓交點座標或其比值為因變數的函式。

也可以等價地用與單位圓有關的各種線段的長度來定義。

三角函式在研究三角形和圓等幾何形狀的性質時有重要作用,也是研究週期性現象的基礎數學工具。

在數學分析中,三角函式也被定義為無窮級數或特定微分方程的解,允許它們的取值擴充套件到任意實數值,甚至是複數值。

2樓:飛鷹

三角函式萬能公式

(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

(2)1+(tanα)^2=(secα)^2

(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

(4)tana+tanb+tanc=tanatanbtanc(任意非直角三角形)

三角函式萬能公式推導過程

由余弦定理:a^2+b^2-c^2-2abcosc=0

正弦定理:a/sina=b/sinb=c/sinc=2r

得(sina)^2+(sinb)^2-(sinc)^2-2sinasinbcosc=0

轉化1-(cosa)^2+1-(cosb)^2-[1-(cosc)^2]-2sinasinbcosc=0

即(cosa)^2+(cosb)^2-(cosc)^2+2sinasinbcosc-1=0

又cos(c)=-cos(a+b)=sinasinb-cosacosb

得(cosa)^2+(cosb)^2-(cosc)^2+2cosc[cos(c)+cosacosb]-1=0

(cosa)^2+(cosb)^2+(cosc)^2=1-2cosacosbcosc

得證(sina)^2+(sinb)^2+(sinc)^2=2+2cosacosbcosc

同角三角函式的關係公式

倒數關係公式

①tanαcotα=1

②sinαcscα=1

③cosαsecα=1

商數關係公式

tanα=sinα/cosα

cotα=cosα/sinα

平方關係公式

①sin2α+cos2α=1

②1+tan2α=sec2α

③1+cot2α=csc2α

3樓:匿名使用者

設tan(a/2)=t

sina=2t/(1+t^2)

tana=2t/(1-t^2)

cosa=(1-t^2)/(1+t^2)

推導第一個: (其它類似)

sina=2sin(a/2)cos(a/2)

=[2sin(a/2)cos(a/2)]/[sin^2(a/2)+cos^2(a/2)]

分子分母同時除以cos^2(a/2)

=[2sin(a/2)cos(a/2)/cos^2(a/2)]/[(sin^2(a/2)+cos^2(a/2))/cos^2(a/2)]

化簡:=[2sin(a/2)/cos(a/2)]/[sin^2(a/2)/cos^2(a/2)+1]

即: =(2tan(a/2))/(tan^(a/2)+1)

sinα=2sin(α/2)cos(α/2)

=[2sin(α/2)cos(α/2)]/[sin(α/2)^2+cos(α/2)^2]

=[2tan(α/2)]/[1+(tanα/2)^2]

cosα=[cos(α/2)^2-sin(α/2)^2]

=[cos(α/2)^2-sin(α/2)^2]/[sin(a/2)^2+cos(a/2)^2]

=[1-tan(α/2)^2]/[1+(tanα/2)^2]

tanα=tan[2*(α/2)]

=2tan(α/2)/[1-tan(α/2)^2]

=[2tan(a/2)]/[1-(tanα/2)^2]

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