1樓：匿名使用者
1:三角函式,x=cost，y=sint，則x+y=cost+sint=[2^(1/2)]*sin(x+π/4)
那麼絕對號下x+y<=2^(1/2)
2:幾何,x^2+y^2=1是圓心(0,0),半徑1的圓,x+y=a代表斜率-1的直線,
容易看出當直線和圓相切,a=(+ -)2^(1/2),當-2^(1/2)<=a<=2^(1/2),有交點.
3:不等式法:0<=(x+y)^2=x^2+y^2+2xy,
而2xy<=x^2+y^2
所以0<=(x+y)^2=x^2+y^2+2xy<=2(x^2+y^2)=2
所以絕對號下x+y<=2^(1/2)
4:代數法,x=(+ -)(1-y^2)^(1/2)
不妨首先討論x,y都為非負的情況
x=(1-y^2)^(1/2)
x+y=y+(1-y^2)^(1/2)=f(y)
對f求導,f'(y)=1-y/(1-y^2)^(1/2)
y=2^(1/2)/2時候,f'=0.y>2^(1/2)/2,f'<0,f為減函式
0<=y<2^(1/2)/2,f'>0,f為增函式
所以y=2^(1/2),x+y=2^(1/2)最大
考慮到+,-對等性,所以有絕對號下x+y<=2^(1/2)
5.如果一定要用向量法，取複數z=x+yi，
x^2+y^2=1=z*z'=z的模,其中z'為z共扼向量。
最終求x+y最值還得把它轉化為幾何方法，我個人認為所謂向量法解此題不過繞了個彎，可能我水平有限。問問你們老師，如果有不一樣的向量法通知下我，我也學習一下，謝謝
2樓：李大為
（1）首先給出向量解法：
設a(x,y)是x^2+y^2=1上任一點，向量oa=(x,y)，且|oa|=1，又設b(1,1),向量ob=(1.1)，則|ob|=根號2
又由a的任意性，易知向量oa與向量ob=(1.1)的夾角可取[0,π]之間所有值
所以 x+y=向量oa*向量ob=|oa||ob|cosaob=1*根號2*cosaob,
又-1<=cosaob<=1
則-根號2<=x+y<=根號2
（2）幾何法：
設x+y=z，則y=-x+z。斜率是-1。畫出x^2+y^2=1和y=-x+z的影象，令直線與圓相切，得z=正負根號2
則-根號2<=x+y<=根號2
說明：也可列式圓心到直線的距離<=半徑，解出z的範圍，算另一種解法吧
(3)換元：
設x=cost，y=sint，
則x+y=cost+sint=根號2倍的sin(x+π/4)，
則-根號2<=x+y<=根號2
(4)存在性求解：
設x+y=t,則t應使方程組x+y=t ①，x^2+y^2=1 ②有解，
由①得x=t-y，代入②，
得2y^2-2ty+t^2-1=0，則該關於y的二次方程有解，
δ=4t^2-8*(t^2-1)>=0
解得-根號2<=x+y<=根號2
(5)不等式學了嗎，不等式法
因為[(x+y)/2]^2-(x^2+y^2)/2=(-x^2+2xy-y^2)/4=-(x-y)^2/4<=0
所以[(x+y)/2]^2<=(x^2+y^2)/2=1/2
即(x+y)^2<=2
解得-根號2<=x+y<=根號2
3樓：匿名使用者
提供兩種：1.設x+y=z，則y=-x+z。斜率是-1。在平面直角座標系上，畫出x^2+y^2=1和y=-x+z的影象，看何時直線與圓相切，即可找到答案。
2.x=cost，y=sint，則x+y=cost+sint=根號2倍的sin(x+π/4)，同樣出答案。
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