1樓：匿名使用者
找到這個題了, 電子bai版 411 頁.
這樣du不對. 變換zhi必須是合同變換才行dao(故需p為正交矩陣)
p1^-1ap1 = diag(0,4,9)這沒問題版
但是 x = p1y 代入二次型得權到的是f = (p1y)^ta(p1y)
= y^t (p1^tap1) y
≠ y^t (p1^-1ap1) y = 4y2^2+9y3^2就算相等,也是偶然
正交變換法化二次型為標準型，中間求基礎解系和正交化單位化是幹什麼的？不是求出特徵值就得出結果了嗎？
2樓：就一水彩筆摩羯
實對稱矩陣不同特徵值對應的特徵向量必然正交啊，不需要正交化了～
我們內以二次型矩陣a的特徵矩陣為容基礎，利用正交化法進行變換，思路是正交矩陣（aat=e)的轉置等於逆，利用正交矩陣使a對角化(以特徵值為對角線元素的對角矩陣)。
注意：正交矩陣不同列內積均為0，也就是列向量正交，且每列元素平方和均為1，也就是單位化，矩陣列向量正交不代表矩陣就是正交矩陣！
分兩種情況：
二次型矩陣a是實對稱矩陣(必可對角化)，如果其特徵值λ互異，那麼對應特徵向量必正交(對角稱矩陣的性質)，由其構成的矩陣只需單位化(列向量分別除以模)，就可得到正交變換矩陣；
否則，二次型矩陣a相同特徵值對應的特徵向量，取基礎解系構成矩陣，需要施密特正交變換(正交化)，然後單位化(勿忘！)。
變換的結果是特徵值λ為係數的標準型。
線性代數問題，相似矩陣和二次型，問21題中為什麼特徵向量不用單位化，正交化，但是22題中需要！求解
3樓：匿名使用者
22題的特徵向抄量不需要正交化
我想，應該是對同一型別的題目
使用不同的解法
如果題目要求用正交變換將二次型化為標準型
就要將特徵向量正交話
否則的話，如21，22
只是求矩陣a，就沒必要正交話
正交化的好處是不用求變換矩陣的逆矩陣
正交矩陣的逆矩陣＝它的轉置矩陣
計算結果是一樣的
因為，正交化的計算量比較大
特別是幾重特徵值的時候
所以，沒必要的話，就不要正交了
線性代數問題，相似矩陣和二次型，問21題中為什麼特徵向量不用單位化，正交化，但是22題中需要！求解
4樓：匿名使用者
22題的特徵向量不需要正交化
如果題目要求用正交變換將二次型化為標準型
就要將特徵向量正交話
否則的話，如21，22
只是求矩陣a，就沒必要正交話
正交化的好處是不用求變換矩陣的逆矩陣
正交矩陣的逆矩陣＝它的轉置矩陣
計算結果是一樣的
因為，正交化的計算量比較大
特別是幾重特徵值的時候
所以，沒必要的化，不需要正交
5樓：琅琊邢氏
21題沒說是對稱矩陣，但不同特徵值對應的特徵向量必無關，對角化不要求正交變換，求特徵向量構成的矩陣的逆，只能用一般方法。
22題說是對稱矩陣，實對稱矩陣互異特徵值對應的特徵向量正交，單位化後得到正交矩陣，正交矩陣的逆等於其轉置，這時就很方便。
特徵向量什麼時候需要單位化
6樓：demon陌
如果題目只是要求求乙個矩陣的特徵向量，結果是不需要單位化的。
如果題目是要求求乙個可逆陣p，使p^<-1>*a*p成為對角陣，求得的矩陣a的特徵向量也不需要單位化的。
如果a是實對稱矩陣，題目要求求正交矩陣p，使p^t*a*p成為對角陣，則求得的a的特徵向量要先正交化（如果a有重特徵值），再單位化，然後才可以寫出正交陣p。
在二次型化為標準形的題目裡，如果要求求正交變換，則求得的二次型矩陣a的特徵向量要先正交化（如果a有重特徵值），再單位化，然後才可以寫出正交變換的。
特徵向量對應的特徵值是它所乘的那個縮放因子。特徵空間就是由所有有著相同特徵值的特徵向量組成的空間，還包括零向量，但要注意零向量本身不是特徵向量。線性變換的主特徵向量是最大特徵值對應的特徵向量。
7樓：匿名使用者
^1、如果a是實對稱矩陣，要求求正交矩陣p，使p^t*a*p成為對角陣，則求得的a的特徵向量要先正交化（如果a有重特徵值），再單位化，然後才可以寫出正交陣p。
2、在二次型化為標準形的題目裡，如果要求求正交變換，則求得的二次型矩陣a的特徵向量要先正交化（如果a有重特徵值），再單位化，然後才可以寫出正交變換的。
乙個矩陣a的特徵值可以通過求解方程pa(λ) = 0來得到。 若a是乙個n×n矩陣，則pa為n次多項式，因而a最多有n個特徵值。
反過來，代數基本定理說這個方程剛好有n個根，如果重根也計算在內的話。所有奇數次的多項式必有乙個實數根，因此對於奇數n，每個實矩陣至少有乙個實特徵值。在實矩陣的情形，對於偶數或奇數的n，非實數特徵值成共軛對出現。
擴充套件資料
任意給定乙個矩陣a，並不是對所有的x它都能拉長（縮短）。凡是能被a拉長（縮短）的向量稱為a的特徵向量(eigenvector)；拉長（縮短）量就為這個特徵向量對應的特徵值（eigenvalue）。
值得注意的是，我們說的特徵向量是一類向量，因為任意乙個特徵向量隨便乘以乙個標量結果肯定也滿足以上方程，當然這兩個向量都可以看成是同乙個特徵向量，而且它們也都對應同乙個特徵值。
如果特徵值是負數，那說明了矩陣不但把向量拉長（縮短）了，而且讓向量指向了相反的方向。乙個矩陣可能可以拉長（縮短）好幾個向量，所以它可能就有好多個特徵值。如果a是實對稱矩陣，那麼那些不同的特徵值對應的特徵向量肯定是互相正交的。
也就是保證座標系的不同軸不要指向同乙個方向或可以被別的軸組合而成，否則的話原來的空間就「撐」不起來了。在主成分分析(principal component analysis)中我們通過在拉伸最大的方向設定基，忽略一些小的量，可以極大地壓縮資料而減小失真。
變換矩陣的所有特徵向量作為空間的基之所以重要，是因為在這些方向上變換矩陣可以拉伸向量而不必扭曲和旋轉它，使得計算大為簡單。所以特徵值固然重要，終極目標卻是特徵向量。
8樓：匿名使用者
有時候只要特徵向量，而有時必須單位化，
線性代數 二次型化為標準型時候求出來的基礎解系怎麼判斷用不用正交化 還有怎麼看哪幾個基礎解系需要
9樓：琅琊邢氏
實對稱矩陣不同特徵值對應的特徵向量必然正交啊，不需要正交化了～
我們以二次型矩陣a的特徵矩陣為基礎，利用正交化法進行變換，思路是正交矩陣（aat=e)的轉置等於逆，利用正交矩陣使a對角化(以特徵值為對角線元素的對角矩陣)。
注意：正交矩陣不同列內積均為0，也就是列向量正交，且每列元素平方和均為1，也就是單位化，矩陣列向量正交不代表矩陣就是正交矩陣！
分兩種情況：
二次型矩陣a是實對稱矩陣(必可對角化)，如果其特徵值λ互異，那麼對應特徵向量必正交(對角稱矩陣的性質)，由其構成的矩陣只需單位化(列向量分別除以模)，就可得到正交變換矩陣；
否則，二次型矩陣a相同特徵值對應的特徵向量，取基礎解系構成矩陣，需要施密特正交變換(正交化)，然後單位化(勿忘！)。
變換的結果是特徵值λ為係數的標準型。
10樓：匿名使用者
這實際上就是說用正交對角化的方法求標準型
11樓：匿名使用者
兩向量正交，即對應元素相乘後乘積只和為0，則正交。不同特徵值的特徵向量需正交，同一特徵值的不同特徵向量需正交。該題需正交化。
12樓：匿名使用者
實對稱矩陣要正交化，不是實對稱矩陣就不用了
線性代數 由二次型化為標準型,什麼情況需要單位化正交化,什麼時候不用?謝謝!!
13樓：琅琊邢氏
我們以二次型矩陣a的特徵矩陣為基礎，利用正交化法進行變換，思路是正交矩陣（aat=e)的轉置等於逆，利用正交矩陣使a對角化(以特徵值為對角線元素的對角矩陣)。
注意：正交矩陣不同列內積均為0，也就是列向量正交，且每列元素平方和均為1，也就是單位化，矩陣列向量正交不代表矩陣就是正交矩陣！
分兩種情況：
二次型矩陣a是實對稱矩陣(必可對角化)，如果其特徵值λ互異，那麼對應特徵向量必正交(對角稱矩陣的性質)，由其構成的矩陣只需單位化(列向量分別除以模)，就可得到正交變換矩陣；
否則，二次型矩陣a相同特徵值對應的特徵向量，取基礎解系，與其它互異特徵值對應的特徵向量一起構成矩陣，只需對基礎解系施密特正交變換(正交化)，然後對矩陣單位化(勿忘！)。
變換的結果是特徵值λ為係數的標準型。
14樓：逍遙客恨逍遙
看特徵值1）如果求出的特徵值都是單根，則這些特徵值的特徵向量都是彼此正交的（有定理），此時只需分別單位化即可。2）如果求出的特徵值中有重根，則這些特徵值的特徵向量之間不一定正交，此時需進行單位正交化。
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解 二次型的矩陣 a 2 0 0 0 3 2 0 2 3 a e 2 0 0 0 3 2 0 2 3 2 3 2 2 2 1 2 5 所以 a 的特徵值為 1,2,5.a e x 0 的基礎解系內為容 a1 0,1,1 a 2e x 0 的基礎解系為 a2 1,0,0 a 5e x 0 的基礎解系為...
數學軟體題 用正交變換化二次型為標準型，並寫出所做的正交變換
能做複這道題的，應該是制 數學系學習高等代數的。而且已經不是第一學期了。如果是非數學專業，應該是相當好的學校的重要理工科。因此，我只是說思路，如果聽不懂可以追問.首先，根據現行空間分解理論 現行空間可以按照特徵值分解成根子空間的直和 注意，是根子空間，體現幾何維數 因此，任何乙個矩陣可以通過正交變換...