1樓：匿名使用者
高中數學空間向量之--平面法向量的求法及其應用
一、 平面的法向量
1、定義：如果
a，那麼向量
a叫做平面的法向量。平面的法向量共有兩大類（從方向上分），無數條。
2、平面法向量的求法
方法一(內積法):在給定的空間直角座標系中，設平面的法向量(,,1)nxy[或(,1,)nxz
，或(1,,)nyz]，在平面內任找兩個不共線的向量,ab
。由n，得0na且0nb，由此得到關於,xy的方程組，解此方程組即可得到n
。第一種是最常規的做法，列兩個方程，然後取值求解。
第二種是建立空間直角座標系，然後再求需要求法向量的平面的平面方程，然後可以直接看出。
第三種是利用叉乘法，知道平面內相交的兩條邊的空間向量，就可以利用公式直接套。
法向量是空間解析幾何的乙個概念，垂直於平面的直線所表示的向量為該平面的法向量。由於空間內有無數個直線垂直於已知平面，因此乙個平面都存在無數個法向量（包括兩個單位法向量）。
2樓：刀陽粟思嘉
解：求平面的法向量的一般步驟是：
①在平面內任取兩個不共線的向量（基底向量），並用座標表示；
②設這個平面的法向量為（x,y,z）；
③寫出②所設法向量與①的兩個向量垂直的座標表示（三元方程組,兩個方程）；
④給x或y或z任取乙個特殊值,帶入③中的方程組,變成二元方程組；
⑤若對法向量的模a有要求,再解關於λ的方程λ|(x,y,z)|=a.
空間向量中怎麼求法向量
3樓：匿名使用者
解：求平面的法向量的一般步驟是：
①在平面內任取兩個不共線的向量（基底向量），並用座標表示；
②設這個平面的法向量為（x,y,z）；
③寫出②所設法向量與①的兩個向量垂直的座標表示（三元方程組,兩個方程）；
④給x或y或z任取乙個特殊值,帶入③中的方程組,變成二元方程組；
⑤若對法向量的模a有要求,再解關於λ的方程λ|(x,y,z)|=a.
4樓：蘋果好好的春天
是高中的平面幾何嗎？？ 是的話你還是多看看定義， 沒例項不好解釋》
空間向量中,如何求平面的法向量
5樓：匿名使用者
已知乙個平面的兩個法向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2) 其中x1,x2,y1,y2,z1,z2均為已知
設平面法向量為n=(x,y,z)
n為平面的法向量則
n*a=0 x*x1+y*y1+z*z1=0n*b=0 x*x2+y*y2+z*z2=0兩個方程，三個未知數x,y,z
故設出其中乙個，例如設x=1（不能為0），從而求出y,z的值，即可得到平面的乙個法向量，因為平面的法向量有無數個，且模可以任意，故可以這樣假設
6樓：匿名使用者
ax+by+cz+d=0 ，三元一次方程就是乙個平面的一般方程。
乙個平面方程的法向量就是三元一次方程中x,y,z的係數組合向量，即：向量n=就是ax+by+cz+d=0的法向量.也可以寫成：
法向量n=a向量i+b向量j+c向量k,向量i,向量j,向量k分別是x,y,z的單位向量。
以x+2y+z=4為例，它的法向量是 向量n=(1,2,1)是平面x+2y+z-4=0的法向量。
一些特例，若a=0,向量n=(0,b.c)垂直於x軸，它所代表的平面by+cz+d=0則平行於x軸。同理，ax+cz+d=0平行於y軸，法向量n=(a,0,c)垂直於y軸；ax+by+d=0平行於z軸，法向量n=(a,b,0)垂直於z軸。
當d=0時，平面過原點。
空間直線的方向向量和法向量怎麼求？
7樓：麻木
求方向向量時，只來要給定直線
自，便可構造兩個方向bai向量（以du原點為起點）。
（1）即已
zhi知直線daol：ax+by+c=0，則直線l的方向向量為
=(-b,a)或(b,-a)；
（2）若直線l的斜率為k,則l的乙個方向向量為
=(1,k)；
（3）若a(x1,y1),b(x2,y2),則ab所在直線的乙個方向向量為
=(x2-x1,y2-y1)。
求法向量時，對於像三角形這樣的多邊形來說，多邊形兩條相互不平行的邊的叉積就是多邊形的法線。
用方程ax+by+cz=d表示的平面，向量(a,b,c)就是其法線。如果s是曲線座標x(s,t)表示的曲面，其中s及t是實數變數，那麼用偏導數叉積表示的法線為
如果曲面s用隱函式表示，點集合(x,y,z)滿足 f(x,y,z)=0，那麼在點(x,y,z)處的曲面法線用梯度表示為
擴充套件資料：
變換矩陣可以用來變換多邊形，也可以變換多邊形表面的切向量。 設n′為w n。我們必須發現w。wn垂直於mt
很明白的選定ws.t.
或將可以滿足上列的方程式，按需求，再以wn垂直於mt或乙個n′垂直於t′。
8樓：
由題得兩個平面的法向向量：
s1（1，1，-1）， s2（2，-1，1）兩個平面相交的直線是垂直於此兩回個法向量的， 故相交直答線的方向向量：
s=s1xs2=（1，1，-1）x （2，-1，1）=(-2,-3,-3)
進而可求得相交直線的方程， 即令兩個平面方程的z=1, 可求得相交的一點為（1，1，1），
故直線方程為(x-1)/-2=(y-1)/-3=(z-1)/-3
空間向量中任意兩個向量的法向量公式。不要給我說別的，我只要公式，本人知道求法，只要公式！
9樓：之何勿思
法向量公式即兩個向量叉乘，設已知α=a1j+a2k+a3l,，β=b1i+b2k+b3j。
其中i,j,k是三維空間一組基向量。
令γ=α×β，即γ=|i j k||a1 a2 a3|
|b1 b2 b3|
γ的向量公式即是上述行列式求解。
在空間中把既有大小又有方向的量叫做空間向量，主要用於解決立體幾何問題。
法向量指的是在空間中與某平面垂直的直線的方向向量。
知道乙個空間向量怎麼求它的法向量，請舉例說明
10樓：匿名使用者
向量沒有法向量，只有與他垂直的向量，若向量為（a，b,c）他垂直向量可以取方程ax+by+cz=0的任一非零解。
空間向量怎樣過定點求平面法向量
11樓：小苒
(43) 平面法向量的求法及其應用
嵩明縣一中 吳學偉
引言：本節課介紹平面法向量的三種求法,並對平面法向量在高中立體幾何中的應用作歸納和總結。其中重點介紹外積法求平面法向量的方法，因為此方法比內積法更具有優越性,特別是在求二面角的平面角方面。
此方法的引入，將對高考立體幾何中求空間角、求空間距離、證明垂直、證明平行等問題的解答變得快速而準確，那麼每年高考中那道12分的立體幾何題將會變得更加輕鬆。
一、 平面的法向量
1、定義：如果 ，那麼向量 叫做平面 的法向量。平面 的法向量共有兩大類（從方向上分），無數條。
2、平面法向量的求法
方法一(內積法):在給定的空間直角座標系中，設平面 的法向量 [或 ，或 ]，在平面 內任找兩個不共線的向量 。由 ，得 且 ，由此得到關於 的方程組，解此方程組即可得到 。
方法二：任何乙個 的一次次方程的圖形是平面；反之，任何乙個平面的方程是 的一次方程。 ，稱為平面的一般方程。
其法向量 ;若平面與3個座標軸的交點為 ,如圖所示,則平面方程為: ,稱此方程為平面的截距式方程，把它化為一般式即可求出它的法向量。
方法三(外積法): 設 , 為空間中兩個不平行的非零向量，其外積 為一長度等於 ，（θ為 , 兩者交角，且 ），而與 , 皆垂直的向量。通常我們採取「右手定則」，也就是右手四指由 的方向轉為 的方向時，大拇指所指的方向規定為 的方向, 。
（注：1、二階行列式: ；2、適合右手定則。）
例1、 已知， ，
試求（1）： （2）：
key: (1) ;
例2、如圖1-1,在稜長為2的正方體 中，
求平面aef的乙個法向量 。
二、 平面法向量的應用
1、 求空間角
(1)、求線面角：如圖2-1，設 是平面 的法向量，
ab是平面 的一條斜線， ，則ab與平面
所成的角為：
圖2-1-1:
圖2-1-2:
(2)、求面面角:設向量 ， 分別是平面 、 的法向量，則二面角 的平面角為：
（圖2-2）;
(圖2-3)
兩個平面的法向量方向選取合適,可使法向量夾角就等於二面角的平面角。約定，在圖2-2中， 的方向對平面 而言向外， 的方向對平面 而言向內；在圖2-3中， 的方向對平面 而言向內， 的方向對平面 而言向內。我們只要用兩個向量的向量積（簡稱「外積」，滿足「右手定則」）使得兩個半平面的法向量乙個向內乙個向外，則這兩個半平面的法向量的夾角即為二面角 的平面角。
2、 求空間距離
（1）、異面直線之間距離:
方法指導：如圖2-4,①作直線a、b的方向向量 、 ，
求a、b的法向量 ，即此異面直線a、b的公垂線的方向向量；
②在直線a、b上各取一點a、b，作向量 ；
③求向量 在 上的射影d，則異面直線a、b間的距離為
,其中（2）、點到平面的距離:
方法指導：如圖2-5,若點b為平面α外一點，點a
為平面α內任一點，平面的法向量為 ，則點p到
平面α的距離公式為
（3）、直線與平面間的距離:
方法指導：如圖2-6,直線 與平面 之間的距離：
，其中 。 是平面 的法向量
（4）、平面與平面間的距離:
方法指導：如圖2-7,兩平行平面 之間的距離：
，其中 。 是平面 、 的法向量。
3、 證明
（1）、證明線面垂直：在圖2-8中, 向是平面 的法向量， 是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量共線（ ）。
（2）、證明線面平行：在圖2-9中, 向是平面 的法向量， 是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量垂直（ ）。
（3）、證明面面垂直：在圖2-10中， 是平面 的法向量， 是平面 的法向量，證明兩平面的法向量垂直（ ）
（4）、證明面面平行：在圖2-11中, 向是平面 的法向量， 是平面 的法向量，證明兩平面的法向量共線（ ）。
三、高考真題新解
1、（2005全國i，18）（本大題滿分12分）
已知如圖3-1,四稜錐p-abcd的底面為直角梯形，ab‖dc， 底面abcd，且pa=ad=dc= ab=1，m是pb的中點
（ⅰ）證明：面pad⊥面pcd；
（ⅱ）求ac與pb所成的角；
（ⅲ）求面amc與面bmc所成二面角的大小
解:以a點為原點,以分別以ad，ab，ap為x軸，y軸，z軸，建立空間直角座標系a-xyz如圖所示.
， ，設平面pad的法向量為
， ，設平面pcd的法向量為
， ，即平面pad 平面pcd。
， ，， ，設平在amc的法向量為 .
又 ,設平面pcd的法向量為 .
.面amc與面bmc所成二面角的大小為 .
2、(2023年雲南省第一次統測19題) (本題滿分12分)
如圖3-2，在長方體abcd－a1b1c1d1中，
已知ab＝aa1＝a，bc＝ a，m是ad的中點。
(ⅰ)求證：ad‖平面a1bc；
(ⅱ)求證：平面a1mc⊥平面a1bd1；
(ⅲ)求點a到平面a1mc的距離。
解:以d點為原點,分別以da,dc,dd1為x軸,y軸,z軸,建立空間直角座標系d-xyz如圖所示.
, ,設平面a1bc的法向量為
又 , , ,即ad//平面a1bc.
, ,設平面a1mc的法向量為: ,
又 , ,設平面a1bd1的法向量為: ,
, ,即平面a1mc 平面a1bd1.
設點a到平面a1mc的距離為d,
是平面a1mc的法向量,
又 , a點到平面a1mc的距離為: .
四、 用空間向量解決立體幾何的「三步曲」
(1)、建立空間直角座標系(利用現有三條兩兩垂直的直線，注意已有的正、直條件,相關幾何知識的綜合運用，建立右手系)，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；（化為向量問題）
（2）、通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關係以及它們之間距離和夾角等問題；（進行向量運算）
（3）、把向量的運算結果「翻譯」成相應的幾何意義。（回到圖形問題）
空間向量怎麼學好
蔣鬆華 1馬上找來課本看 2做課後習題 3做高考真題 其實向量並不難，就是一個有方向的量，如速度，力等等這是平面向量，空間向量是高考必考的，尤其對於解立體幾何的問題，很好用，不用想半天，將立體圖形量化，轉化成代數，好好學，祝你學習進步。 吾匪君 做向量問題其實就跟做代數計算題，只要找到兩個向量的幾何...
求證空間向量的乘法分配律,求證空間向量的乘法分配律
定義2 向量a與實bai數 乘積 a是乙個du向量,規定向zhi量 a的模數為 dao 在 不為零向量時,當 版0 時,則 與 同方向 當 0時,與 反方向,權當 時,為零向量,方向不確定,則稱向量 為向量 與數 的乘積。向量的加法與數乘滿足如下規律 1 交換律 2 結合律 3 分配律 從數與向量乘...
什麼叫空間向量幾和空間向量和立體幾何中，點到面的距離公式是什麼？
公理1 如果一條直線上的兩點在乙個平面內，那麼這條直線上的所有的點都在這個平面內。公理2 如果兩個平面有乙個公共點，那麼它們有且只有一條通過這個點的公共直線。公理3 過不在同一條直線上的三個點，有且只有乙個平面。推論1 經過一條直線和這條直線外一點，有且只有乙個平面。推論2 經過兩條相交直線，有且只...