為什麼對稱陣一定有N 個線性無關的特徵向量？

1樓：匿名使用者

看了上面的帖子甚至還有n個線形無關的特徵值的論述。我不得不說說我的觀點。**於課本。

應該說每個矩陣都有n個特徵值因為特徵方程都是n階多項式。不能因為有的特徵值有重數，而否認它的存在。不可能因為雙胞胎一樣，而忽略掉。

問題在於矩陣的幾何重數等於代數重數。也就是每個特徵值的重數與其基礎解系的解向量的個數相等。實對稱矩陣能夠對角化的原因是其特徵值的幾何重數等於其代數重數，也就是每個特徵值的重數與其對應的基礎解系的解向量的個數相等。

至於為什麼相等，這個教材上也省略了。說是太高深。補充，特徵值的幾何重數小於代數重數。

這個證明也好像比較高深。教材也省略。所以，如果每個特徵值為1重的話，則其幾何重數為一，也就是與其次特徵值對應的基礎解系的解向量的個數為一。

所以，n個互不相等的特徵值，則對應n個互不相關的特徵向量。這是個可對角化的必要非充分條件。但有的矩陣有相同的特徵值，比如說某個特徵值代數重數為2，那麼它所對應的幾何重數或者為一，或者為二，（特徵值的幾何重數小於代數重數），也就是說2個特徵值都只對應乙個特徵向量。

那麼n個特徵值必然不能有n個特徵相量線性無關。從而不能保證對角化。而實對稱矩陣恰好沒有這種尷尬的局面產生。

至於證明，建議考數學研究生或者自學。

2樓：匿名使用者

你的問題是不是a實對稱為什麼一定可以相似對角化？這個問題要嚴格證明比較麻煩。我可以給你大概解釋一下。

因為實對稱矩陣沿對角線對稱，因此你對它進行行變換的同時對它進行相應的列變換，及左乘一系列初等矩陣，同時右乘相應的一系列初等矩陣後，一定可以把它化成只有對角上有元素的矩陣，這個時候你就會發現這個對應的關係就是你左乘的初等矩陣和右乘的初等矩陣之間有可逆的關係，按照相似的定義及相似於對角矩陣。 [

3樓：匿名使用者

因為實對稱矩陣必可對角化，而有n 個線性無關的特徵向量是矩陣對角化的充要條件！

4樓：匿名使用者

樓上更正的對，應該是「實」對稱矩陣才有n個線性無關的特徵向量。必須是實數範圍。

為什麼實對稱矩陣一定可以對角化？或者證明一下實對稱矩陣的n個特徵值一定有n個線性無關的特徵向量？ 5

5樓：匿名使用者

說白了其實就是配方法。這是最原始的證二次型化標準型。高中應該就能懂。

6樓：匿名使用者

對於n階實對稱矩陣q，設以它的k個線性無關的特徵向量為列構成的矩陣為u（u是n行k列）

下證明，如果k將u補全為乙個n階正交方陣p=[u v]，則v是n行n-k列，且有u^tv=0和v^tqu=v^t[t1*u1...tk*uk]=0，其中ti是q的特徵向量。

考慮v^tqv，設它的一對特徵值和特徵向量是t和w，即v^tqvw=tw，則可以證明vw是q的乙個以t為特徵值的特徵向量，理由如下：

只需證明兩點：1)vw與已有特徵向量線性無關。

2)qvw=tvw

對於1)，u^tvw=0w=0

對於2)，令r=qvw-tvw，由上文有v^tr=0。而u^tr=u^tqvw-u^ttvw=0-0=0（上文已證v^tqu=0），所以p^tr=[u v]^tr=0。由於p可逆，所以r=0，即qvw=tvw

n階矩陣是不是一定有n個線性無關的特徵向量？

7樓：

不一定。舉個例子：

這個矩陣只有乙個2重特徵值為1，而屬於1的特徵向量只有1個，因此n階矩陣不一定有n個線性無關的特徵向量。

為什麼不同特徵值對應的特徵向量一定線性無關？還有怎麼判斷乙個n階矩陣有n個線性無關的特徵向量？

8樓：匿名使用者

特徵值a的幾何重數就是 n-r(a-ae)

也就是齊次線性方程組 (a-ae)x=0 的基礎解系所含向量的個數。

幾何重數不超過代數重數。

9樓：電燈劍客

對於不同特徵值對應的特徵向量的無關性，直接用線性無關的定義，借助vandermonde行列式即可。

至於幾何重數的具體資訊，從jordan標準型裡直接可以讀出來。