1樓：心武雅趣
1,n維向量的內積（二維向量的內積也叫數量積）：（a1,a2,……,an)*(b1,b2,……,b3)=a1b1+a2b2+……+anbn
當n為2的時候，就是高中裡的平面向量數量積：a1b1+a2b2向量的內積的幾何意義是其中任一向量與另乙個向量的投影的乘積。滿足交換律、結合律。
n維向量與實數相乘，相當於將每乙個元素乘以這個實數。
2,三維空間向量的向量積：
(a1,a2,a3)×（b1,b2,b3)=(a2b3-a3b2，a3b1-a1b3，a1b2-a2b1)
注意：空間向量的向量積不滿足交換律，即向量a×向量b≠向量b×向量a3,三個三維空間向量的混合積：
[abc]=(a×b)*c
注：這裡的字母代表向量。×表示向量積，*表示數量積。
具體內容參考高等數學《線性代數》和《空間向量的運算》。
1.向量有哪幾種乘法運算，它們都是怎樣定義的
2樓：匿名使用者
向量有copy哪幾種乘法運算?
1、兩個向量a和b的數量積，結果是乙個數量，記作a·b，2、兩個向量a和b的向量積，結果是乙個向量，記作a×b，3、向量的數乘，就是實數λ和向量a的乘積，結果是乙個向量，記作λa
向量的運算法則是什麼？
3樓：鍾離淑敏仙詞
一、向量的概念
日常中我們所遇到的量可以分為兩類：一類量用乙個數值便可以完全表示，比如面積、溫度、時間或質量等都屬於這一類，這一類質量稱為數量（或標量）；另一類量，除了要用乙個數以外，還要指明它的方向才能夠完全表示,比如速度、加速度、力等都屬於這一類，這一類的量稱
為向量（或向量）。
向量可以用一條有向線段形象地表示，線段的方向表示向量的方向，它的長度稱為向量的模。向量常記為(a→)，(b→)或a,
b等，有時也用(a→b)表示乙個向量，a是起點，b是終點。從a到b的指向表示(a→)的方向。向量(a→b)的模記作|(a→b)|。
模等於零的向量叫做零向量，記作0或(0→)。零向量的方向可以看作是任意的。模等於1的向量叫做單位向量。
對於非零向量(a→)，我們用(a(0)→)表示a同向的單位向量，簡稱為a的單位向量。在直角座標系中，向量(o→m)
叫做點m的向徑，記做r或(r→)
。於是空間每一點m，對應著乙個向徑
；反之，每一向徑r，對應著乙個確定的點m。兩個向量的方向相同、模相等時，稱它們是相等的向量，記作(a→)
=(b→)
。因此，乙個向量經過平移後與原向量相等。與的模相同而方向相反的向量叫做
的負向量，記作(a→)=-(c→)
。二、向量及運算
1、向量的加法
兩向量(o→a)
與(o→b)的和，是以這兩向量做相鄰兩邊的平行四邊形的對角線向量(o→c)
，記作(o→a)+(o→b)=(o→c)
這種方法叫做向量加法的平行四邊形法則，由於平行四邊形的對邊平行且相等，我們還可以這樣來作出兩向量的和：作
(o→a)=(a→)。以(a→)的終點為起點作(b→)=(a→c)
，連線oc
，就得(o→c)
。這一方法叫做向量加法的三角形法則。向量的加法滿足交換律、結合律。如設有向量(a→)
，(b→)
即有(a→)+(b→)=(b→)+(a→)
[(a→)+(b→)]+(c→)=(a→)+[(b→)+(c→)]。
特別地，若(a→)
與(b→)
共線（平行或在同一條直線上），則規定它們的和是這乙個向量：當(a→)
與(b→)
的指向相同時，和向量的方向與原來兩向量的方向相同，其模等於兩向量的模的和；當(a→)
與(b→)
的指向相反時，和向量的方向與較長的向量的方向相同，而模等於較大向量的模減去較小向量的模。
2.向量的減法
減法是加法的逆運算，若(b→)+(c→)=(a→)
，則定義(c→)
為向量(a→)
與(b→)
之差，記作(c→)=(a→)-(b→)。
由於(a→)+[-(b→)]=(a→)-(b→)
，所以由加法的法則可得減法的相應法則：以(a→)及-(b→)
為鄰邊作平行四邊形，則對角線向量就是(c→)
。若(a→)
與(-b→)
的起點相同，由(b→)
的終點到(a→)
的終點所成的向量也為(a→)-(b→)。此法則稱為減法的三角形法則。
4樓：就這樣吧
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。
向量的加法ob+oa=oc。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的運算律：
交換律：a+b=b+a；
結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的減法
如果a、b是互為相反的向量，那麼a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0
向量的減法
ab-ac=cb. 即「共同起點，指向被
向量的減法減」
a=(x,y)b=(x',y') 則a-b=(x-x',y-y').
3、數乘向量
實數λ和向量a的乘積是乙個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
當λ＞0時，λa與a同方向；
向量的數乘
當λ＜0時，λa與a反方向；
向量的數乘當λ=0時，λa=0，方向任意。
當a=0時，對於任意實數λ，都有λa=0。
注：按定義知，如果λa=0，那麼λ=0或a=0。
實數λ叫做向量a的係數，乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。
當∣λ∣＞1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長為原來的∣λ∣倍；
當∣λ∣＜1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上縮短為原來的∣λ∣倍。
數與向量的乘法滿足下面的運算律
結合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量對於數的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
數對於向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
數乘向量的消去律：① 如果實數λ≠0且λa=λb，那麼a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那麼λ=μ。
4、向量的數量積
定義：已知兩個非零向量a,b。作oa=a,ob=b,則角aob稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉並規定0≤〈a,b〉≤π
定義：兩個向量的數量積（內積、點積）是乙個數量，記作a·b。若a、b不共線，則a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共線，則a·b=+-∣a∣∣b∣。
向量的數量積的座標表示：a·b=x·x'+y·y'。 向量的數量積的運算律
a·b=b·a（交換律）；
(λa)·b=λ(a·b)(關於數乘法的結合律)；
（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；
向量的數量積的性質
a·a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。（該公式證明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因為0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）
向量的數量積與實數運算的主要不同點
1、向量的數量積不滿足結合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。
2、向量的數量積不滿足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c。
3、|a·b|≠|a|·|b|
4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
5、向量的向量積
定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是乙個向量，記作a×b（這裡並不是乘號，只是一種表示方法，與「·」不同，也可記做「∧」）。若a、b不共線，則a×b的模是：
∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直於a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b共線，則a×b=0。
向量的向量積性質：
∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。
a×a=0。
a垂直b〈=〉a×b=|a||b|。
向量的向量積運算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
a×（b+c）=a×b+a×c.
注：向量沒有除法，「向量ab/向量cd」是沒有意義的。
5樓：寶蘭潮靜
解題思路索引：
1單位向量：模值為單位「1」向量。
2證基底即證兩個向量相互垂直,即向量點積為零。
3共線的話就是兩個算式向量的叉積為零，計算k即可。
具體解法：
（1）1*m-2*n=1
2*m+5*n=11
所以3(1,2)+(-2,5)=(1,11)即3a+b=c
（2）因為第乙個問已經證明了a、b兩個向量可以是一組基地，那麼，就以a、b向量為基底構成乙個座標系，那麼ka+b和4a+(k+1)b就可以表示為在以a、b為基底的座標系中的兩個向量（k,1）和(4,k+1)。那麼要使著兩個向量共線，則需要（k,1）×(4,k+1)=0
即：4k+k(k+1)+4+(k+1)=0,求解，可得k=-1或k=-5。
6樓：匿名使用者
向量運算法則，你學會了嗎
向量的加減乘除怎麼算
7樓：是你找到了我
1、向量的加法：滿足平行四邊形法則和三角形法則，即
2、向量的減法：如果a、b是互為相反的向量，那麼a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0oa-ob=ba.
即「共同起點，指向被減」，例如：a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，則a-b=(x1-x2,y1-y2)。
3、向量的乘法：實數λ和向量a的叉乘乘積是乙個向量，記作λa，且|λa|=|λ|*|a|。當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ=0時，λa=0，方向任意。
當a=0時，對於任意實數λ，都有λa=0。
4、向量的除法：a÷k=|a|/k*a的單位向量。即結果為原向量的長度縮小k倍後的向量，方向不變。
擴充套件資料：
一、向量加法的運算律：
1、交換律：a+b=b+a；
2、結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
3、加減變換律：a+(-b)=a-b
4、向量的加減乘（向量沒有除法）運算滿足實數加減乘運算法則。
二、向量的數乘規律：
1、向量的數量積不滿足結合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)²≠a²·b²。
2、向量的數量積不滿足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。
8樓：demon陌
向量加法，按三角形法則求和。即a+b結果為以a,b為兩邊的三角形的第三邊。如果以座標表示向量，則向量a(x1，y1)與向量b(x2，y2)相加的和是(x1+x2，y1+y2)所表示的向量。
向量減法，可以轉化為向量加法。即a-b=a+(-b)，結果是以a和-b為兩邊的三角形的第三邊。向量a(x1,y1)與向量b(x2，y2)相減的結果是(x1-x2，y1-y2)所表示的向量。
向量乘法，a*b=|a|*|b|*cos，即a，b兩向量的長度的積再乘以它們夾角的余弦，結果是乙個數量而不再是乙個向量。幾何意義相當於a向量長度與b向量在a向量上的投影長度相乘。
向量除法，分為幾種情況，(a，b為向量，k為常數)
1、 a÷k=|a|/k*a的單位向量。即結果為原向量的長度縮小k倍後的向量，方向不變。
2、k÷a=b，其中向量b的長度為k÷(|a|cos)，與a的夾角為，結果有無數種，所以這樣的除法也沒什麼意義。
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