複數問題!在單位圓上的複數乘法與半開區間上的加法模2相同,這有什麼意義

2021-03-23 11:24:26 字數 6020 閱讀 7627

1樓:匿名使用者

設z1=cosa+isina,z2=cosβ+isinβ,a,β∈[0,2π),則

z1z2=cos(a+β)+isin(a+β),令θ≡a+β(mod 2π),θ∈[0,2π),則z1z2=cosθ+isinθ。

一道關於複數的題目

2樓:匿名使用者

(a+bi)/(c+di)=(a+bi)(c-di)/[(c+di)(c-di)]

=[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2-d^2i^2)=[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2+d^2)把(ac+bd)看成a向量乘以b向量,c^2+d^2看成b向量的模(ac+bd)/(c^2+d^2)=1 就是 a*b/(b模)但a模我也不會。。。。(bc-ad)/(c^2+d^2)=√3不會用。。。。。不過應該是結合平面向量的a*b/(a模*b模)=cos∠aob

3樓:匿名使用者

一、基本知識點——

複數的輻角:以x軸的正半軸為始邊,向量所在射線(起

點是o點)為終邊的角θ叫做複數z=a+bi的輻角。

不等於零的複數z=a+bi的輻角有無限多個值,這些值相差2π

的整數倍。適合[0,2π]的輻角θ的值,叫做輻角的主值,記

作argz,即0≤argz<2π。

當a∈r+時,有下列關係:

arga=0

arg(-a)=π

arg(ai)=

arg(-ai)=π

複數相等的充要條件:每乙個不等於零的複數有唯一的模與輻

角的主值。並且可由他的模與輻角的主值唯一確定。因此兩個非零

複數相等當且僅當他們的模與輻角的主值分別相等。

複數的三角形式:任何乙個複數z=a+bi都可以表示為r(cosθ

+isinθ)的形式,其中r=cosθ=,sinθ=,r(cosθ+isinθ)

叫做複數a+bi的三角形式,為了同三角形式區別開來,將a+bi叫做

複數的代數形式。

複數三角形式的乘法:兩個複數相乘,積的模等於各複數的

模的積;積的輻角等於各複數的輻角的和,有如下公式:

若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)

那麼z1*z2=r1(cosθ1+isinθ1)*r2(cosθ2+isinθ2)

=r1*r2*[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]

複數乘法的幾何意義:兩個複數z1,z2相乘時,可以先畫出分別

與z1,z2對應的向量,,然後把向量按逆時針方向旋轉乙個

角θ2(如果θ2<0,就要把按順時針方向旋轉乙個|θ2|),再把它

的模變為原來的r2倍,所得的向量,就表示積z1*z2。

棣莫佛定理:複數z的n次冪(n∈n)的模等於這個複數的模的n次

冪,它的輻角等於這個複數的輻角的n倍有公式:

若z=r(cosθ+isinθ)

zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈n)

複數三角形式的除法:兩個複數相等,商的模等於被除數的模

除以除數的模所得的商,商的輻角等於被除數的輻角減去除數的輻

角所得的差,有公式:

若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2。)

=[cos(θ1-θ2)+sin(θ1-θ2)]

複數三角形式的開方:複數的n次方根(n∈n)是n個複數,它們

的模都等於這個複數的模的n次方根,它們的輻角與2π的0,1,2,

…(n-1)倍的和的n分之一。

複數r(cosθ+isinθ)的n次方根為:

(cos+isin)k=0,1,…(n-1)

負實數的平方根:若a∈r+,則-a的平方根為±i。

實數係數一元二次方程虛根成對定理:實數係數一元二次

方程ax2+bx+c=0在複數集c中有兩個根:x=,

(b2-4ac<0)顯然它們是一對共軛複數。這說明實係數一元二

次方程若有乙個虛數根,那麼這個虛數的共軛複數必為另一根。

二項方程:形如anxn+a0=0(a0,an∈c且an≠0)的方程叫做

二項方程。任何乙個二項方程都可以化成xn=b(b∈c)的形式,

因此都可以通過複數開方來求根。

一般地,方程xn=b(b∈c)的根的幾何意義是復平面內的n個

點,這些點均勻的分布在以原點為圓心,以為半徑的圓上。

二、重點與難點——

本專題的重點是複數的三角形式,它將高中的三角變換知識

與複數的有關概念緊密地連在一起,產生許多重要的變換,特別

是圍繞著複數的輻角的有關概念與運算及複數的應用,成為本專

題的難點所在。在學習時不斷地總結體會與經驗是學好這一專題

的關鍵。

三、例題詳解——

例1:選擇題(每題僅乙個正確答案)

(1)若α=π,θ=arccos(cosα),則複數z=cosθ+isinθ

的輻角主值是( )

a、π b、π

c、 d、π

(2)若複數z=1-cosx+isinx(π<x<2π),則z的輻角主值為( )

a、- b、

c、π- d、π+

解:(1)∵0≤θ<2π 排除b。

θ=arccos(cosα)=α 0<α<π

∴θ=arccos[cos(2π-π)]=π

z=cosπ+isinπ 選a

(2)先將z化為複數的三角形式:

z=1-cosx+isinx=2sin2+i*2sin*cos

=2sin(sin+icos)

=2sin[cos(-)+isin(-)]

=2sin[cos(2π+-)+isin(2π+-)]

=2sin[cos(π-)+isin(π-)]

此時2sin>0,π-∈[0,2π]

∴選c。

例2:填空題:

(1)1+i的平方根是=______;

(2)若z=cos+isin,則1+z+z7+z13+z19等於______;

(3)若a=|+i|,z=a+i,則z5=______;

(4)z=a- i(a∈r)對應的點都在單位圓內(不包括單位圓

的邊界),則實數a的取值範圍是______;

(5)已知z1,z2是兩個不等於零的複數,它們在復平面上

對應的點分別為a,b,且z1,z2滿足關係式4z12-2z1*z2+z22=0,

則△aob的形狀是______。

解:(1)將1+i化為三角形式:

r==2,tgθ==,θ=,

1+i=2(cos+isin),它的平方根:

(cos+isin)(k=0,1)

∴平方根為(cos+isin)=+i,

(cosπ+isinπ)=--i;

(2)∵z19=(cos+isin)19

∴z19=cos-isin

z13=cosπ+isinπ=cosπ+isinπ=-cosπ+isinπ

z7=cosπ+isinπ=-cosπ-isinπ

原式=1+cos+isin-cosπ-isinπ-cosπ+isinπ+cos-isin

=1+2cos-2cosπ;

(3)∵a=|+i|==

z=a+i=+i=2(cos+isin)

z5=[2(cos+isin)]5

=32(cosπ+isinπ)

=32(-cos+isin)

=-+i

=-16+16i;

(4)∵|z|<1即有|a- i|<1

<1,0<a2+<1,a2<

∴-<a<

(5)由4z12-2z1*z2+z22=0可得:

(z1-z2)2=-3z12=(z1*i)2

z1-z2=±z1i

(1i)z1=z2,

2z1(cos+isin)=z2或2z1[cos(-)+isin(-)]=z2,

由此可以看出2|z1|=|z2|,z1對應的向量逆時針或順

時針旋轉可得到z2所對應的向量,且2|oa|=|ob|,

∴△aob是直角三角形。

例3:求複數z=(0<θ<)

的模與輻角,並求當θ=時,zn∈r的最小自然數n的值。

解:z===

=-sinθ+icosθ

=cos(+θ)isin(+θ)

∴|z|=1,argz=+θ(0<θ<)

當θ=時

zn=cosn(+)+isinn(+)

zn=cosπ+isinπ

若使zn∈r,則必有sinπ=0

但26,15互質,∴n=26時,sin15π=0

此時zn=cos15π=-1∈r,

∴滿足題設條件的最小自然數n=26。

例4:設z1,z2∈c,且|z1|=1,|z2|=,|z1-z2|=2。

求:。解:設:z1=cosα+isinα,z2=(cosβ+isinβ),

∵|z1-z2|=2

∴|(cosα-cosβ)+(sinα-sinβ)i|=2

即(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=4

cos2α-2cosαcosβ+2cos2β+sin2α-2sinαsinβ+2sin2β=4

3- 2cos(α-β)=4,

∴cos(α-β)=-

∴sin(α-β)=±=±,

∴==[cos(α-β)isin(α-β)]

=[-±i]

∴=-±i。

例5:設為純虛數,試問當z變動時它所對應的點的軌跡

是什麼?

解:設=t*i(t∈r),

則z=zti-ti

z=,設z=x+yi(x,y∈r),

則有:x+yi=,

①2+②2:x2+y2==x

∴x2-x+y2=0,即z點的軌跡為(x-)2+y2=,這是

以(,0)為圓心,為半徑的圓。

四、練習題——

1.選擇題:(每題僅有乙個正確答案)

(1)若z1=cos150°+isin150°,z2=cos300°+isin300°,

則z1+z2的輻角主值( )

a、45° b、150° c、450° d、225°

(2)計算(1-i)6+(1-i)12的值是( )

a、27 b、-27 c、0 d、1

(3)把複數1+i對應的向量按順時針方向旋轉π,所得到的

向量對應的複數( )

a、 b、

c、 d、

(4)若z*+z-=3,則複數z所表示的點集為( )

a、圓 b、直線

c、兩點 d、圓與實軸

(5)若z=a+bi(a,b∈r),r=,θ=argz,點z在第四象限,

則有( )

a、θ=arcsin b、θ=arccos

c、θ=arctg d、θ=2π+arctg

2.填空題:

(1)3+4i的平方根是______。

(2)設|z+1|=|z-1|且arg=,則複數z=______。

(3)計算=______。

(4)將z=sin30°-icos30°所對應的向量順時針方向旋轉120°,

所得向量對應的複數是______。

(5)設5+6i的輻角主值是θ,那麼12-10i的輻角主值是______(用θ表示)。

(6)若x∈c,則方程x2+ix+i-1=0的解是_____。

(7)方程z3=在複數集上的解集是______。

3.解答題:

(1)求值 (n∈n)

(2)z=,

求:複數z的模。

(3)求s=1+2i+3i2+4i3+…+(4n+1)i4n。

(4)若z∈c且z2=8+6i,

求:z3-16z-的值。

(5)求值為實數的n的最小正整數值,此時實數值

是多少?

(6)設t=cosπ+isinπ,求:t+的值。另,若cosπ+isinπ

是x5-1=0的乙個根,求:cosπ與cosπ的值。

(7)若z∈c,且|z|=1

求:|z++i|取得最大值時z的值。

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