1樓:匿名使用者
對於你來
的問題特別說明兩點:
1.既然對源一般矩陣,屬於不同特徵值的特徵向量之間未必正交,那麼正交化和單位化也就沒有什麼意義,若勉強正交化,結果就不再是特徵向量了;
2.對於二次型矩陣的化簡,一般只要求合同對角化就夠了,就是說,給定二次型矩陣 a ,只要找乙個 可逆矩陣 p 使得 (p轉) a p = d 是對角矩陣就行了,這裡的 p 不見得必須是正交陣.但是既然實對稱矩陣 a 可以正交相似對角化,我們當然也可以要求 p 為正交矩陣,選 p 為正交矩陣的乙個優點是,它不會改變歐幾里得空間中兩點間的距離,從而在變換座標時可以保持空間圖形的形狀不發生變化,而選擇一般可逆矩陣 p就不一定能做到這一點了.
2樓:匿名使用者
求出特徵向量ξ後,
用1/|ξ|去乘以ξ,
即可得到ξ的單位化的特徵向量。
比如,ξ=(1,2,2)',
由於|ξ|=3,
所以,單位化的特徵向量為
1/3·ξ=(1/3,2/3,2/3)'
線性代數特徵向量如何單位化
3樓:匿名使用者
會算向量的長度嗎?如果向量a的長度是|a|那麼單位化的向量就是 (1/|a|)a也就是向量的每乙個分量除以向量本身長度後得到的向量
4樓:冰舞輪
要看題目的要求而定。
如果題目只是要求求乙個矩陣的特徵向量,結果是不需要單位化的。
如果題目是要求求乙個可逆陣p,使p^<-1>*a*p成為對角陣,求得的矩陣a的特徵向量也不需要單位化的。
如果a是實對稱矩陣,題目要求求正交矩陣p,使p^t*a*p成為對角陣,則求得的a的特徵向量要先正交化(如果a有重特徵值),再單位化,然後才可以寫出正交陣p。
在二次型化為標準形的題目裡,如果要求求正交變換,則求得的二次型矩陣a的特徵向量要先正交化(如果a有重特徵值),再單位化,然後才可以寫出正交變換的。
線性代數問題,求矩陣的對角陣時為什麼要把特徵向量單位化呢?
5樓:是你找到了我
因為正交陣的每一列都肯定
是單位陣,所以需要單位化;如果不用正交陣作對角化過程,只用一般的可逆陣,就可以不單位化。
線性變換的特徵向量是指在變換下方向不變,或者簡單地乘以乙個縮放因子的非零向量。特徵向量對應的特徵值是它所乘的那個縮放因子。特徵空間就是由所有有著相同特徵值的特徵向量組成的空間,還包括零向量,但要注意零向量本身不是特徵向量 。
線性變換的主特徵向量是最大特徵值對應的特徵向量。特徵值的幾何重次是相應特徵空間的維數。有限維向量空間上的乙個線性變換的譜是其所有特徵值的集合。
6樓:demon陌
因為p是正交矩陣,正交矩陣每一行(或列)都是單位向量,題中a恰有3個不同的特徵值,而不同特徵值對應特徵向量必正交,所以就不用正交化,而是直接單位化。
若λ0是a的特徵值,且是特徵多項式的k重根,因為a可對角化,所以特徵方程│a-λ0│=0的基礎解系必包含k個解向量,則這k這個特徵向量必須施密特正交化然後再單位化。
有定理:矩陣a可對角化的充分必要條件是a的每個特徵值的代數重數等於其幾何重數,即a有完全特徵向量系。
只有對角線上有非0元素的矩陣稱為對角矩陣,或說若乙個方陣除了主對角線上的元素外,其餘元素都等於零。
7樓:匿名使用者
要將每個特徵向量單位化的原因是正交矩陣才能得到p^(-1)ap=p^tap=λ,既p的逆矩陣等於p的轉置矩陣,否則只能使用p^(-1)ap=λ.顯然,轉置矩陣要比逆矩陣好求多了.
特徵向量什麼時候需要單位化
8樓:demon陌
如果題目只是要求求乙個矩陣的特徵向量,結果是不需要單位化的。
如果題目是要求求乙個可逆陣p,使p^<-1>*a*p成為對角陣,求得的矩陣a的特徵向量也不需要單位化的。
如果a是實對稱矩陣,題目要求求正交矩陣p,使p^t*a*p成為對角陣,則求得的a的特徵向量要先正交化(如果a有重特徵值),再單位化,然後才可以寫出正交陣p。
在二次型化為標準形的題目裡,如果要求求正交變換,則求得的二次型矩陣a的特徵向量要先正交化(如果a有重特徵值),再單位化,然後才可以寫出正交變換的。
特徵向量對應的特徵值是它所乘的那個縮放因子。特徵空間就是由所有有著相同特徵值的特徵向量組成的空間,還包括零向量,但要注意零向量本身不是特徵向量。線性變換的主特徵向量是最大特徵值對應的特徵向量。
9樓:匿名使用者
^1、如果a是實對稱矩陣,要求求正交矩陣p,使p^t*a*p成為對角陣,則求得的a的特徵向量要先正交化(如果a有重特徵值),再單位化,然後才可以寫出正交陣p。
2、在二次型化為標準形的題目裡,如果要求求正交變換,則求得的二次型矩陣a的特徵向量要先正交化(如果a有重特徵值),再單位化,然後才可以寫出正交變換的。
乙個矩陣a的特徵值可以通過求解方程pa(λ) = 0來得到。 若a是乙個n×n矩陣,則pa為n次多項式,因而a最多有n個特徵值。
反過來,代數基本定理說這個方程剛好有n個根,如果重根也計算在內的話。所有奇數次的多項式必有乙個實數根,因此對於奇數n,每個實矩陣至少有乙個實特徵值。在實矩陣的情形,對於偶數或奇數的n,非實數特徵值成共軛對出現。
擴充套件資料
任意給定乙個矩陣a,並不是對所有的x它都能拉長(縮短)。凡是能被a拉長(縮短)的向量稱為a的特徵向量(eigenvector);拉長(縮短)量就為這個特徵向量對應的特徵值(eigenvalue)。
值得注意的是,我們說的特徵向量是一類向量,因為任意乙個特徵向量隨便乘以乙個標量結果肯定也滿足以上方程,當然這兩個向量都可以看成是同乙個特徵向量,而且它們也都對應同乙個特徵值。
如果特徵值是負數,那說明了矩陣不但把向量拉長(縮短)了,而且讓向量指向了相反的方向。乙個矩陣可能可以拉長(縮短)好幾個向量,所以它可能就有好多個特徵值。如果a是實對稱矩陣,那麼那些不同的特徵值對應的特徵向量肯定是互相正交的。
也就是保證座標系的不同軸不要指向同乙個方向或可以被別的軸組合而成,否則的話原來的空間就「撐」不起來了。在主成分分析(principal ***ponent analysis)中我們通過在拉伸最大的方向設定基,忽略一些小的量,可以極大地壓縮資料而減小失真。
變換矩陣的所有特徵向量作為空間的基之所以重要,是因為在這些方向上變換矩陣可以拉伸向量而不必扭曲和旋轉它,使得計算大為簡單。所以特徵值固然重要,終極目標卻是特徵向量。
10樓:匿名使用者
有時候只要特徵向量,而有時必須單位化,
特徵向量單位化怎麼單位化啊,有公式嗎
11樓:匿名使用者
正交化會吧,單位化就是把這個向
量化為單位向量
比如向量(1,2,3)單位化就版是
[1/根號下(1^權2+2^2+3^2),2/根號下(1^2+2^2+3^2),3/根號下(1^2+2^2+3^2)]=(1/根號14,2/根號14,3/根號14)
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