1樓：中地數媒
設地球物理資料和模型引數之間滿足以下非線性關係:
d=f(m) (8.1)
其中:f表示非線性運算元;d、m都是列向量。
建立如下目標函式:
φ(m)=[d-f(m)]2=min (8.2)
目標函式在模型mi處的梯度為
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梯度法的模型修改量是目標函式的負梯度:
mi+1=mi+δmi=mi-λgi (8.4)
其中:λ為步長因子，是乙個數，用來控制修改量的大小;g、m都為列向量。
下面推導λ的計算公式。
將式(8.2)目標函式φ(m)按泰勒公式，並略去高次項得
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將式(8.4)中的δmi=-λgi帶入式(8.5)得
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設經過修改模型後，目標函式φ(mi+1)為零，有
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由上式可推出步長因子λ的計算公式:
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給定初始模型mi後，首先計算出梯度gi，然後按式(8.8)計算步長因子，最後按式(8.4)修改模型。如果:
φ(mi+1)＜φ(mi) (8.9)
則說明修正量合適，採用新模型繼續迭代。否則減小λ後再計算，一般λ減小一半。
梯度法的計算過程如下:
(1)給定初始模型m0;
(2)進行正演計算;
(3)判斷是否滿足精度要求，是則反演結束，否則進行第(4)步;
(4)按照式(8.4)修改模型，轉第(2)步。
一般反演精度採用實測資料和理論資料的相對均方差來量度。
因為目標函式的梯度就是φ值下降最快的方向，所以梯度法又稱為「最速下降法」。下面用乙個簡單的例子來說明梯度法的原理。設有如下一維目標函式:
φ(x)=f(x) (8.10)
從圖8.1可見，x0為目標函式的極小值點。g1為x1處的梯度，g2為x2處的梯度。
如果初始模型為x1，模型修改量應該為正值才能使目標函式向最小值前進。從圖上可知g1為負值，負梯度為正，滿足修改方向。同理如果初始模型為x2，模型修改量應該為負值。
從圖上可知g2為正值，負梯度為負值，滿足修改量為負值的要求。
圖8.1 一維目標函式示意圖
從這個例子容易看出即使初始模型遠遠偏離極小值點，只要按照負梯度方向修改模型引數，總能使目標函式達到極小值點。但是上圖的極小值點只有乙個，容易達到全域性極小，如果目標函式具有多個極小值點，那麼初始模型的選擇就很關鍵了，選的不好容易陷入區域性極小。此外在極小值點附近梯度法反演收斂的速度將會很慢。
因此一般在反演的開始採用梯度法，在反演的後期採用其他收斂速度快的反演方法，如前面所介紹的最小二乘法(或稱為高斯-牛頓法)。
圖8.2 最小二乘法和梯度法修正方向示意圖
最小二乘法和梯度法在極小值點附近的模型修正方向如圖8.2所示[10]。這個圖形將形象的說明為何梯度法在極小值點附近收斂速度慢。
圖8.2是二維的簡單情況，目標函式是個橢圓面。在初始模型m0處梯度法的修正方向是最速下降方向，也就是和等值線的切線垂直的方向，可見它的方向偏離橢圓的中心極小值點。
而最小二乘法(高斯-牛頓法)是解橢圓函式最優化問題的精確方法[6]，它的修正方向將會指向橢圓的中心極小值點。因此在接近極小值點附近最小二乘法的收斂速度要快於梯度法。
為了克服最速下降法收斂慢的缺點，2023年fletcher和reeves提出了無約束極小化的共軛梯度法，它是直接從hestenes和stiefel(1952)解線性方程組的共軛梯度法發展而來。共軛梯度法使最速下降方向具有共軛性，提高了演算法的有效性和可靠性[6]。
梯度法的關鍵是計算目標函式的梯度，最終還是會歸結為計算觀測資料對模型引數的偏導數。在一維反演時可以用有限差分法進行偏導數的計算，在高維反演時可以採用其他快速計算偏導數的方法，如第9章將要介紹的利用互換定理計算二維直流電測深偏導數矩陣。
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