1樓：匿名使用者
只要證明如果ghg^(-1)=h，而且fhf^(-1)=h，那麼n=g f^(-1) 滿足nhn^(-1)=h。直接帶進去一寫就可以了。
2樓：原來要這麼艱難
n是什麼東西，很多概念忘了，提示
設g是群,o是g到g上的同態對映,核為n,若h是g的子群,那麼o1(o(h))=? 5
3樓：jgdga樂
假設g是a_5的子群。如果|g|=15，那麼sylow定理可以推出g是迴圈群（這個比|g|=20的情況簡單，我就不細說了），但a_5中沒有15階元，矛盾。如果|g|=20，那麼g有唯一的sylow 5-子群，記成h，它是g的正規子群。
因為5是質數，所以h同構於z/5z。那麼g中其餘的元素都以共軛的方式作用在h上。從h=z/5z到自身的群同構有多少個（這裡記得z/5z是那個加法群，請忘掉z/5z裡的乘法）？
一共4個，它們都把0映成0，並且分別把1映成1，2，3，4。把1映成1的那個同態記成a_1，把1映成2的那個記成a_2，類似有a_3和a_4。這裡，比如說a_3，它把1映成3，然後又是z/5z到z/5z的群同態，所以a_3就把z/5z裡的所有元素都乘3。
那麼(a_2)^2就把1映成4（先成1變成2，再乘2變成4），所以(a_2)^2 = a_4；類似(a_3)^2=a_4，(a_4)^2=a_1=id，其中id是z/5z到z/5z的恒同對映。由a_1=id，a_2，a_3和a_4組成的這個群記成aut(h)，它是h到h的所有自同構所組成的群，這裡h是z/5z，而按上文所證，aut(h)同構於z/4z（以a_2或者a_3為生成元）。現在看g（就是這個20階群）的乙個sylow 2-子群，記成p，它是4階的（按sylow定理，g的這樣的子群可能有1個，也可能有5個，不過無所謂）。
p在h上有乙個共軛作用（因為h是g的正規子群），p中乙個元素p把h中乙個元素h映成ph p^(-1)。把h映成ph p^(-1)，這是從h到h的乙個群同構（證明它是可逆的群同態），也就是aut(h)裡的乙個元素，這個元素是由p決定的。這給出了從p到aut(h)的乙個群同態，這個群同態的核是1，因為a_5中的5階元與任何非5階元都不交換（試證之，並證明由此可以推出上面那個群同態的核是1）。
現在p和aut(h)都是4階的，因此p和aut(h)同構。上文已證aut(h)就是z/4z，所以p也和z/4z同構，於是p必須有4階元。但是a_5中尚且沒有4階元（s_5中有，但那不是偶置換），因此矛盾。
證明：設g是有限群，n整除|g|,且g中僅有乙個n階子群h，則h是g 的正規子群。
4樓：玄色龍眼
對於任意g屬於g，考慮群n=ghg^(-1)現在證n是群，首先可以得到的是n中元素個回數與n中的元素個數相等任取a,b屬於n，則答
存在x,y屬於h，使得
a=gxg^(-1)，b=gyg^(-1)所以ab^(-1) = gxg^(-1)gy^(1)g^(-1) = gxy^(-1)g^(-1)
而xy^(-1)屬於h
所以ab^(-1)屬於n
所以n是群
所以n也是g的n階子群
而g只有乙個n階子群
所以n=h
所以h是g的正規子群
5樓：匿名使用者
任意baig屬於g，考慮群n=ghg^(-1)n中元素個du數zhi與h中的元素個數相等任取a,b屬於n，dao則存在版x,y屬於h，使得a=gxg^權(-1)，b=gyg^(-1)所以ab^(-1) = gxg^(-1)gy^(1)g^(-1) = gxy^(-1)g^(-1)
而xy^(-1)屬於h
所以ab^(-1)屬於n
所以n是群
所以n也是g的n階子群
而g只有乙個n階子群
所以n=h
所以h是g的正規子群
6樓：200希望
作點修改：對於bai任意g屬於g，考慮群dun=ghg^(-1)現在zhi證n是群，首先可以得dao到的是n中元素個數與版h中的元素個數相等
權任取a,b屬於n，則存在x,y屬於h，使得a=gxg^(-1)，b=gyg^(-1)所以ab = gxg^(-1)gyg^(-1) = gxyg^(-1)
而xy屬於h
所以ab屬於n
所以n是群
所以n也是g的n階子群
而g只有乙個n階子群
所以n=h
所以h是g的正規子群
設g是乙個群，h，k是g的子群且h在g中的指數有限，求證:k∩h在k中的指數也有限
7樓：夏de夭
）|利用已知的條件[g:h]有限，證明[k:（k交h）]<=[g:h]：
令a=｛k（k交h）|k屬於k｝，b=｛ah|a屬於g｝，令f：k（k交h）—>kh，則f顯然是a到b的對映，現證明f為單射：令k1h=k2h，則k1^（-1）k2屬於h，所以k1^（-1）k2屬於k交h，所以k2（k交h）=k1（k1^（-1）k2）（k交h）=k1（k交h），所以f是單射，所以|a|<=|b|，從而[k:
（k交h）]<=[g:h]，所以[k：（k交h）]有限
還有大神給出直接做陪集分解的方法，
設k=k1（k交h）∪k2（k交h）∪…為k的左陪集分解若k1h=k2h，則k1^（-1）k2屬於k交h，所以k1=k2所以若k1不等於k2則k1h與k2h交為空集從而k1h、k2h、…均包含在g的左陪集分解式中，所以[k:（k交h)]<=[g:h]
8樓：匿名使用者
後一種方法有問題：k1-1k2\inh交k，不能得到k1=k2
g有唯一n階子群， 證明：h是g的正規子群。求詳細過程，先到先得。
9樓：匿名使用者
設h是baig的n階子群，任取
g中乙個元素dug, 構造zhi如下集合h(g)= 現在證明h(g)是g的子群。屬 任取gh1g^-1,gh2g^-1屬於h(g) 則，gh1g^-1*(gh2g^-1)^-1=g(h1h2^-1)g^-1 因為h1h2^-1屬於h,所以g(h1h2^-1)g^-1屬於h(g) 所以h(g)是g的子群。且由消去律知道gh1g^-1=gh2g^-1可以推出h1=h2 所以|h(g)|=n 又因為h是g中唯一的n階子群，所以h(g)=h 即任取g屬於g 任取h屬於h 有 ghg^-1屬於h 所以h是g的正規子群 容易驗證gh和hg都是g的n階子群，但是g得n階子群只有乙個 所以有gh=hg=h, 所以h是g的正規子群
記得採納啊
設h是群g的子群，證明：對任意的g屬於g ，集合k={g＾-1hg|屬於h}是g的子群，並證明h與k之間群同構
10樓：匿名使用者
⑴。 看任意k∈k.k＝g＾-1hg, h∈h. h是子群，h^-1∈h.
從而k^-1＝（g＾-1hg）^-1＝g＾-1（h^-1）g∈k.①
又設：j＝g＾-1rg∈k,r∈h.kj＝（g＾-1hg）（g＾-1rg）＝g＾-1hjg
h是子群,hj∈h,從而kj∈k.②.從①②，k也是子群。
⑵。 作h到k的對映f：h→f（h）＝g^-1hg.容易驗證f是h到k的單全射，並且
f（h^-1）＝（f（h））^-1,f（hj）＝f（h）f（j）[h、j∈h]
[驗證就留給樓主啦！]
∴f是h與k之間的乙個（群）同構對映。即h與k是（群）同構的。
11樓：匿名使用者
是近世代數的。。。還沒學。。。o(╯□╰)o
12樓：一騎逆轉
是高等數學嗎？還沒學艾
設
13樓：匿名使用者
題寫bai錯了,應該是h=,否則由y*a=a得y=e,故h=,此時是zhi
的平凡子群,這題就dao太簡單了.
原題改為h=,
證明內 由e*a=a*e可知e屬於h,h非空容,設x,y屬於h,則x*a=a*x,y*a=a*y,故
y^-1*a=a*y^-1,於是得
(x*y^-1)*a=x*(y^-1*a)=x*(a*y^-1)=(x*a)*y^-1=a*(x*y^-1)
x*y^-1屬於h,由子群判定定理可知是的子群.
14樓：匿名使用者
寫錯了,應該是h=,否則由y*a=a得y=e,故h=,此時是的平凡子群,這題就太簡單了.
15樓：匿名使用者
證明：不妨設y1,y2∈h，則有y1*a=a*y1,y2*a=a*y2
所以y1^-1*a=a*y1^-1,即y1^-1∈h又(y1*y2)*a=y1*(y2*a)=y1*(a*y2)=(y1*a)*y2=(a*y1)*y2=a*(y1*y2)，因此y1*y2∈h
根據子群
判定定專理h是g的子群。屬
16樓：
題寫錯bai了,應該是h=
證明：不妨設y1,y2∈h，則zhi有y1*a=a*y1,y2*a=a*y2
所以daoy1^-1*a=a*y1^-1,即y1^-1∈h又(y1*y2)*a=y1*(y2*a)=y1*(a*y2)=(y1*a)*y2=(a*y1)*y2=a*(y1*y2)，因此y1*y2∈h
根據版子群判權定定理h是g的子群。
判定定理：設集合h是集合g的非空子集
（1）任給a∈h，b∈h，有a^-1∈h，ab∈h，則h是g的子群（2）任給a∈h，b∈h，有ab^-1∈h，則h是g的子群條件（1)和(2)是等價的。
假定H和N是G的子群,且N是G的正規子群,證明H N是H的正規子群
任取g h n，h h。由於n是g的正規子群，h g，g n，有h 1 gh n。由於h是群，g,h h，有h 1 gh h。所以h 1 gh h n，即h n是h的正規子群。n是g的正規子群,h是g的子群,h關於g的指數與n的階互素,證明n是h的正規子群。求大神做一下！200 首先，g h n 1...
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