1樓：匿名使用者
球座標∫
∫∫xyzdv
=∫∫∫ rsinφcosθ*rsinφsinθ*rcosφ*r²sinφdrdφdθ
=∫[0→π/2]cosθsinθdθ∫[0→π/4]sin³φcosφdφ∫[0→1] r^5dr
=(1/2)(1/16)(1/6)
=1/192
其中：∫[0→π/2]cosθsinθdθ=∫[0→π/2]sinθd(sinθ)
=(1/2)sin²θ |[0→π/2]
=1/2
∫[0→π/4]sin³φcosφdφ
=∫[0→π/4]sin³φd(sinφ)=(1/4)(sinφ)^4 |[0→π/4]=1/16
∫[0→1] r^5dr
=(1/6)r^6 |[0→1]
=1/6
2樓：匿名使用者
區域是球和錐面圍成，用球座標。
利用球面座標計算下列三重積分∫∫∫ω(x^2+y^2+z^2)dv,其中ω為球體x2+y2+(z-
3樓：匿名使用者
答：32πa⁵/15
方法一：標準球座標
x²+y²+(z-a)² = a²
x²+y²+z² = 2az
x = r sinφ cosθ
y = r sinφ sinθ
z = r cosφ
dv = r²sinφ drdφdθ
ω方程變為：r = 2acosφ
由於整個球面在xoy面上，所以0 ≤ φ ≤ π/2
∫_(ω) (x²+y²+z²) dv
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π/2) sinφ dφ ∫(0,2acosφ) r² * r² dr
= (2π)∫(0,π/2) sinφ * (1/5)(32a⁵cos⁵φ) dφ
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)∫(0,π/2) cos⁵φ d(cosφ)
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)[ cos⁶φ ]|(0,π/2)
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)(0 - 1)
= 32πa⁵/15
方法二：廣義球座標
x = r sinφ cosθ
y = r sinφ sinθ
z = a + r cosφ
dv = r²sinφ drdφdθ
ω方程變為：r = a
∫_(ω) (x²+y²+z²) dv
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r²sin²φ+(a+rcosφ)²) * r² dr
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r² + (2arcosφ + r²cos²φ)) * r² dr
後面2arcosφ* r²部分的積分應該等於0
剩下r² * r²就好算了
方法三：平移，其實跟廣義極座標一樣原理
x = u
y = v
z = a + w
dv = du***w
ω方程變為：u²+v²+w² = a²
∫_(ω) (x²+y²+z²) dv
= ∫_(ω') (u²+v²+(a+w)²) du***w
= ∫_(ω') (u²+v²+w²+a²) du***w + ∫_(ω') 2aw du***w
後面那個利用對稱性得結果為0，前面的可直接用球座標
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r²+a²) * r² dr
= (2π)(2)(8a⁵/15)
= 32πa⁵/15
計算三重積分xyzdxdydz，其中積分為球面x^2+y^2+z^2=1及三個座標所圍成的在第一卦
4樓：等待楓葉
三重積分xyzdxdydz的結果等於1/48。
解：因為積分為球面x^2+y^2+z^2=1及三個座標所圍成的在第一卦，
那麼積分域ω是乙個球心在原點，半徑為1的球在第一掛限內的部分。
則可用球座標計算。其中（0≦θ≦π/2，0≦φ≦π/2，0≦r≦1）。
ω∫∫∫xyzdxdydz=ω∫∫∫[(rsinφcosθ)(rsinφsinθ)(rcosφ)r²sinφdrdθdφ
=ω∫∫∫[(r^5)sin³φcosφsinθcosθdrdθdφ
=[0,1]∫(r^5)dr[0,π/2]∫sin³φd(sinφ)[0,π/2]∫sinθd(sinθ)
=(((r^6)/6)︱[0,1])*(((1/4)sin⁴φ)︱[0,π/2])*(((1/2)sin²θ)︱[0,π/2])
=(1/6)*(1/4)*(1/2)
=1/48
即ω∫∫∫xyzdxdydz等於1/48。
擴充套件資料：
三重積分的計算方法
1、直角座標繫法
適用於被積區域ω不含圓形的區域，且要注意積分表示式的轉換和積分上下限的表示方法。
（1）先一後二法投影法，先計算豎直方向上的一豎條積分，再計算底面的積分。
（2）先二後一法（截面法），先計算底面積分，再計算豎直方向上的積分。
2、柱面座標法
適用被積區域ω的投影為圓時，依具體函式設定，如設
x^2+y^2=a^2，x=asinθ，y=bsinθ。
區域條件：積分區域ω為圓柱形、圓錐形、球形或它們的組合。
函式條件：f（x,y,z）為含有與x^2+y^2相關的項。
3、球面座標繫法
適用於被積區域ω包含球的一部分。
區域條件：積分區域為球形或球形的一部分，錐 面也可以；
函式條件：f（x,y,z）含有與x^2+y^2+z^2相關的項。
5樓：楊必宇
用球面座標：
f=x^2+y^2=(rsinφcosθ)^2+(rsinφsinθ)^2=r^2*sin^2(φ)。
|j|=r^2*sinφ，r∈[1,2]，φ∈[0,π/2]，θ∈[0,2π]。
原積分=∫[0,2π]dθ∫[0,π/2]dφ∫[1,2]f|j|dr。
=∫[0,2π]dθ∫[0,π/2]dφ∫[1,2]r^4*sin^3(φ)dr。
=2π*[(2^5-1)/2}*2/3=124π/3。
3、積分區域關於平面x=0對稱故元積分化為∫∫∫[ω]zdv。
這道題很複雜，要以z=1為界討論z的情況，如下圖：
t<1時，用平面z=t截ω得如下圖形：
不難求出圖形面積s(t)，f(t)=ts(t)。
同樣有f=ts(t)。
對t從0到1和從1到[3sqrt(17)-1]/4分別積分而後加和得到所要的答案。
計算∫∫∫xyzdxdydz，其中 ∏x^2+y^2+z^2=1及三個座標面所圍成的在第一卦限內的閉區域
6樓：匿名使用者
計算ω∫∫∫xyzdxdydz，其中 ω：x²+y²+z²=1及三個座標面所圍成的在第一卦限內的閉區域
解：積分域ω是乙個球心在原點，半徑為1的球在第一掛限內的部分，用球座標計算比較方便。
(0≦θ≦π/2，0≦φ≦π/2，0≦r≦1).
ω∫∫∫xyzdxdydz=ω∫∫∫[(rsinφcosθ)(rsinφsinθ)(rcosφ)r²sinφdrdθdφ
=ω∫∫∫[(r^5)sin³φcosφsinθcosθdrdθdφ=[0，1]∫(r^5)dr[0，π/2]∫sin³φd(sinφ)[0，π/2]∫sinθd(sinθ)
==(1/6)(1/4)(1/2)=1/48
7樓：匿名使用者
採用球面座標
0≤θ≤∏/2
0≤φ≤∏/2
0≤r≤1
8樓：
首先做出圖形，即第一卦限中的四分之一球。 若採用球面座標，r是原點到積分邊界的範圍，r的最大值由邊界曲面確定（將x.y.
z的引數形式帶入解析式，可得r=λ〈λ為常數或θ與φ的函式〉，即最大值。） φ是積分區域邊界曲面上向徑與z軸正向的夾角的範圍(可取到0～π)。 把積分區域向xoy平面做投影，θ是所得平面區域邊界曲線上點的向徑與x軸正向夾角的取值範圍（最大取0～2π）。
計算∫∫∫xyzdxdydz,其中 ∏x^2+y^2+z^2=1及三個座標面所圍成的在第一卦限內
9樓：匿名使用者
如果你問先二後一的話倒有些技巧，先一後二只是普通的演算法而已
利用柱面座標計算∫∫∫|xyz|dv, ω是由曲面z=√x^2+y^2與z=√4-x^2-y^2圍
10樓：匿名使用者
因為,曲面z=x^2+y^2在柱座標下的方程為z=ρ^2這題如果是計算積分值的話,正解如下：
因為z=常數的平面與ω截得區域的面積為πz所以∫∫∫zdxdydz＝∫(0~4)z(πz)dz=(1/3)π(z^3)︱(0~4)=64π/3
計算i=∫∫∫ω(x+y+z+1)dv,其中ω:x^2+y^2+z^2≤r^2
11樓：匿名使用者
由於積分區域ω：x² + y² + z² = r²關於座標三軸都對稱且被積函式中的x,y,z都是奇函式
若f(x,y,-z)=-f(x,y,z)，則說f(x,y,z)關於z是奇函式
在對稱區間上的奇函式的積分結果是0
所以用對稱性可得∫∫∫ (x+y+z) dv = 0剩下的∫∫∫ dv，是球體ω的體積
= 4/3**π*1³
= 4π/3
所以原積分∫∫∫ (x+y+z+1) dv = 4π/3
計算∫∫∫(x+y+z^2)dv，其中ω即區域範圍是由曲面x^2+y^2-z^2=1和平面z=h,z=-h(h>0)所圍成。
12樓：
積分區域為單葉雙曲面與上下兩平行平面z=h,z=-h所圍成空間區域，
在xoz平面和yoz平面的截面是等軸雙曲線，在xoy平面是半徑為1的圓，上下底面為半徑為√（1+h^2)的圓，
該積分區域被xoy平面分成上下對稱兩部分，故只積上半部即可，另八個卦限都相同，只要積其中乙個卦限即可，
為簡便，化成柱面座標，
∫∫∫(x+y+z^2)dv
=8∫(0→π/2） dθ∫（0→√（1+h^2)）(rdr）∫(0→h)(rcos+rsinθ+z^2)dz
=8∫(0→π/2） dθ∫（0→√（1+h^2)）[rcosθ+rsinθ）h+h^3/3)rdr
=8∫(0→π/2） dθ[(hr^3/3)cosθ+(hr^3/3)sinθ+r^2h^3/6](0→√（1+h^2))
=8∫(0→π/2） dθ[(1/3)h(1+h^2)^(3/2)cosθ+[(1/3)h(1+h^2)^(3/2)sinθ+(1+h^2)h^3/6]
=8h(1+h^2)/3∫(0→π/2） [√（1+h^2)cosθ+√（1+h^2)sinθ+h^2/2]
=8h(1+h^2)/3[√（1+h^2)(sinθ-cosθ)+θh^2/2) ]((0→π/2）
=8h(1+h^2)/3[√（1+h^2)(1-0-0+1)+πh^2/4]
=8h(1+h^2)/3(2√（1+h^2)+πh^2/4)
=2h(1+h^2)(8√（1+h^2)+πh^2)/3.
13樓：匿名使用者
積分域是單葉雙曲面與兩平面所圍成.記為q.它在第一卦限的部分記為q1由於區域的對稱性和函式的奇偶性,可知,
∫∫∫(x+y)dv=0.即以下只要計算:
∫∫∫z^2)dv.
再由對稱性:
∫∫∫(x+y+z^2)dv=8倍在q1上的積分.
用柱座標用,化為:
∫∫∫z^2rdrdadz (a表示極角)積分域q1表達為:
0 0 0 首先:對r積分(區間:0 =z^2*(r^2)/2的上限值-下限值 =z^2[(1+z^2)-0]/2= 然後,對a 積分,區間(0, pi/2) (z^4 對a是常量)故積分得: =(pi/2)*(z^4+z^2)/2 最後,對z積分,區間( 0,h) =(pi/2)*[(z^5)/5+(z^3)/3]/2 的上限值-下限值 =(pi/2)*[(h^5)/5+(h^3)/3]/2原積分=8*(pi/2)*[(h^5)/5+(h^3)/3]/2=2*pi*[(h^5)/5+(h^3)/3] z aa xx yy，z x x aa xx yy z y y aa xx yy ds 1 z x 2 z y 2dxdy adxdy aa xx yyyy，在xoy面的投影區域d是xx yy aa，原式 內 容上半球面 下半球面 化成d上的二重積分並用極座標計算得到 2a 0到2 dt 0到a r... 新增 1 z 0下側bai,由高 斯公式du zhi 1 zdxdydz 1 2dxdy zdxdydz 8 1 2 4 x dao2 y 2 dxdy 8 1 2 0,2 d 0,2 r 4 r 2 dr 8 版 0,2 4r r 3 dr 12 這樣權可以麼?高數二重積分題,設 為上半球面z a... 以 0,0,0 為球心,半徑為1的乙個球面。需要圖麼?就是個標準的球 怎麼在matlab中畫出x 2 y 2 1且y 2 z 2 1的影象 5 如果求一般性的兩個 抄三維曲面的交線還是有一些難度的 尤其對於兩個曲面都是隱函式的情況 但本題是兩個單位柱面的交線,情況比較特殊,用引數方程比較容易。不妨以...計算x 2 y 2）dS,其中為球面x 2 y 2 z 2 a 2計算曲面積分
計算yzdzdx其中是上半球面z4x2y
x2y2z21影象是怎樣的