橢圓方程橢圓的兩個焦點在y軸上時,怎麼推導方程式

2021-03-07 14:30:25 字數 5958 閱讀 8612

1樓:甜美志偉

解:設橢圓上焦點f₁(0,c),下焦點f₂(0,-c);c為半焦距,c>0。

橢圓上的動點m(x,y);依橢圓定義有等式:

∣mf₁∣+∣mf₂∣=√[x²+(y-c)²]+√[x²+(y+c)²]=2a,a為長半軸之長,a>0。

√[x²+(y-c)²]=2a-√[x²+(y+c)²]

兩邊平方得:x²+(y-c)²=4a²-4a√[x²+(y+c)²]+x²+(y+c)²化簡、移項,得4a√[x²(y+c)²]=4a²+4c

化小係數得:a√[x²+(y+c)²]=a²+cy

再平方得:a²[x²+(y+c)²]=a^4+2a²cy+c²y²

a²x²+(a²-c²)y²=a^4-a²c²

令a²-c²=b²,得a²x²+b²y²=a²b²

再用a²b²除兩邊,即得焦點在y軸上的橢圓的標準方程為:

y²/a²+x²/b²=1,其中a²-b²=c²;a>b.

其中a為長半軸之長,b為短半軸之長,c為半焦距。

擴充套件資料:

橢圓方程的幾何性質

x,y的範圍

當焦點在x軸時 -a≤x≤a,-b≤y≤b

當焦點在y軸時 -b≤x≤b,-a≤y≤a

對稱性不論焦點在x軸還是y軸,橢圓始終關於x/y/原點對稱。

頂點:焦點在x軸時:長軸頂點:(-a,0),(a,0)

短軸頂點:(0,b),(0,-b)

焦點在y軸時:長軸頂點:(0,-a),(0,a)

短軸頂點:(b,0),(-b,0)

注意長短軸分別代表哪一條軸,在此容易引起混亂,還需數形結合逐步理解透徹。

焦點:當焦點在x軸上時焦點座標f1(-c,0)f2(c,0)

當焦點在y軸上時焦點座標f1(0,-c)f2(0,c)

計算方法

編輯((其中

分別是橢圓的長半軸、短半軸的長,可由圓的面積可推導出來)或

(其中分別是橢圓的長軸,短軸的長)。

圓和橢圓之間的關係:

橢圓包括圓,圓是特殊的橢圓。

2樓:匿名使用者

橢圓方程橢圓的兩個焦點在y軸上時,怎麼推導方程式解:設橢圓上焦點f₁(0,c),下焦點f₂(0,-c);c為半焦距,c>0.

橢圓上的動點m(x,y);依橢圓定義有等式:

∣mf₁∣+∣mf₂∣=√[x²+(y-c)²]+√[x²+(y+c)²]=2a,a為長半軸之長,a>0.

√[x²+(y-c)²]=2a-√[x²+(y+c)²]兩邊平方得:x²+(y-c)²=4a²-4a√[x²+(y+c)²]+x²+(y+c)²

化簡、移項,得:4a√[x²+(y+c)²]=4a²+4cy化小係數得:a√[x²+(y+c)²]=a²+cy再平方得:

a²[x²+(y+c)²]=a^4+2a²cy+c²y²a²(x²+y²+2cy+c²)=a^4+2a²cy+c²y²a²x²+(a²-c²)y²=a^4-a²c²令a²-c²=b²,得a²x²+b²y²=a²b²再用a²b²除兩邊,即得焦點在y軸上的橢圓的標準方程為:

y²/a²+x²/b²=1,其中a²-b²=c²;a>b.

其中a為長半軸之長,b為短半軸之長,c為半焦距。

3樓:大連雙木

橢圓方程推導,這道題你會麼,看看老師是怎麼說的

橢圓的標準方程是什麼?

4樓:之何勿思

共分兩種情況:

當焦點在x軸時,橢圓的標準方程是:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0);

當焦點在y軸時,橢圓的標準方程是:y^2/a^2+x^2/b^2=1,(a>b>0); 其中a^2-c^2=b^2

1、如果在乙個平面內乙個動點到兩個定點的距離的和等於定長,那麼這個動點的軌跡叫做橢圓。

2、橢圓的影象如果在直角座標系中表示,那麼上述定義中兩個定點被定義在了x軸。若將兩個定點改在y軸,可以用相同方法求出另乙個橢圓的標準方程:

3、在方程中,所設的稱為長軸長,稱為短軸長,而所設的定點稱為焦點,那麼稱為焦距。在假設的過程中,假設了,如果不這樣假設,會發現得不到橢圓。當時,這個動點的軌跡是乙個線段;當時,根本得不到實際存在的軌跡,而這時,其軌跡稱為虛橢圓。

5樓:匿名使用者

橢圓的標

準方程有兩種,取決於焦點所在的座標軸:

1)焦點在x軸時,標準方程為:x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)

2)焦點在y軸時,標準方程為:y²/a²+x²/b²=1 (a>b>0)

橢圓是平面上到兩定點的距離之和為常值的點之軌跡, 也可定義為到定點距離與到定直線間距離之比為乙個小於1的常值的點之軌跡。它是圓錐曲線的一種,即圓錐與平面的截線。

基本性質:

1、範圍:焦點在x軸上-a≤x≤a,-b≤y≤b;焦點在y軸上-b≤x≤b, -a≤y≤a

2、對稱性:關於x軸對稱,y軸對稱,關於原點中心對稱。

3、頂點:(a,0)(-a,0)(0,b)(0,-b)

4、離心率:e=c/a或 e=√(1-b^2/a²)

5、離心率範圍:06、離心率越大橢圓就越扁,越小則越接近於圓。

7、焦點(當中心為原點時):(-c,0),(c,0)或(0,c),(0,-c)

9、p為橢圓上的一點,a-c≤pf1(或pf2)≤a+c。

10.橢圓的周長等於特定的正弦曲線在乙個週期內的長度。

6樓:大倫大倫大倫

橢圓的標準方程共分兩種情況[1]:

當焦點在x軸時,橢圓的標準方程是:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0);

當焦點在y軸時,橢圓的標準方程是:y^2/a^2+x^2/b^2=1,(a>b>0);

其中a^2-c^2=b^2

推導:pf1+pf2>f1f2(p為橢圓上的點 f為焦點)

中文名橢圓標準方程

外文名standard equation of the ellipse

別稱線條

表示式x^2/a^2+y^2/b^2=1

提出者數學家

方程推導

設橢圓的兩個焦點分別為f1,f2,它們之間的距離為2c,橢圓上任意一點到f1,f2的距離和為2a(2a>2c)。

以f1,f2所在直線為x軸,線段f1f2的垂直平分線為y軸,建立直角座標系xoy,則f1,f2的座標分別為(-c,0),(c,0)。

設m(x,y)為橢圓上任意一點,根據橢圓定義知

|mf1|+|mf2|=2a,(a>0)

即將方程兩邊同時平方,化簡得

兩邊再平方,化簡得又,設

,得兩邊同除以 ,得

這個形式是橢圓的標準方程。

通常認為圓是橢圓的一種特殊情況[2] 。

非標準方程

其方程是二元二次方程,可以利用二元二次方程的性質進行計算,分析其特性[3] 。

幾何性質

x,y的範圍

當焦點在x軸時 -a≤x≤a,-b≤y≤b

當焦點在y軸時 -b≤x≤b,-a≤y≤a

對稱性不論焦點在x軸還是y軸,橢圓始終關於x/y/原點對稱。

頂點:焦點在x軸時:長軸頂點:(-a,0),(a,0)

短軸頂點:(0,b),(0,-b)

焦點在y軸時:長軸頂點:(0,-a),(0,a)

短軸頂點:(b,0),(-b,0)

注意長短軸分別代表哪一條軸,在此容易引起混亂,還需數形結合逐步理解透徹[4] 。

焦點:當焦點在x軸上時焦點座標f1(-c,0)f2(c,0)

當焦點在y軸上時焦點座標f1(0,-c)f2(0,c)

計算方法

((其中 分別是橢圓的長半軸、短半軸的長,可由圓的面積可推導出來)或 (其中 分別是橢圓的長軸,短軸的長)[5] 。

圓和橢圓之間的關係:

橢圓包括圓,圓是特殊的橢圓。

參考資料

[1] 曹才翰.中國中學教學百科全書:數學卷[m].瀋陽:瀋陽出版社

[2] 沈金興. 數學文化視角下的橢圓標準方程推導[j]. 數學通訊, 2015(8):

7樓:你轉身的笑

你可以在丟其他瀏覽器上都可以搜得到。

8樓:匿名使用者

x/a²+y/b²=1

9樓:大神00002摩羯

橢圓的基本定義應該為平面上到兩點距離之和為定值的點的集合

橢圓一般式化為標準方程式 怎麼化? 請舉一例說明一下,謝謝! 10

10樓:匿名使用者

^設《一般式》為:ax^2+by^2+c=0   【若有一次項,則需要《座標平移版》,若有交叉項(即含權xy項)則需要《座標旋轉》】

則  ax^2+by^2=-c^2  =>  (-a/c)x^2+(-b/c)y^2=1  =>  x^2/(-c/a)+y^2/(-c/b)=1

這就化為了《標準型》,其中:a'=√(-c/a)、b'=√(-c/b)  【哪個是長半軸可以由實際值判定】

例子  9x^2+16y^2-144=0  =>  x^2/(144/9)+y^2/(144/16)=1  =>  x^2/16+y^2/9=1

=> x^2/4^2+y^2/3^2=1

11樓:匿名使用者

^設《一般式》為:

抄ax^2+by^2+c=0 【若有一次項,bai則需要《du座標平移》,若有交叉項zhi(即含xy項)則dao需要《座標旋轉》】

則 ax^2+by^2=-c^2 => (-a/c)x^2+(-b/c)y^2=1 => x^2/(-c/a)+y^2/(-c/b)=1

這就化為了《標準型》,其中:a'=√(-c/a)、b'=√(-c/b) 【哪個是長半軸可以由實際值判定】

例子 9x^2+16y^2-144=0 => x^2/(144/9)+y^2/(144/16)=1 => x^2/16+y^2/9=1

=> x^2/4^2+y^2/3^2=1

12樓:匿名使用者

x²/a² + y²/b²=1

a>b>0,長軸在x軸上

b>a>0,長軸在y軸上

橢圓方程式中的字母分別表示什麼

13樓:熱情的

^^當焦點在x軸時,橢圓的標準方程是:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0);

當焦點在y軸時,橢圓的標準方程是:y^2/a^2+x^2/b^2=1,(a>b>0);

其中a^2-c^2=b^2

a為長半軸,b為短半軸,c為半焦距

ob=a,oc=b,f1f2=2c採我啊

14樓:俺是老傑

a:半長軸

b:半短軸

c:半焦距

橢圓方程式是什麼及各字母代表的意義

15樓:匿名使用者

高中課本在平面直角座標系中,用方程描述了橢圓,橢圓的標準方程中的「標準」指的是中心在原點,對稱軸為座標軸。

橢圓的標準方程有兩種,取決於焦點所在的座標軸:

1)焦點在x軸時,標準方程為:x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)

2)焦點在y軸時,標準方程為:x^2/b^2+y^2/a^2=1 (a>b>0)

其中a>0,b>0。a、b中較大者為橢圓長半軸長,較短者為短半軸長(橢圓有兩條對稱軸,對稱軸被橢圓所截,有兩條線段,它們的一半分別叫橢圓的長半軸和短半軸或半長軸和半短軸)當a>b時,焦點在x軸上,焦距為2*(a^2-b^2)^0.5,焦距與長.

短半軸的關係:b^2=a^2-c^2 ,準線方程是x=a^2/c和x=-a^2/c

又及:如果中心在原點,但焦點的位置不明確在x軸或y軸時,方程可設為mx^2+ny^2=1(m>0,n>0,m≠n)。既標準方程的統一形式。

橢圓的面積是πab。橢圓可以看作圓在某方向上的拉伸,它的引數方程是:x=acosθ , y=bsinθ

標準形式的橢圓在x0,y0點的切線就是 : xx0/a^2+yy0/b^2=1

已知中心在原點,焦點在x軸上的橢圓C的頂點為B(0, 1),右焦點到直線x y 2 2 0的距離為

橢圓右焦點f2 c,0 到直線l x y 2倍根號2 0 的距離為3 所以 d c 2倍根號2 根號2 3 所以c 根號2 因為橢圓的乙個頂點b 0,1 所以b 1 所以 a 根號3 所以橢圓方程 x平方 3 y平方 1 若存在直線l 且l與橢圓相交的兩個點m和n,形成bm bn。設mn中點為q x...

求適合的橢圓方程(1)兩個焦點分別為( 4,0)和(4,0)且經過(5,02)焦點在y軸上,且經過兩個點

解 1 設橢圓的標準方程為 x 2 a 2 y 2 b 2 1.由焦點座標可知橢圓的實軸在x 軸上,a 2 b 2 c 2.即,a 2 b 2 16 1 又因曲線過 5,0 點,則,5 2 a 2 1.a 2 25.以其代人 1 式,得 b 2 9 所求橢圓方程為 x 2 25 y 2 16 1.2...

雙曲線的焦點在x軸y軸,漸近線方程為什麼不一樣a b(相反

這跟漸近線抄的斜率有關bai系。當雙曲線的焦點在x軸上時,漸近du線斜率k 虛半軸長 實半zhi軸長 b a,此時漸近dao 線方程為 y b a x 當雙曲線的焦點在y軸上時,漸近線斜率k 實半軸長 虛半軸長 a b,此時漸近線方程為 y a b x 焦點在x軸上與焦點在y軸上的雙曲線的漸近線方程...