1樓:
1-範數bai:是指向量(矩陣)裡面非零du元素的個數。類似zhi於求棋盤上兩個dao點間的沿方版格邊緣
的距離。權
||x||1 = sum(abs(xi));
2-範數(或euclid範數):是指空間上兩個向量矩陣的直線距離。類似於求棋盤上兩點見的直線距離 (無需只沿方格邊緣)。
||x||2 = sqrt(sum(xi.^2));
∞-範數(或最大值範數):顧名思義,求出向量矩陣中其中模最大的向量。
||x||∞ = max(abs(xi));
矩陣的範數怎麼求
2樓:小不懂餓
一般來講矩陣範數除了正定性,齊次性和三角不等式之外,還規定其必須滿足相容性:║xy║≤║x║║y║。所以矩陣範數通常也稱為相容範數。
如果║·║α是相容範數,且任何滿足║·║β≤║·║α的範數║·║β都不是相容範數,那麼║·║α稱為極小範數。對於n階實方陣(或復方陣)全體上的任何乙個範數║·║,總存在唯一的實數k>0,使得k║·║是極小範數。
注:如果不考慮相容性,那麼矩陣範數和向量範數就沒有區別,因為mxn矩陣全體和mn維向量空間同構。引入相容性主要是為了保持矩陣作為線性運算元的特徵,這一點和運算元範數的相容性一致,並且可以得到mincowski定理以外的資訊。
矩陣論中向量範數、矩陣範數、運算元範數的聯絡和區別?範數到底有何作用呢?求直白易懂回答~
3樓:匿名使用者
^直白的說:
向量的一種範數就理解成在某種度量下的長度,比如歐式空間,二範數:||x||_2=sqrt(sum(x_i^2))。
矩陣範數,通常是把矩陣拉長成一列,做向量範數。e.g 矩陣的f範數就是拉成向量之後的二範數。
運算元範數,運算元a(有窮維中的矩陣a), 作用在向量x上(乘法),||a||:=max(||ax||), s.t. ||x||=1.
至於作用,就是方便給乙個抽象的空間(比如連續函式空間,函式就是乙個「點」)引入極限、收斂等分析的性質,像矩陣核範數在矩陣***pressed sensing裡就挺重要~
如何求矩陣的一範數 一範數和二範數有啥區別?
4樓:匿名使用者
∑|一、求法
1-範數:║a║1 = max(列和範數,a每一列元素絕對值之和的最大值),其中∑|ai1|第一列元素絕對值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|,其餘方法相同);
2-範數:║a║2 = a的最大奇異值 =(max)^(其中a^h為a的轉置共軛矩陣)。
二、區別:
1、意義不同:1-範數是指向量(矩陣)裡面非零元素的個數,2-範數(或euclid範數)是指空間上兩個向量矩陣的直線距離。
2、求法不同:1-範數║a║1 = max,2-範數:║a║2 = a的最大奇異值 = (max)^。
5樓:ivy夏戀
1-範數:是指向量(矩陣)裡面非零元素的個數。類似於求棋盤上兩個點間的沿方格邊緣的距離。
||x||1 = sum(abs(xi));
2-範數(或euclid範數):是指空間上兩個向量矩陣的直線距離。類似於求棋盤上兩點見的直線距離 (無需只沿方格邊緣)。
||x||2 = sqrt(sum(xi.^2));
∞-範數(或最大值範數):顧名思義,求出向量矩陣中其中模最大的向量。
||x||∞ = max(abs(xi));
ps.由於不能敲公式,所以就以偽**的形式表明三種範數的演算法,另外加以文字說明,希望樓主滿意。相互學習,共同進步~
6樓:匿名使用者
範數的意義是可以度量誤差對結果的影響,1範數和二範數只是兩種度量方式
7樓:匿名使用者
a=0 1
0 0
|a-λe| =
-λ 1
0 -λ
= λ^2
所以a的特徵值為: 0, 0.
矩陣的2範數與向量的2範數有什麼關係
8樓:匿名使用者
矩陣範數2 與 向量範數2 在數學理論中具有邏輯一致性。看下面例子。
9樓:匿名使用者
答:這兩種範數實際上是有非常緊密的聯絡的。
一方面,矩陣的2範數是向量二範數對應的誘導範數。
另一方面,向量範數可以認為是矩陣的誘導範數的特例,如果將長度為的向量視為乙個的矩陣,你會發現前者的向量範數是等於後者的矩陣範數的!
參考
什麼是範數?向量的範數公式是什麼?
10樓:匿名使用者
向量範數
定義1. 設 ,滿足
1. 正定性:║x║≥0,║x║=0 iff x=0
2. 齊次性:║cx║=│c│║x║,
3. 三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║
則稱**中定義了向量範數,║x║為向量x的範數.
可見向量範數是向量的一種具有特殊性質的實值函式.
常用向量範數有,令x=( x1,x2,...,xn)t
1-範數:║x║1=│x1│+│x2│+...+│xn│
2-範數:║x║2=(│x1│2+│x2│2+...+│xn│2)^1/2
∞-範數:║x║∞=max(│x1│,│x2│,...,│xn│)
易得 ║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞
定理1.**中任意兩種向量範數║x║α,║x║β是等價的,即有m,m>0使
m║x║α≤║x║β≤m║x║
可根據範數的連續性來證明它.由定理1可得
定理2.設是**中向量序列,x是**中向量,則
║x(k)-x║→0(k→∞) iff xj(k)-xj→0,j=1,2,...,n(k→
∞)其中xj(k)是x(k)的第j個分量,xj是x的第j個分量.此時稱收斂於x,記作x(k)
→x(k→∞),或 .
三、 矩陣範數
定義2. 設 ,滿足
1. 正定性:║x║≥0,║x║=0 iff x=0
2. 齊次性:║cx║=│c│║x║,
3. 三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║
4. 相容性: ║xy║≤║x║║y║
則稱**×n中定義了矩陣範數,║x║為矩陣x的範數.
注意, 矩陣x可視為n2維向量,故有前三條性質.因此定理1,2中向量的等價性和向量
序列收斂的概念與性質等也適合於矩陣.第四條,是考慮到矩陣乘法關係而設.更有矩
陣向量乘使我們定義矩陣範數向量範數的相容性:
║ax║≤║a║║x║
所謂由向量範數誘導出的矩陣範數與該向量範數就是相容的.
定理3. 設a是n×n矩陣,║?║是n維向量範數則
║a║=max= max
是一種矩陣範數,稱為由該向量範數誘導出的矩陣範數或運算元範數,它們具有相容性
或者說是相容的.
單位矩陣的運算元範數為1
可以證明任一種矩陣範數總有與之相容的向量範數.例如定義:
║x║=║x║,x=(xx...x)
常用的三種向量範數誘導出的矩陣範數是
1-範數:║a║1= max=
2-範數:║a║2=max= ,λ1是aha的
最大特徵值.
∞-範數:║a║∞=max=
此外還有frobenius範數: .它與向量2-範數相容.但非向量範數誘導出的矩陣範數.
四、 矩陣譜半徑
定義3.設a是n×n矩陣,λi是其特徵值,i=1,2,...,n.稱
為a的譜半徑.
譜半徑是矩陣的函式,但非矩陣範數.對任一矩陣範數有如下關係:
ρ(a)≤║a║
因為任一特徵對λ,x,ax=λx,令x=(xx...x),可得ax=λx.兩邊取範數,由矩陣範數的
相容性和齊次性就匯出結果.
定理3.矩陣序列i,a,a2,...ak,...收斂於零的充分必要條件是ρ(a)
什麼是矩陣的範數
11樓:小慎
在介紹主題之前,先來談乙個非常重要的數學思維方法:幾何方法
。在大學之前,我們學習過一次函式、二次函式、三角函式、指數函式、對數函式等,方程則是求函式的零點;到了大學,我們學微積分、復變函式、實變函式、泛函等。我們一直都在學習和研究各種函式及其性質,
函式是數學一條重要線索,另一條重要線索——幾何
,在函式的研究中發揮著不可替代的作用,幾何是函式形象表達,函式是幾何抽象描述,幾何研究「形」,函式研究「數」,它們交織在一起推動數學向更深更抽象的方向發展。
函式圖象聯絡了函式和幾何,表達兩個數之間的變化關係,
對映推廣了函式的概念,使得自變數不再僅僅侷限於乙個數,也不再侷限於一維,任何事物都可以拿來作對映,維數可以是任意維,傳統的函式圖象已無法直觀地表達高維物件之間的對映關係,這就要求我們在觀念中,把三維的幾何空間推廣到抽象的n維空間。
由於對映的物件可以是任何事物
,為了便於研究對映的性質以及數學表達,我們首先需要對對映的物件進行「量化」,取定一組「基」,確定事物在這組基下的座標,事物同構於我們所熟悉的抽象幾何空間中的點,事物的對映可以理解為從乙個空間中的點到另乙個空間的點的對映,而對映本身也是事物,自然也可以抽象為對映空間中的乙個點,這就是泛函中需要研究的物件——函式。
從乙個線性空間到另乙個線性空間的線性對映,可以用乙個矩陣來表達,矩陣被看線性作對映,線性對映的性質可以通過研究矩陣的性質來獲得,比如矩陣的秩反映了線性對映值域空間的維數,
矩陣範數反映了線性對映把乙個向量對映為另乙個向量,向量的「長度」縮放的比例。
範數是把乙個事物對映到非負實數,且滿足非負性、齊次性、三角不等式,符合以上定義的都可以稱之為範數,所以,範數的具體形式有很多種(由內積定義可以匯出範數,範數還也可以有其他定義,或其他方式匯出),要理解矩陣的運算元範數,首先要理解向量範數的內涵。矩陣的運算元範數,是由向量範數匯出的,由形式可以知:
由矩陣運算元範數的定義形式可知,矩陣a把向量x對映成向量ax
,取其在向量x範數為1所構成的閉集下的向量ax範數最大值作為矩陣a的範數,即矩陣對向量縮放的比例的上界,矩陣的運算元範數是相容的。由幾何意義可知,矩陣的運算元範數必然大於等於矩陣譜半徑(最大特徵值的絕對值),矩陣運算元範數對應乙個取到向量ax範數最大時的向量x方向,譜半徑對應最大特徵值下的特徵向量的方向。而矩陣的奇異值分解svd
,分解成左右各乙個酉陣,和擬對角矩陣,可以理解為對向量先作旋轉、再縮放、最後再旋轉,奇異值,就是縮放的比例,最大奇異值就是譜半徑的推廣,所以,矩陣運算元範數大於等於矩陣的最大奇異值,酉陣在此運算元範數的意義下,範數大於等於1
。此外,不同的矩陣範數是等價的。
範數理論是矩陣分析的基礎,度量向量之間的距離、求極限等都會用到範數,範數還在機器學習、模式識別領域有著廣泛的應用。
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